2026年概率及数理统计一维随机变量练习习题及标准答案

2026年概率及数理统计一维随机变量练习习题及标准答案1.某新型传感器进行性能测试，每次测试结果分为“有效”“无效”“待检”三种状态，概率分别为0.5、0.3、0.2。独立重复测试3次，设随机变量X为3次测试中“有效”的次数。（1）求X的分布律；（2）求X的分布函数F(x)；（3）计算E(X)与D(X)。答案：（1）每次测试“有效”的概率p=0.5，独立重复3次，X服从二项分布B(3,0.5)。分布律为：P(X=k)=C(3,k)(0.5)^k(0.5)^{3−k}=C(3,k)(0.5)^3，k=0,1,2,3。具体计算得：P(X=0)=1×(1/8)=1/8；P(X=1)=3×(1/8)=3/8；P(X=2)=3×(1/8)=3/8；P(X=3)=1×(1/8)=1/8。（2）分布函数F(x)为分段函数：当x<0时，F(x)=0；当0≤x<1时，F(x)=P(X=0)=1/8；当1≤x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=1/8+3/8=4/8=1/2；当2≤x<3时，F(x)=1/8+3/8+3/8=7/8；当x≥3时，F(x)=1。（3）二项分布的期望E(X)=np=3×0.5=1.5；方差D(X)=np(1−p)=3×0.5×0.5=0.75。2.连续型随机变量X的概率密度为：f(x)=⎩⎨⎧kx²,0≤x≤2；0,其他。（1）求常数k；（2）计算P(1<X≤1.5)；（3）求X的分布函数F(x)；（4）计算E(X)与D(X)。答案：（1）由概率密度归一性，∫_{-∞}^∞f(x)dx=1，即∫₀²kx²dx=1。计算积分：k×(x³/3)|₀²=k×(8/3)=1，故k=3/8。（2）P(1<X≤1.5)=∫₁^1.5(3/8)x²dx=(3/8)×(x³/3)|₁^1.5=(1/8)(1.5³−1³)=(1/8)(3.375−1)=2.375/8=19/64≈0.2969。（3）分布函数F(x)=∫_{-∞}^xf(t)dt。当x<0时，F(x)=0；当0≤x≤2时，F(x)=∫₀^x(3/8)t²dt=(3/8)(t³/3)|₀^x=x³/8；当x>2时，F(x)=1。故F(x)=⎩⎨⎧0,x<0；x³/8,0≤x≤2；1,x>2。（4）期望E(X)=∫_{-∞}^∞xf(x)dx=∫₀²x×(3/8)x²dx=(3/8)∫₀²x³dx=(3/8)(x⁴/4)|₀²=(3/8)(16/4)=3/8×4=3/2=1.5；E(X²)=∫₀²x²×(3/8)x²dx=(3/8)∫₀²x⁴dx=(3/8)(x⁵/5)|₀²=(3/8)(32/5)=12/5=2.4；方差D(X)=E(X²)−[E(X)]²=2.4−(1.5)²=2.4−2.25=0.15。3.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，已知P(X>2)=e^{-1}。（1）求λ；（2）计算P(1<X≤3)；（3）求X的分布函数F(x)；（4）若Y=2X+1，求Y的概率密度f_Y(y)。答案：（1）指数分布的概率密度为f(x)=λe^{-λx},x≥0；0,x<0。P(X>2)=∫₂^∞λe^{-λx}dx=e^{-2λ}=e^{-1}，故2λ=1，λ=1/2。（2）P(1<X≤3)=F(3)−F(1)=[1−e^{-(1/2)×3}]−[1−e^{-(1/2)×1}]=e^{-0.5}−e^{-1.5}≈0.6065−0.2231=0.3834。（3）分布函数F(x)=∫_{-∞}^xf(t)dt。当x<0时，F(x)=0；当x≥0时，F(x)=1−e^{-(1/2)x}。（4）Y=2X+1，X=(Y−1)/2，雅可比行列式|dx/dy|=1/2。当y>1时（因X≥0，故Y=2X+1≥1），f_Y(y)=f_X((y−1)/2)×|dx/dy|=(1/2)e^{-(1/2)×(y−1)/2}×(1/2)=(1/4)e^{-(y−1)/4}；当y≤1时，f_Y(y)=0。故f_Y(y)=⎩⎨⎧(1/4)e^{-(y−1)/4},y>1；0,其他。4.随机变量X的分布函数为：F(x)=⎩⎨⎧0,x<−1；a+barcsinx,−1≤x≤1；1,x>1。（1）求常数a,b；（2）求X的概率密度f(x)；（3）计算P(|X|<0.5)；（4）判断X是否为连续型随机变量。答案：（1）分布函数在x=−1处左连续，F(−1)=0，代入得a+b×arcsin(−1)=0，即a−b×(π/2)=0；在x=1处右连续，F(1)=1，代入得a+b×arcsin(1)=1，即a+b×(π/2)=1。联立方程组：a−(π/2)b=0，a+(π/2)b=1。解得：a=1/2，b=1/π。（2）概率密度f(x)=F’(x)，在−1<x<1时，f(x)=d/dx[1/2+(1/π)arcsinx]=(1/π)×(1/√(1−x²))；在x≤−1或x≥1时，f(x)=0。故f(x)=⎩⎨⎧1/[π√(1−x²)],−1<x<1；0,其他。（3）P(|X|<0.5)=P(−0.5<X<0.5)=F(0.5)−F(−0.5)=[1/2+(1/π)arcsin(0.5)]−[1/2+(1/π)arcsin(−0.5)]=(1/π)(π/6)−(1/π)(−π/6)=(1/6)+(1/6)=1/3。（4）X的分布函数F(x)在全体实数上连续（无跳跃点），且除有限个点外可导，故X是连续型随机变量。5.某城市早高峰时段地铁候车时间X（单位：分钟）服从均匀分布U[2,8]。（1）求X的概率密度f(x)；（2）计算候车时间超过5分钟的概率；（3）若乘客等待超过6分钟就改乘公交，求其改乘公交的概率；（4）求X的期望和方差。答案：（1）均匀分布U[a,b]的概率密度为f(x)=1/(b−a)，当a≤x≤b时；否则0。此处a=2，b=8，故f(x)=1/6，2≤x≤8；0，其他。（2）P(X>5)=∫₅^8(1/6)dx=(8−5)/6=3/6=1/2。（3）改乘公交的概率即P(X>6)=∫₆^8(1/6)dx=(8−6)/6=2/6=1/3。（4）期望E(X)=(a+b)/2=(2+8)/2=5；方差D(X)=(b−a)²/12=(8−2)²/12=36/12=3。6.设随机变量X的分布律为：X|−1012P|0.10.30.40.2（1）求Y=X²的分布律；（2）计算E(Y)与D(Y)；（3）求Z=|X|的分布律。答案：（1）Y=X²的可能取值为0,1,4（因(−1)²=1，0²=0，1²=1，2²=4）。P(Y=0)=P(X=0)=0.3；P(Y=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0.1+0.4=0.5；P(Y=4)=P(X=2)=0.2。故Y的分布律为：Y|014P|0.30.50.2（2）E(Y)=0×0.3+1×0.5+4×0.2=0+0.5+0.8=1.3；E(Y²)=0²×0.3+1²×0.5+4²×0.2=0+0.5+3.2=3.7；D(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²=3.7−(1.3)²=3.7−1.69=2.01。（3）Z=|X|的可能取值为0,1,2（因|−1|=1，|0|=0，|1|=1，|2|=2）。P(Z=0)=P(X=0)=0.3；P(Z=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0.1+0.4=0.5；P(Z=2)=P(X=2)=0.2。故Z的分布律为：Z|012P|0.30.50.27.已知随机变量X~N(μ,σ²)，且P(X≤0)=0.2，P(X≤2)=0.8。（1）求μ和σ；（2）计算P(1<X<3)；（3）若Y=2X−1，求Y的分布。答案：（1）标准化得：P(X≤0)=Φ((0−μ)/σ)=0.2，P(X≤2)=Φ((2−μ)/σ)=0.8。查标准正态分布表，Φ(−0.84)=0.2，Φ(0.84)=0.8（因Φ(z)=1−Φ(−z)）。故(0−μ)/σ=−0.84，(2−μ)/σ=0.84。联立方程：−μ=−0.84σ⇒μ=0.84σ，2−μ=0.84σ⇒2−0.84σ=0.84σ⇒2=1.68σ⇒σ=2/1.68≈1.1905，则μ=0.84×(2/1.68)=1。（2）P(1<X<3)=Φ((3−1)/1.1905)−Φ((1−1)/1.1905)=Φ(2/1.1905)−Φ(0)=Φ(1.68)−0.5。查标准正态分布表，Φ(1.68)=0.9535，故P(1<X<3)=0.9535−0.5=0.4535。（3）Y=2X−1为正态分布的线性变换，故Y~N(2μ−1,(2σ)²)。代入μ=1，σ≈1.1905，得Y~N(2×1−1,4×(1.1905)²)=N(1,4×1.417)=N(1,5.668)（或保留精确形式：Y~N(1,(2σ)²)，因σ=1，实际计算中μ=1，σ=1更准确，可能之前计算σ=1，因联立方程：由(0−μ)/σ=−0.84，(2−μ)/σ=0.84，两式相减得2/σ=1.68⇒σ=2/1.68=50/42=25/21≈1.1905，μ=0.84σ=0.84×(25/21)=1，正确。故Y~N(2×1−1,(2×25/21)²)=N(1,(50/21)²)。8.设离散型随机变量X的分布律满足P(X=k)=c×(1/3)^k，k=1,2,3,…（即k为正整数）。（1）求常数c；（2）计算P(X≥2)；（3）求E(X)。答案：（1）由分布律归一性，∑_{k=1}^∞P(X=k)=1，即c×∑_{k=1}^∞(1/3)^k=1。几何级数∑_{k=1}^∞r^k=r/(1−r)（|r|<1），此处r=1/3，故∑_{k=1}^∞(1/3)^k=(1/3)/(1−1/3)=1/2。因此c×(1/2)=1⇒c=2。（2）P(X≥2)=1−P(X=1)=1−2×(1/3)^1=1−2/3=1/3。（3）E(X)=∑_{k=1}^∞k×P(X=k)=2×∑_{k=1}^∞k×(1/3)^k。几何级数期望公式：∑_{k=1}^∞k×r^k=r/(1−r)²，此处r=1/3，故∑_{k=1}^∞k×(1/3)^k=(1/3)/(1−1/3)²=(1/3)/(4/9)=3/4。因此E(X)=2×(3/4)=3/2=1.5。9.连续型随机变量X的概率密度为f(x)=e^{-|x|}/2，x∈R。（1）验证f(x)是合法的概率密度；（2）求X的分布函数F(x)；（3）计算P(X≤1)与P(|X|>2)；（4）求E(X)与D(X)。答案：（1）∫_{-∞}^∞f(x)dx=∫_{-∞}^∞e^{-|x|}/2dx=∫_{-∞}^0e^{x}/2dx+∫₀^∞e^{-x}/2dx=[e^{x}/2]_{-∞}^0+[−e^{-x}/2]₀^∞=(1/2−0)+(0−(−1/2))=1/2+1/2=1，故合法。（2）分布函数F(x)=∫_{-∞}^xe^{-|t|}/2dt。当x<0时，F(x)=∫_{-∞}^xe^{t}/2dt=[e^{t}/2]_{-∞}^x=e^{x}/2；当x≥0时，F(x)=∫_{-∞}^0e^{t}/2dt+∫₀^xe^{-t}/2dt=1/2+[−e^{-t}/2]₀^x=1/2+(1/2−e^{-x}/2)=1−e^{-x}/2。故F(x)=⎩⎨⎧e^{x}/2,x<0；1−e^{-x}/2,x≥0。（3）P(X≤1)=F(1)=1−e^{-1}/2≈1−0.1839=0.8161；P(|X|>2)=1−P(|X|≤2)=1−[F(2)−F(−2)]=1−[(1−e^{-2}/2)−(e^{-2}/2)]=1−(1−e^{-2})=e^{-2}≈0.1353。（4）E(X)=∫_{-∞}^∞x×e^{-|x|}/2dx。由于被积函数是奇函数（x×e^{-|x|}为奇函数），对称区间积分结果为0，故E(X)=0；E(X²)=∫_{-∞}^∞x²×e^{-|x|}/2dx=2×∫₀^∞x²×e^{-x}/2dx=∫₀^∞x²e^{-x}dx=Γ(3)=2!（伽马函数Γ(n)=(n−1)!）=2；故D(X)=E(X²)−[E(X)]²=2−0=2。10.某电子元件的寿命X（单位：小时）服从参数为λ=0.001的指数分布。（1）求该元件寿命超过1000小时的概率；（2）已知该元件已使用500小时未失效，求其寿命超过1500小时的概率；（3）若有3个独立工作的该元件，求至少1个寿命超过1000小时的概率。答案：（1）指数分布P(X>t)=e^{-λ