线性代数-本科-练习题(含答案)

线性代数练习题(本科)

一、判断题

1.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。N)

2.若四,。2线性无关,(X2,Ct3线性无关，则ai,a2.线性无关。(X)

3.若Cti,(X2，…，(Xm线性无关，则(11+(12+…+即1和。N)

4.若齐次线性方程组AX=O有非零解，则非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解。(X)

5.若A的特征值全为0,则A一定相似于零矩阵。(x)

6.若A,B为n阶正定阵，则AB也为正定阵。(x)

7.若A为n阶方阵，贝IJ|5AT|=5|A|°(X)

222

8.若矩阵A,B满足(A+B)=A+2AB+B,贝I」AB=BAO(4)

9.若方程组AX=0有非零解，则人乂力有无穷多个解。(X)

10.设A.B为非零阵，且ABR,则B的行向量线性相关。(Y)

11.设“川=,，则A至少有一个川阶子式不为零。(”)

12.若8,。2,…,am线性无关,则ai+2a2+3ct3+...+川a”*0。(4)

13.可逆的上三角阵的逆矩屿仍是上三角阵.(4)

T

14.若a=(ai,a2，…，an)#0>则。。丁的秩必为I。(4)

15.设A,B,C为n阶方阵,若ABC=L则C=B/A」。(4)

16.设A为mxn矩阵，r(A)=m,则非齐次线性方程组AX=b一定有解。(力

17.若A,B为"阶正定阵，则A"+D」也为正定阵。(4)

18.若A的特征值为1或0,则A=Ao(x)

19.若n阶方阵A中每列元素之和为0,则|A|=00N)

10.若A可逆，则(A*尸=(A」)*,其中A*是A的伴随矩阵。(7)

二、填空题

X11

1y00

/.rvz-vz-/z-/v

10z0

100

2.设A为n阶方阵，A2+3A-I=O,则(A-W=-(A+4D/3。

TTT

3.设ai=(l,2,0,3),a2=(2,7,1,1),a3=(3,0,-2,t)，则t=19时,ahaz.013线性相关。

4.设三阶方阵A的特征值为1,-12则B=A2-5A+2I的特征值为2A4,41=640

5.设/(%1，%2，%3)=*++4xj+2ax/2—^xix3+4%2》3是正定二次型，则a满足-Zcacl。

bbb

babb

6.(a+3b)(a-b)

bbab

bbba

7.设A=C22)则

5l(A/2尸・3A+I二・32

2

8.设A=(l2-10),“4尸2,则a-3/2<>

0a

\0-45

T

9.设A为三阶方阵，取片2,AX=b有三个解Xi,X2,X3,其中X】=(2,3,1)T,X2,+X3=(3,5,2),则方程

组AX=b的通解为(231「+牝1[0)、

10.若二次型/(外,%2，%3)=—+2%2+(1-t)X3+2txi必+2》I%3正定，则(满足-1。

三、计算行列式

133…3

323…3

(1)求行列式。产333…3

333…n

133…3

323…3

解：Dn=333…3(把第三列的-1倍加到其余各列)

333…?1

-203…0-200…0

0-13…00-10…0

—003…0=003…0=6(n-3)!(n>3)

•••・・・・•••••••••・・・•••

003…n-3000…n-3

X

X

（2）计算行列式。，尸

aa...x

解：将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得解:

a-xx-a0•••0

Dn=a-x0x-a…0

a-x000x-a

再将各列都加到第一列上，得:

x+(n-l)«aaa

0x-a0…0

1

Dn=00x-a…0=[x+(n-l)a](x-«)"

0000x-a

四、（1）设A=（；01\

10,求矩阵X使其满足矩阵方程AX=A+2X。

\014/

解：(A-2E)X=A=>X=(A-2E),A

o1\/I00\(101\2

10-2010=1-10,(A-2E)”：

\0i4/\001/\012/

(2-1-P

/301\/5-2

X=(A-2E)-'A2-2-1110=4-3

C11>\014/\-227）

（2）求解矩阵方程

设定阵A=fl-1

1且矩阵X满足AX+E=A3+X,求X。

\01D-

解：

由,江+上=月3+*,得(X-£)X=d3-E

(1-11Z100、z0-1r

又由（,一5）=11001010o可逆

1011.

、001,、01oJ

由(d—E)X—A'—E,可得Ql—E)X=(A-E\A*•¥A•¥E)

两边左乘（N-E）",得到

z0-12、(1-11100、f2-23、

X=(/+d+£)=201+:110+010321

J2011八0033

五、(1)设向量组ai=(l,0,1,l)T,a2=(21,2,l)T,a3=(4,5,4,ou=(3,2,3,1)\

1.求向量组的一个极大线性无关组；

2将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合。

解：令(aJ,a2,a3,a?)=

1.%，，是一个极大线性无关组:

2.%=-6a,+5a?;

<z4=一％+2a2•

(2)、求向量组a1二(l,4,1,0)。2=(2,9,-1,-3)。3=(1,0,-3,-1),04=(3/0,・7,-7)的一个极大线性无关组，并用该极大

线性无关组线性表示出其它向量。

解:令(aj,aaT,ajT,aJ)

-

%i5g+2X3-3X4=11

的通解。

5%i+3X2+6x3-x4=-1

{2%i+4X+2X+x=-6

234

/I-5209/7-1/21\

解：A=5361-1/71/2-2

\2420000/

91

与+亍"3—2办=1"俨=—24+*—2心

1,1Qlx2=-2X44-x5

X2_yX3+2%4=-2

/一2\/1\/-2\

1-21

方程组的一个特解n=1，基础解系为《尸0,5o

01o

\0/\0/\1/

方程组的通解为X=k&+k2$+n(ki,k2为任意常数)

2、用正交变换将二次型f(；q,%2，X3)=/血+X63+%2必化为标准型，写出标准型和所作的正交变换.

01/21/2

XT

解：/01，%2，%3)=3，%2，%3)1/201/2(;)=AX

11/21/20

⑴求A的特征值

令仄1-A|=0,可得矩阵A特征值为:为=1/2(重根),入2=1(单根)。

⑵求A特征向量

当箱=”/2时，求得A的两个线性无关的特征向量:

ai=(-l10)T,2=(-101)T,

正交化：B1二a产(-110)T

仇二。2-普四=久一1-12)/

(仰，2

当入2=1时，求得A的一个线性无关的特征向量:

03=(111)丁，

—1/V2—1/V61/V3

(3)令C=(£i，以,£3)=1/V2—1/V61/V3

02/V61/V3

则/'(X)=>/(丫)=-\yl-+yj

%i+%2+%3+x4+x5=a

3%+22衰3(：：-；：/_0问a,b为何值时,方程组有解？并求其通解。

%2十=3'乙十一。

5右+4X+3%+3X-x=2

(2345

11111a

211-30\I012263a

解:，当R(A)=R(B)时,即当a=l,b=3时方程组有解。

1226ZJFl00000b—3a

433-12/\000002-2a.

11111\/I0-1-1-5-2\

此时B~(；122631(012263I

00000Cl000000r

\000000/\000000/

x—=-2

-x--x3—45X5Xi=X3+x4+5x5-2

x2+2x3+2X44-6xs=3x2=-2X3-2X4-6xs+3

4、用正交变换将二次型f(%i，Q,X3)=*+2底+*+2%途3化为标