线性代数期末综合练习及答案（三）

线性代数练习三(答案在试题后)

一、填空题

a\\a\2“13—2。［［-2。］,-2a

1.如果行列式a2\a22。23=2,贝1」-2。,1-2。2，-2。

。31a32。33一2%i-2%2-2。

3-12

6812

2.设。=，则42+422+432+人42=

3912

6232

12斗且有A3C=E1，则A

3.设3=C=

1

1[0]

4.设齐次线性方程组11x2=0的基础解系含有2个解向量，则

1

5.A、3均为5阶矩阵，|A|=g,忸|=2,则卜0

6.设a=(1,—2』),，设A=aar，则不=。

7.设A为〃阶可逆矩阵，A"为A的伴随矩阵，若入是矩阵A的一个特征值,

则4的一个特征值可表示为o

8.设向量a=(2,1,3,2),平=(l,2,-2,l)r,则a与夕的夹角3=。

9.若3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,则|4+目=。

二、单项选择

入犬！+x2+x3=0

1.若齐次线性方程组，阳+标2+七=0有非零解，则九二()

X14-x2+京3=0

A.1或2B.-1或一2C.1或一2£>.—1或2.

2.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为

3-2,1,1,则网=()

A.5B.-5C.-3D.3

3.设A、3均为〃阶矩阵，满足48=0,则必有()

A.同+同=0B.r(A)=r(B)

C.4=0或3=0。,网=0或忸=0

4.设仇，瓦是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为

该方程组解的是()

A.丹+外B.1(3^,+2/72)C.；(4+2小)D.

三、计算题

ab•1­b

ha…h

i.计算〃阶行列式2二

••••••・・・•・♦

bb•••a

rion

2.设AB均为3阶矩阵，且满足A8+E=A2+B,若矩阵A=020

「10"

求矩阵8。

'9、'0、%、

3.已知向量组四==6和A=2、仇~1

一O

已知P可以由“gg线性表示,且与01，打，鱼具有相同的秩,求

。，力的值。

T、'2、(11T、

-13-55-2

4.已知向量组四=,a?—,%=,巴二

21342

4、6;、0,

（1）求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组;

（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

百十工2十2/+3叫=1

5.已知线性方程组&+3X2++X4=3

%-5X2-IOX3+9%=a

（1）。为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解

的结构表示）.

6.设矩阵~4|,D=,矩阵A由关系式P-）P=O确定，试

求4

四、证明题

已知3阶矩阵8/0,且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解

x}+2X2-x3=0

2X,-X2+^3=0,(1)求4的值；(2)证明：同=0。

3M+x2-x3=0

参考答案

填空题

:1-21)

710、

.阳;

1.-16；2.0；3.4.1；5-4；6.61=65_24-27

2,

-21>

8.-；9.24。

2

二.单项选择:1.C；2.A；3.D；4.B',5.C.

三.计算题；

abb1bb

bbab

1./==\a+(n-\)h\

bb••ab

bb

0a-b0

=\a+(n-\)h\\a+(n-\)b](a-b)n-]

00…a-b

2.AB+E=A2^-B^>AB-B=A2-E

=>(4一E)B=(A—E)(A+E)

<00r

因为A—E=01o显然可逆

「10o;

10120r

则B=A-\-E=020+E=030

-10-102,

39b39b、

3.20610-6-121-2/7

-31-70<000513—63)

即b=5,且“%，。2，%)=2

那么“*%外)=2,则

'0ab2n21

1203i->031,即4=15

10

J105)0a—150

第1页，共3页

<10211、0211]\\0210、

-13-55-203-36-101-120

4.-»一

2134201-12000001

J268o;<02-24-4;、0000

其极大线性无关组可以取为名,。2，%

且：a、=2al-a2+0%，4=%+2al+0%

1123r1231’10040、

5.13613024-22012-11

I。

1-5-109a.,0-6-126a-1000。+5,

当。=一5时，线性方程组有解

回

；二一2二；特解为丫。1

即4

0

2二-4匕，基础解系为。

其导出组的一般解为

x2=-2X3+x4

原线性方程组的通解为YO+LJ+42n2(匕/2为任意常数)

6.由。一以尸=。,得A=PDPT

A5=PLfP[

-10?If14-1-4Y-1oAi14

2J3I-1-1

17\o11032乃[-1-1J

2(1-128(144344

31T32人-1-\)1-11-12

四.证明题：

因为所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式

12-1

2