人教版初中数学八年级下册第17章 勾股定理同步练习

第十七章勾股定理

测试1勾股定理(一)

学习要求

掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条

边长求出第三条边长.

课堂学习检测

一、填空题

1.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为C,那么=1：这一定理在

我国被称为.

2.△A8C中，ZC=90°,〃、b、c分别是NA、NB、NC的对边.

(1)若〃=5,b=12,则c=；

(2)若c=41,〃=40,则。=；

(3)若NA=30°,a=],则c=,b=：

(4)若NA=45°,a=\>贝lj〃=,c=.

3.如图是由边长为Im的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A-B-

C所走的路程为.

4.等腰直角三角形的斜边为1(),则腰长为,斜边上的高为.

5.在直角三角形中，一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周

长为.

二、选择题

6.中，斜边8c=2,则A4+ACZ+B。?的值为().

(A)8(B)4(C)6(D)无法计算

7.如图，AABC中，AB=AC=\0,8。是AC边上的高线，DC=2,则BQ等于().

(A)4(B)6(C)8(D)2jld

8.如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,若48=15cm,则正方形4£>EC和正方形BCFG的面

积和为().

G

(A)150cm2(B)200cm2

(C)225cm2(D)无法计算

三、解答题

9.在RtAABC中，ZC=90°,N4、NB、NC的对边分别为a、b、c.

⑴若a：6=3：4,c=75cm,求a、b；

⑵若a：c=15：17,b=24,求△ABC的面积;

(3)若c、-a=4,b=16,求a、c；

(4)若N4=30'，c=24,求c边上的高儿.；

(5)若“、b、c为连续整数，求a+〃+c.

综合、运用、诊断

一、选择题

10.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能有().

(A)l个(B)2个

(C)3个(D)4个

二、填空题

II.如图，直线/经过正方形48C。的顶点8,点A、C到直线/的距离分别是1、2,则正

方形的边长是.

H

12.在直线上依次摆着7个正方形（如图），己知倾斜放置的3个正方形的面积分别为I,2,

3,水平放置的4个正方形的面积是Si，S2，S3,SA，则SI+$2+53+84=.

三、解答题

13.如图，RtZ\4BC中，ZC=90°,ZA=30°,8。是NABC的平分线，AD=20,求8c

的长.

拓展、探究、思考

14.如图，中，ZC=90°.

（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S+S2与S3的关系;

⑵以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究十52与S3的

关系：

（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S+S2与S3的关系.

图③

(C)6>/5(D)8、/5

三、解答题

7.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的4处；

另一只爬到树顶。后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,

则这棵树高多少米？

8.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面.1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及

水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米？

综合、运用、诊断

一、填空题

9.如图，一电线杆A8的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为.

_米.

10.如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的

A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为（兀

取3）

二、解答题：

II.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为6（）。角（如图所示），则梯子

的顶端沿墙面升高了m.

12.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?

若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元？

拓展、探究、思考

13.如图，两个村庄A、5在河CO的同侧，A、8两村到河的距离分别为AC=1千米，BD

=3千米，CO=3千米.现要在河边CO上建造一水厂，向A、B两村送自来水.铺设

水管的工程费用为每千米20000元，请你在C。上选择水厂位置O,使铺设水管的费用

最省，并求出铺设水管的总费用W.

测试3勾股定理(三)

学习要求

熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.在△ABC中，若N4+/B=90°,AC=5,8C=3,则边上的高CE

2.在△ABC中，若A8=AC=20,4c=24,则边上的高AO=,AC边上的高BE

3.在8c中，若AC=3C,ZACB=90°,AB=10,则AC=,48边上的高CO

4.在△A8C中，若A8=8C=C4=a,则△A8C的面积为.

5.在△ABC中，若/4CB=120°,AC=BC,AB边上的高CO=3,则AC=,AB

=,8c边上的高AE=.

二、选择题

6.已知直角三角形的周长为2+痛，斜边为2,则该三角形的面积是().

13I

(A)-(B)-(C)-(D)l

442

7.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于().

(A)V7(B)将或VZT(0472(D)4血或V7

三、解答题

8.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90a,D、E分别为8c和AC的中点，AQ=5,BE=25/10

求A8的长.

9.在数轴上画出表示-所及g的点.

综合、运用、诊断

10.如图，△ABC中，ZA=90°,4c=20,48=10,延长AB至lj。，使CO+O8=AC+

求的长.

ABtBA

11.如图，将矩形A4CD沿"折卷，使点。与点8重合，已知48=3,AQ=9,求花的

长.

12.如图，折叠矩形的一边AQ,使点。落在8C边的点尸处,已知A8=8cm,BC=10cm,

求石C的长.

13.已知：如图，△ABC中，NC=90°,。为A8的口点，E、F分别在AC、8c上，且

DE1DF.求证：AE:-\-BF2=EF2.

拓展、探究、思考

14.如图，己知中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线

/.,h，/3上，且伍L之间的距离为2,h，A之间的距离为3,求AC的长是多少？

15.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE

为边作第三个正方形AEG”,如此下去，……已知正方形A8C。的面积S为1,按上述

方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…，S”（〃为正整数），那么第8个正方形的面

积$8=，第〃个正方形的面积S〃=.

B

HA

测试4勾股定理的逆定理

学习要求

掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及

它们之间的关系.

课堂学习检测

一、填空题

1.如果三角形的三边长4、5、C满足/+/=。2,那么这个三角形是_____三角形，我们

把这个定理叫做勾股定理的.

2.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第

二个命题的题设，那么这两个命题叫做：如果把其中一个命题叫做原命题,

那么另一个命题叫做它的.

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10.(2)5、12、13,(3)8、15、17,(4)4、

5、6,其中能构成直角三角形的有.(填序号)

4.在△48C中，。、b、c分别是乙4、NB、NC的对选，

①若序+户>/,则为；

②若『+/,则/c为；

③若a2+h2<c2,则Z.C为.

5.若△AUC中，(b-a)(bI«)=c-2,则N"=；

6.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC是____三角形.

7.若一个三角形的三边长分别为1、〃、8(其中。为正整数)，则以。一2、〃、。+2为边的三

角形的面积为.

8.AA/C的两边。分别为5,12,另一边c为奇数，且a+0+c•是3的倍数，则c•应为

，此三角形为.

二、选择题

9.下列线段不能组成直角三角形的是().

(A)a=6,〃=8,<?=10(B)a=1,b=a,c=6

53

(C)a=—,b=\yc=—(D)a=2,b=3,c=V6

44

10.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是().

(A)l：1：2(B)l：3：4

(C)9：25：26(D)25：144：169

II.已知三角形的三边长为小〃+1、加其中/=2〃+|),则此三角形().

(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形

(C)一定是直角三角形(D)形状无法确定

综合、运用、诊断

一、解答题

12.如图，在△人中，。为BC边上的一点，已知AB=13,AD=\2,4c=15,BD=5,

求CO的长.

13.已知：如图，四边形ABCD中，AB±BC,AB=\,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形

ABCD的面积.

14.已知：如图，在正方形ABC。中，尸为。。的中点，E为C8的四等分点且CE=，C8,

4

求证：AFIFE.

15.在4港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙

船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到尸

岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航夕亍的吗？

拓展、探究、思考

16.已知△A4C中，『+/+/=［（）Q+24〃+26C-338,试判定△ABC的形状,并说明你的

理由.

17.已知4、仄C是△回。的三边，且42c2一成2=/一试判断三角形的形状.

18.观察下列各式:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262,…，你有没有

发现其中的规律?请用含〃的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.

参考答案

第十七章勾股定理

测试1勾股定理(一)

1.4十户，勾股定理.2.(1)13；(2)9；(3)2,6：(4)1,J5.

3.2vL4.572,5.5.132cm.6.A.7.B.8.C.

9.(1)。=45cm.b=60cm；(2)540；(3)a=3O,c=34；

(4)6A/3；(5)12.

10.B.11.V5.12.4.13.10V3.

14.(l)Si+S2=S3：(2)SI+S2=S3：(3)SI+52=S3.

测试2勾股定理(二)

1.13或VI西2.5.3.2.4.10.

3

5.C.6.A.7.15米.8.一米.

2

9.,10.25.11.2V3—2^/2.12.7米，420元.

13.10万元.提示：作A点关于CO的对称点A',连结A'B,与CO交点为O.

测试3勾股定理(三)

1.J34,—J34;2.16,19.2.3.5V2,5.4.

344

5.6,6535/3.6.C.7.D

8.2V13.提示：设BD=DC=m,CE=EA=k,则fc2+4/n2=40,4le+m2=25.AB=

+45=2炳

9.J15=J]2+32,旧二，22+32,图略.

10.BD=5.提示：设BD=x,则CD=30-x.在RtAACD中根据勾股定理列出(30—1)2

=♦+10)2+20',解得“=5.

11.BE=5.提示：设贝iJOE=8E=x,AE=AD~DE=9~x.在中，AB2

+人序=8炉，.\32+(9-X)2=A2.解得X=5.

12.EC=3cm.提示：设EC=x,则。E=M=8—x,AF=AD=\0,BF=y/AF2-AB~=6,

CF=4.在RIACE尸中(8-x)2=f+42,解得x=3.

13.提示：延长FO到M使。M=OF,连结AM,EM.

14.提示：过A,C分别作/3的垂线，垂足分别为M,N,则易得△AMBgZXBNC,则

AB=用,/.AC=2->/n.

15.128,2’厂I

测试4勾股定理的逆定理

1.直角，逆定理.2.互逆命题，逆命题.3.(1)(2)(3).

4.①锐角；②直角；③钝角.5.90°.6.直角.

7.24.提示：7VaV9,，a=8.8.13,直角三角形.提示：7VcV17.

9.D.10.C.11.C.

12.CD=9.13.I+A/5.

14.提示：连结AE,设正方形的边长为4a,计算得出AHEF,AE的长，由A尸+七尸=

4层得结论.

15.南偏东30°.

16.直角三角形.提示：原式变为(〃-5)2+3—12)2+9—13)2=0.

17.等腰三角形或直角三角形.提示：原式可变形为(层一护)(片+户一冷=0.

18.35?+122=372,[(〃+1)2—1/+[2(〃+1)产=[(〃+1)2+1产.(〃21且〃为整数)

第十七章勾股定理全章测试

一、填空题

1.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为.

2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为.

3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑

的四个小正方形的面积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为cm.

4.如图，B,C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得NABC=45°,N4C8=45°,BC

=60米，则点A到岸边8c的距离是米.

4题图

5.已知：如图，ZXA8C中，/C=9()",点。为△48C的三条角平分线的交点，OD1BC,

OELAC,OFLAB,点D,E,尸分别是垂足，且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边

AB,AC和BC的距离分别等于cm.

5题图

6.如图所示，有一块直隹三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠使它落

在斜边AC上，折痕为AO,则BO=.

6题图

7.△人8c中，AB=AC=\3,若/IB边上的高CO=5,MBC=.

8.如图，A8=5,AC=3,8c边上的中线AO=2,则AABC的面积为

8题图

二、选择题

9.下列三角形中，是直角三角形的是()

(A)三角形的三边满足关系a+b=c(B)三角形的三边比为1：2：3

(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9,40,41

10.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已

知这种草皮每平方米售价。元，则购买这种草皮至少需要().

10题图

(A)450。元(B)225a元

(C)150A元(D)3006,元

II.如图，四边形A8CO中，AB=BC,NABC=NCQA=90°,于点E,且四边

形A8CQ的面积为8,则8E=().

(A)2(B)3

(C)2V2(D)2V3

12.如图，RtZ\A3C中，ZC=90°,CO_LA8于点。，A3=13,CD=6,则AC+3C等于

().

(A)5(B)5A/13

(C)13V13(D)9五

三、解答题

13.已知：如图，△ABC中，NC4B=120°,AB=4,AC=2,AD±BC,。是垂足，求4。

的长.

14.如图，已知一块四边形草地A4CO,其中NA=45°,ZB=ZD=90°,AZ?=20m.CD

=10m,求这块草地的面积.

b

15.△A8C中，AB=AC=4,点尸在8C边上运动，猜想AP?+PB•尸C的值是否随点P位

置的变化而变化，并证明你的猜想.

16.已知：△ABC中，4B=15,AC=\3,BC边上的高40=12,求8c.

17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，窗为6cm.如果用一根细线从点A开始

经过四个侧面缠绕一卷I到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点4开始经过四

个侧面缠绕〃圈到达点力那么所用细线最短需要多长？

A

3an

18.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都

为3,另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完

全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.

图1图2图3

⑴请用二种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块宜

角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸

片全部用上，互不重:叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、

图3的方格纸」：（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合：画图

时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；

（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；

若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少：

（3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是