人教版部编版八年级数学下册期末试卷测试卷(解析版)

人教版部编版八年级数学下册期末试卷测试卷（解析版）

一、选择题

1.使代数式号有意义的负整数工之积是（）

A.-3B.3C.2D.-2

2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.丛,石，2B.1,2,币C.1,及，&D.4,5,6

3.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,要使四边形ABCO成为平行四边形，则应增加的

条件是（）

A.AB=CDB.ZABD=NCDB

C.AC=BDD.ZABC+ZBAD=\SO°

4.甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是=5,

52=12,则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是（）

A.甲B.乙C.甲和乙一样D.无法确定

5.如图，点E是边长为8的正方形4BCD的对角线8。上的动点，以AE为边向左侧作正方

形4EFG,点P为4。的中点，连接PG,在点E运动过程中，线段PG的最小值是（）

A.2B.&C,2&D.472

6.如图，在菱形纸片ABCD中，NA=60。，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折

叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点U处，则NDEC的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.如图，中，NA4c=90。，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线//、3h

上，且小〃之间的距离为1,卜、/3之间的距离为3,则AC的长是（）

8.如图点。按A-8->CfM的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是。。边上的中

点.设点，经过的路程x为自变量，△>1而的面积为y,则函数》的大致图象是（）.

二、填空题

9.函数），=^^中，自变量的取值范围是.

10.若菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则该菱形的面积是cm2.

11.一条直角边3,斜边长为5的直角三角的面积为.

12.如图，将矩形A8CD折叠，使点。和点A重合，折痕为防，所与4c交于点0.若

AE=5,BF=3,则A。的长为.

13.一次函数），=2/+机的图象与），轴的交点是（0,3）,则〃?=.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AD上，PE_LAC于E,PF_LBD于F,则

PE+PF等于.

15.如图1,在长方形A8CO中，动点P从点4出发，沿AfAfCfD方向运动至。点

处停止，设点P出发时的速度为每秒Am,。秒后点P改变速度，以每秒1cm向点。运

动，直到停止.图2是△APD的面积S（cm2）与时间I包的图像，则的值是.

图1图2

16.如图，在平面直角坐标系，直线/:），=立x-G与.丫轴交十点用，以。片为一边在。与

3

上方作等边《4。四，过点A作AB,平行于X轴，交直线/于点鸟,以4鸟为一边在AB?上

方作等边△4A%,过点A?作人用平行于x轴，交直线!于点层，以A?名为一边在上

方作等边△A4&则4（3的横坐标为.

三、解答题

17.计算题.

（3）（5/3-72）°+（-y）-2+O-A/16;

18.有一架5米长的梯子搭在墙上，刚好与墙头对齐，此时梯脚与墙的距离是3米

RR'

（1）求墙的高度？

（2）若梯子的顶端下滑1米，底端将水平动多少米？

19.如图，每个小正方形的边长都是1,△A3c的三个顶点分别在正方形网格的格点上.

（1）求AB,8c的长；

（2）判断AABC的形状，并说明理由.

20.如图，在.48。。中，对角线AC、80相交于点。，AC±BD,过点A作AE_L8C,

交CB延长线于点E,过点C作b_LA。，交人。延长线于点尸.

（1）求证：四边形AKCT是矩形；

（2）连接0E,若AE=4,AO=5,求OE的长.

21.［观察］请你观察下列式子的特点，并直接写出结果:

［发现］根据你的阅读回答下列问题：

（1）请根据上面式子的规律填空：

_____（〃为正整数）；

Y〃（/?+1）

（2）请证明⑴中你所发现的规律.

【应用1请直接写出下面式子的结果:

22.某商场用相同的价格分三次购进A型和8型两种型号的电视机，前两次购进情况如下

表.

A型（台）8型（台）总进价（元）

第一次203090000

第二次102055000

（1）求该商场购进4型和B型电视机的单价各为多少元？

（2）已知商场第三次购进八型和8型电视机共40台，，4型电视机的标价为每台2000元，

8型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、8型

电视机打八折销售，设购进4型电视机。台，销售完这40台电视机商场可获利W元.

①求出利润W与。的函数关系式；

②若利润为31600元，此时应购进A型和B型电视机各名少台？

23.如图1,四边形ACBO中，AC=AD,BC=BD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫

做“筝形",如图2,在“筝形"4CBD中,对角线48=CD,过点B作8EJL4C于E点，F为线段

BE上一点、,连接以、FD,FA=FB.

（1）求证：^ABF^△CDxA

（2）如图3,FA、FD分别交CD、A8于点M、N,若AM=MF,求证：BN=CM+MN.

24.如图所示，在平面直角坐标系中，点3的坐标为（4,8）,过点8分别作3A_Ly釉,

BCJLx轴，得到一个长方形OABC,。为y轴上的一点，将长方形0ABe沿着直线。M折

叠，使得点A与点C重合，点8落在点尸处，直线。M交8C于点E.

（备用图）

（1）直接写出点。的坐标―；

（2）若点尸为x轴上一点，是否存在点P使△尸DE的周长最小？若存在，请求出aPDE

的最小周长；若不存在，请说明理由.

（3）在（2）的条件下,若Q点是线段。E卜一点（不含端点），连接PQ.有一动点H

从2点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点。，再沿着线段Q石以每秒6个

单位长度的速度运动到点E后停止.请直接写出点〃在整个运动过程中所用的最少时间

h以及此时点。的坐标.

25.如图，四边形488为正方形.在边人。上取一点E连接鸵，使NAEB=60。.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点8、。为圆心，8c长为半径作弧交正方

形内部于点丁，连接8r并延长交边A。于点E,则NAE8=60。；

（2）在前面的条件下，取晅中点过点M的直线分别交边A3、于点P、Q.

①当PQ18E时，求证：BP=2AP；

②当PQ=8石时，延长庞，CO交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

26.如图，R3CEF中，ZC=90°,ZCEF,NCFE外角平分线交于点4,过点A分别作直

线C£,CF的垂线，B,。为垂足.

（1）匕EAF=°（直接写出结果不写解答过程）；

（2）①求证：四边形2BCD是正方形.

②若8E=EC=3,求DF的长.

（3）如图（2）,在△PQR中，NQPR=45°,高PH=5,QH=2,则HR的长度是

（直接写出结果不写解答过程）.

图1图2

【参考答案】

一、选择题

1.C

解析：C

【分析】

先根据二次根式和分式有意义的条件求出x的取值范围，然后求出满足题意的负整数的积

即可.

【详解】

解：:)'=J.r+3有意义'

/.x+3>0>

解得x>-3，

，满足题意的负整数解为-2,-1,

•••负整数解的积=(-l)x(-2)=2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练学

握相关知识进行求解.

2.C

解析：C

【分析】

根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个

选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决.

【详解】

解：A、2?+(6)2工(石)2,故选项中的三条线段不能构成直角三角形；

222

B、2+l#(V7),故选项中的三条线段不能构成直角三角形；

C、/+(&)2=(G)2,故选项中的三条线段能构成直角三角形；

D、42+52^62,故选项中的三条线段不能构成直角三隹形；

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可.

【详解】

A.错误，当四边形A8C。是等腰梯形时，也满足条件.

B.正确，'/ZABD=/CDB,

/.AB//CD,

•/AD!IBC.

••・四边形ABC。是平行四边形.

C.错误，当四边形48CO是等腰梯形时，也满足条件.

D.错误，ZA5C+N84O=180。，

ADIIBC,与题目条件重复，无法判断四边形ABC。是不是平行四边形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题的关

键是熟练掌握平行四边形的判定方法.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

平均成绩相同情况下，方差越小越稳定即可求斜.

【详解】

解：二・甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，

方差分别是用=5,S：=12,S；VS3

••・甲同学的数学成绩比较稳定.

故选择A.

【点睛】

本题考查用平均数，方差进行决策，掌握平均数是集中趋势的物理量，方差是离散程度的

物理量，方差越小波动越小，方差越大波动越大越不稳定是解题关键.

5.C

解析：C

【分析】

连接OG,oJiiEAAGD^AEB,得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解.

【详解】

解：连接。G,如图，

，,四边形48CD、四边形4EFG均为正方形，

/.ZDAB=NGAE=9Q°,AB=AD,AG=AE,

ZGAD+ADAE=NDAE+NBAE,

ZGAD=Z.BAE,

AB=AD,AG=AE,

/.△AEB^△AGD(SAS),

：.ZPOG=N48£=45°,

G点轨迹为线段OH,

当PGJ_。”时，PG最短，

在R3PDG中，NPOG=45°,P为4。中点，DP=4,

设PG=x，则。G=x,由勾股定理得，

x2+x2=42,

解得x=2&•

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握连接。G,得到G点轨迹，

是解题的关键.

6.D

解析：D

【解析】

【分析】

连接BD,由菱形的性质及/4=60。，得到△A3。为等边三角形，P为的中点，利用

三线合一得到OP为角平分线，得到NA£)P=30。，ZADC=120°,ZC=60°,进而求出

ZP/3C=90°,由折叠的性质得到NCOE=NH)E=45。，利用三角形的内角和定理即可求

出所求角的度数.

【详解】

・「四边形A8CO为菱形，

AB=AD，

•••NA=60。，

△A3。为等边三角形，ZADC=120。，ZC=60°,

•••P为AB的中点,

DP为ZAO8的平分线，即ZADP=N4QP=30。，

ZPDC=9O°,

由折叠的性质得到NCZ)E=NPDE=45。，

在一OEC中，NOEC=1800-(NC£)E+NC)=75。.

故选：D

【点睛】

此题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形内角和

定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.

7.C

解析：C

【解析】

【分析】

过点A作AE_L/»垂足为E过点C作。凡1-4,垂足为凡交4于点G,证明

△AB氏&BCF,得到加W4E=3,CF=4,运用勾股定理1一算即可.

【详解】

过点A作A£J_4,垂足为E,过点。作CAL。，垂足为凡交4于点G,

,//)II/2II/3,

CG±/2,

...g3,CG=1,FG=3,

「NA8c=90°,AI3=BC,

ZABE+NCBF=90\ZAI3E+ABAE=90°,

ZCBF-Z.BAE,

^ABE=〉BCF,

BF=AE=3,CF=4,

•,BC=,3?+4?=5,

AC=J52+52=5&,

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线间的距离，三角形的全等和性质，勾股定理，熟练掌握三角全等判定，

灵活运用勾股定理是解题为关键.

8.C

解析：C

【分析】

分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时

对应的△APM的面积，判断函数图像，选出正确答案即可.

【详解】

由点M是CD中点可得：CM=1,

(1)如图：当点P位于线段AB上时，即时，

ApB

y=LAP.BC=^X：

(2)如图：当点P位于线段BC上时，即I<x42时,

DMc

目

AB

BP=x—1,CP=2—x,

1.n11c、—3

y-S梯影ABCM_SABP~MCP=~X(l+~)X1--xlxr(x-l)--x—x(2-x)=--x+—；

即2<x«1•时，

(3)如图：当点P位于线段MC上时,

DA』PC

百

AB

5

MP=--x,

2

y=—MP-AD=—x(——%)xl=--x+—.

Z22224

综上所述：

-x(O<x<l)

2

13

y=〈——x+—(1<x<2).

44

--x+-(2<x<­)

,242

根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将△APW分别表示为一次函数的形式是解

题关键.

二、填空题

9.工之1且x#3

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于。即可求解.

【详解】

解：由题意可得：x-lNO且3-x+O,

解得：XN1且K±3,

故答案为：X21且x，3.

【点睛】

考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

10.40

【解析】

【分析】

根据菱形的面积公式计算即可.

【详解】

解：这个菱形的面积为：!x8xl0=40cm2,

故答案为：40

【点睛】

本题主要考查菱形的面积公式，熟知菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题关键.

11.6

【解析】

【分析】

根据勾股定理可以求得另一条直角边的长，然后即可求得此直角三角形的面积.

【详解】

解：二•直角三角形一直角边的长是3,斜边长是5,

另一条直角边为,52-3°=%

••・此直角三角形的面积为：学3x4=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和三角形的面积公式解

答.

12.B

解析：2石

【分析】

首先根据矩形的性质得出4D〃BC,AD=BC,AB=CD,然后根据平行线的性质及等量

代换得出NA庄=NA£F，则AE=AF=5,然后根据折叠的性质得出产。=A尸，

OA=OC,进而求出BC,然后利用勾股定理求出A8,4C,从而答案可求.

【详解】

四边形ABCO是矩形，

AD//RC,AD=BC,AB=CD,

ZEFC=ZAEF,由折叠得，/EFC=ZAFE,

ZAFE=ZAEF,

AE=AF=5,

由折叠得，FC=AF,OA=OC,

4c=3+5=8,

在心.A3户中，

AB=>j52-32=4»

在m48c中，

AC=\l42+S2=4x/5»

A()=()C=2亚,

故答案为：2逐.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握折叠和矩形的性质及勾股定理是

关键.

13.3

【分析】

将(0,3)代入一次函数解析式中即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；

【详解】

解：・函数y=2x+〃?的图象经过(0,3),

3=0+m,

m=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：代入点的

坐标找出关于m的一元一次方程.

14.A

12

解析：y

【详解】

解：设AC与BD相交于点O,连接OP,过D作DM_LAC于M,

AD

BC

・「四边形ABCD是矩形,

「.，AC=BD,ZADC=90°.

OA=OD.

VAB=3,AD=4,.•.由勾股定理得：AC=732+42=5-

=­x3x4=—x5-DM,/.DM=—.

/.-AODM=-AOPE+-DOPF.

PE+PF=DM=—.故选B.

5

15,【分析】

根据图像，结合题意，先求出AD的长，再根据三角形的面积公式求出a,即可

求出b的值.

【详解】

解：由函数图像可知：时，点P在AB上，，点P在BC上，时，点P在CD

「•解得

解析：~

【分析】

根据图像，结合题意，先求出4。的长，再根据三角形的面积公式求出。，即可求出b的

值.

【详解】

解:由函数图像可知：04x<10时，点P在八8上，10。416,点P在8c上，x>16时,

点P在CD上，

/.BC=(16-10)xl=AO=6cm,

「|AD3(10-«)X1=36-24,

解得a=6,

又「,A。浮力二24,即，X6X6A=24

22

/.b=-,

3

4

故答案为：y.

【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图像，解题的关键在于能够准确从函数图像中获取信息求

解.

16.【分析】

先根据直线与x轴交于点，可得（3,0）,0=3,再过作ALO于A,根据等边三角

形的性质以及含30。角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的

横坐标为，过作于，求得的横坐标为

燧“（2刎-1）3

解析：A---------L

2

【分析】

先根据直线-"与x轴交于点4,可得4（3,0）,。片=3,再过A作A4_L。4

于人根据等边三角形的性质以及含30。角的直角三角形的性质，求得A的横坐标为

T3=lx；3,过4作48_LA生于6,求得4的横坐标为3x；3,过4作4。，&与于C,求

得4的横坐标为7x3^,同理可得人的横坐标为15x：3,由此可得，4”的横坐标为

Z

（2'-1）|,进而求得点A21m的横坐标是3（2""T）.

【详解】

解：由直线/:），=立x-行与x轴交于点片，

3

可得用（3,0）,。（0,一石），

OB}=1,ZO^D=6（）°,

如图所示，过A作AA，。用于A,

13

则04=20用=」，

22

即A的横坐标为3]=lx]3,

由题意可得/A小线=NO8Q=30。，/仄44=乙4,4。=60。，

.*.41gB2=90。,

/.A层=2A,Bx=6,

过4作A81A区于B.

则AB=ga与=3,

即4的横坐标为＞3=34，

过人作AQ4员于C,同理可得人横坐标为7x,

同理可得，4的横坐标为15x1,

由此可得，4的横坐标为（2”-呜，

点仆。的横坐标是（223。-*=""；一"，

故答案为乂二二D.

2

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性

质找出规律，求得坐标.

三、解答题

17.（1）（2）（3）-1（4）6

【分析】

（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；

（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；

（3）根据实数的混合运算法则即可求解；

（4）根据二次根式的混合运算

解析：（1）吆且（2）1-372（3）-1（4）6石

【分析】

（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；

（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；

（3）根据实数的混合运算法则即可求解：

（4）根据二次根式的混合运算法则即可求解.

【详解】

⑴跖《

;2舟”

7

_12A/7

（2）叵杏-屈；

V3

=痴-4-3夜

=3-2-35/2

=l-3x/2

（3）（>/3-V2）°+（~y）2+V-8-y/\6

=1+4-2-4

=-1

（4）（指-2而）x百-6

=V18-2N/45-VF8

=6#）.

【点睛】

此题主要考查二次根式与实数的运算，解题的关键是熟知负指数累与二次根式的运算法

则.

18.（1）4米：（2）1米

【分析】

（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离

地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的

解析：（1）4米；（2）1米

【分析】

（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高

度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平

方向上滑行的距离.

【详解】

解：（1）根据勾股定理：

墙的高度AC=JAB，-BC?=452-32=4（米）；

（2）梯子下滑了1米，即梯子距离地面的高度WC=AC-1=4-1=3（米）.

根据勾股定理：B'C=ylA'lf2-A,C2=V52-32=4（米）

贝1」8斤=。笈-6=4-3=11米），即底端将水平动1米.

答：（1）墙的高度是4米；

（2）若梯子的顶端下滑1米，底端将水平动1米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，要求熟练掌握利用勾股定理求直角三角形边长.

19.（1）AB=2,BC=,（2）△ABC是直角三角形，见解析.

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理分别计算两边的长即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形.

【详解】

解：⑴

解析：（1）48=2石，BC=后,（2）△A8C是直角三角形，见解析.

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理分别计算两边的长即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形.

【详解】

解：（1）AB=拉+42=2石，BC=Jt+22=石,

（2）AC=5,

•••（2石＞+（括7=52,

.'.AB^BC^AC2,

△ABC是直角三角形.

【点睛】

此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

20.（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到ADIIBC,进而得到，再由，得到，根据矩形

的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到AD=AB=BC=5,AO=CO,在、中利用

解析：（1）见解析：（2）2石

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到4。11BC,进而得到NE+NE4尸=180。，再由AE_LBC,

仃_14。得到/£=/"=90。，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到AO=48=8C=5,AO=CO,在RjAEB、RtAEC中利用勾股

定理分别求8E、AC,进而在改“EC中利用斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.

【详解】

(1)证明：••・四边形ABC/)为平行四边形，

AD//BC,

ZE+ZE4F=180°,

•••AELBC,CF1AD,

ZE=ZF=90°,

ZE4F=180°-ZE=90°,

..・Z£=ZE4F=ZF=90c,

一.四边形4EC尸为矩形.

(2)解：•••四边形ABC。为平行四边形，ACLBD,

••・四边形A8c。为菱形，

AD=AB=BC=5>AO=CO,

在RhAEB中,AE=4,AB=5,

•••BE=IAB2-AE?=3,

EC=BE+BC=8,

在即..AEC中，AE=4,CE=8,

AC=4AE、CE2=45

AO=CO,

・•.OE是RfAEC的中线，

/.OE=-AC=2y[5.

2

本题考查J'矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的

一半，正确的识别图形是解题的关键.

21.［观察］,,；［发现］（1）或；（2）证明见解析；［应用］或.

【解析】

【分析】

（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜

想，并对猜想进行计算，即可进行证明；

⑵运

解析：［观察］：，L=［发现］（1）1+-二或（2）证明见解析；［应

2612nn+\+n

用【Ti］l〃+—〃;或-p---+--2-〃.

n+1n+\

【解析】

【分析】

(1)计算题目中结果，弃根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想

进行计算，即可进行证明；

(2)运用(1)中发现规律，进行计算即可.

【详解】

［观察弓,•今

［发现］(1)I+---=或「：〃十|

(2)左=小+丁,1、，

Nn~(n+1)-

_12+2n+l21

一dn2+

=J(l+--!-7)2

Vn〃+1

〃为正整数，

•i+————=i+——!-->o

-nn+in(n+l)

左=1+-=右

nn+1

LirLirf""irrf""ir

【应用齐+卜三铲+上铲+LL+『/+商

=1+1.1+1+1,1+1+1-1+……+1+—

22334〃〃T

=«X1+1一一-

〃+i

n

=n+------

〃+1

n2+2〃

〃+1

n或n2+2n

答案为:n+-----次〃+1

“+1

【点睛】

(1)此类规律探究问题一定要结合式了•特点和数的规律进行探究，类比；

(2)此类题「|往往无法宜接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间

项，实现简化运算Fl的.

22.（1）该商场购进A型电视机的单价为1500元，B型电视机的单价为2000

元.（2）①W=-700a+40000.②应购进A型电视机12台，B型电视机28

台.

【分析】

（1）设该商场购进型电视机的单

解析：（1）该商场购进4型电视机的单价为1500元，3型电视机的单价为2000

元.（2）@W=-700a+40000.②应购进A型电视机12台，8型电视机28台.

【分析】

（1）设该商场购进A型电视机的单价为x元，8型电视机的单价为），元，根据总价=单价

x数量，即可得出关于％,）'的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）①设购进A型电视机〃台，销售完这40台电视机商场可获利W元，则购进8型电视

机（40-。）台，根据获得的总利润=销售每台电视机获得的利润x销售数量，即可得出W关

于〃的函数关系式；

②代入W=31600,即可求出。的值，再将其代入（40-a）中即可求出结论.

【详解】

解：（1）设该商场购进A型电视机的单价为x元，8型电视机的单价为y元,

20x+30y=9(X)(X)

依题意得:

10.v+20y=55000

…必及=1500

解得:[y=2000"

答：该商场购进八型电视机的单价为1500元，8型电视机的单价为2000元.

（2）①设购进4型电视机。台，销售完这40台电视机商场可获利W元，则购进8型电

视机（40-a）台，

依题意得：W=（2000x0.9-1500）a+（3750x0.8-2000）（40-a）=-700a+40000.

②当W=31600时，-700a+40000=31600,

••a=12.

40-a=28.

答：此时应购进八型电视机12台，8型电视机28台.

【点睛】

木题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的美键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程；（2）①根据各数量之间的关系，找出卬关于”的函数美系

式；②代入W的值，求出与之对应的〃值.

23.（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】

（1）根据已知条件可得△ABC^△ABD,再根据/AOC+NAOD=180°,进而可证

得AB_LCD,进而得到NACO二NABE,进而证得△ABF^△CD

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】

(1)根据已知条件可得aABS△ABD,再根据NAOC+NAOD=180。，进而可证得

AB±CD,进而得到/ACO=ZABE,进而证得^ABF2△CDA；

(2)取AB中点H,根据已知条件可知MO为AAFH的中位线，进而可证得

△AF心△DAO,进一步得到△AFD为等腰直角三角形，然后过点F作FI±AF交AB于点

I,取CD上点G使MG=MN,连接AG,先证△AF心△DAM,而后△FMN合△FIN,得到

ZFIN=ZFMN,进而可证4AMG合△FMN,得到/AGM=ZFNM,进而证得

△ACG筮△FBN,得至l]BN=CG,再根据CG=CM+MG,得到BN=CM+MG,又MG=MN,继而

得至ljBN=CM+MN.

【详解】

证明：(1),/AC=AD,BC=BD,AB=AB,

△ABS△ABD,

/.ZCAO=ZDAO,

又•「ZACO=ZADO,

ZAOC=ZAOD,

又•「ZAOCiZAOD=180°,

ZAOC=ZAOD=90°,

/.AB_LCD,

在RtZkAOC中，ZACO+ZCAO=90°,

在RSAEB中,ZABE+ZCAO=90°,

/.ZACO=ZABE,

又•「AC=AD,FA=FB,

ZACO=ZADO=ZABF=ZFAB,

「.△AB趋△CDA；

(2)如图，取AB中点H,

A

图3

・•.△ABF是等腰三角形，

FH±AB,

,/AM=Mh且MU-LAB,

MO为八AFH的中位线，

AO=OH=，

又＜AH===DO；

由△ABF级4CDA,可知：AF=BF=AC=AD,

「.AAFH里△DAO,

/.NAFH=ZDAO,

•「ZFAH+ZAFH=90°,

ZFAH+ZDAO=90°,

ZFAD=90°,

「.△AFD为等腰直角三角形，

过点F作FI_LAF交AB于点I,取CD上点G使MG=MN,连接AG,

由^AFH里△DAO可得/FAI=ZADM,

丈:AD=AF,

△AF但△DAM,

FI=AM,

又「AM=MF,

/.FI=MF,

由FIJLAF可知NAFI=90°,ZAFN=45°,

ZNFI=ZAFI-ZAFN=90°-45°=45°,

AZMFN=ZNFI,又•「FI=FM,

△FMN2△FIN,

/.ZFIN=ZFMN,

又;ZAMD=ZFIA,

ZAMD=ZFMN,

又.「AM=FM,MG=MN,

「.△AMG^△FMN,

ZAGM=ZFNM,

又tZFNM=ZFNB,

ZAGM=ZFNB,

又♦「NACG=NFBN,AC=FB,

△ACG些△FBN,

BN=CG,

又•「CG=CM++MG,

/.BN=CM+MG,

丈:MG=MN,

BN=CM+MN.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线等知识，解题的关键是综

合运用相关知识解题.

24.(1)D(0,3)；(2)存在，6；(3)5秒，Q(.)

【解析】

【分析】

(1)设D(0,m),且m>0,运用矩形性质和折叠性质可得：OD=m,OA=8,CD=8

-m,再利用勾股定理建立方程求解

解析：(1)D(0,3)；(2)存在，6石；(3)5秒，Q(|,—)

24

【解析】

【分析】

(1)设。(0,6)，且m>0,运用矩形性质和折叠性质可得：OD=m,04=8,CD=8

-加，再利用勾股定理建立方程求解即可；

(2)如图1,作点。关于x轴的对称点。，连接〃£,交x轴于点P,则点。即为所求，

此时△&)£的周长最小，运用勾股定理可得CE=5,BE=3,作EG_LQ4,在DEG

中，川得£)月=26，在&ZiOEG中，可得。上二46，即"J求出答案；

(3)运用待定系数法求得直线OE的解析式为y=2x-3,进而求得P(1,0),过点E

作EG_Ly轴于点G,过点Q、。分别作y轴的平行线，分别交七G于点〃、Hr,H'P交DE

于点。，利用待定系数法可得直线。上的解析式为)，=gx+3,设QU,g/+3),则H

(/,5),再运用勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：(1)设O(0,m),且〃>0,

OD—inf

四边形OA4c是矩形,

,,OA=BC=8,AB=OC=4,NAOC=90°,

将长方形OA3C沿着直线QM折叠，使得点A与点。重合,

CD=AD=OA-OD=8-in,

在RtSCDO中，ODZ+OGn

/ZZ2+42=(8-m)2

解得：m=3,

.•.点。的坐标为(0,3)；

(2)存在.

如图1,作点。关于x轴的对称点。，连接。E,交x轴于点P,则点尸即为所求,

此时△POE的周长最小,

在氐4CEF中,BE=EF=BC-CE,EF2+CF2=CE2,BC=8,CF=4,

CE=5,BE=3,

作EGJ_Q4,

VOD=AG=BE=3,04=8,

DG=2,

在.RmDEG中,EG2+DG2=DE2,EG=4,

DE=2\/5,

在mAOZG中，EG2+D'G2=D'E2,EG=4,O'G=8,

D'E=4x/5,

A△尸QE周长的最小值为DE+D'E=6x/5；

(3)由(2)得，E(4,5),O'(0,-3),

设直线UE的解析式为y=H+b,

4k+b=5

则1

b=-3

'■直线£>'E的解析式为y=2r-3,

令y=0,得2x-3=0,

解得：户，

3

P（">>0）,

2

过点石作EG_L），轴于点G,过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H',H'P

//=3

则

4k'+b'=5'

T,

解得:

//=3

直线。E的解析式为），=gx+3,

设Q(/,3"3)，则”[35),

/.QH=5-(；什3)=2-EH=4-t,

由勾股定理得：DE=+=J（2—）2+（4T）2=逐（2-1r）=4SQH,

.•.点H在整个运动过程中所用时间=£2+,=PQ+Q”，

315

当P、Q、”在一条直线上时，PQ+Q”最小，即为P”'=5,点。坐标（5，I），

故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（,，y）.

4I

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数的性质，线段的动点问题，以

及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，工确的作出辅助线，从而进行分

析.

25.（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：或.理由见解析；

【分析】

（1）按照题意，尺规作图即可；

（2）连接PE,先证明PQ垂直平分BE,得到PB=PE,再证明，得到，利用在直

角三角形中，

解析：（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：NQ=?MQ或NQ=MQ.理

由见解析；

【分析】

（1）按照题意，尺规作图即可；

（2）连接PE,先证明PQ垂直平分BE,得到PB=PE,再证明NAPE=60。，得到

NA石尸=30。，利用在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半，即可解答：

（3）NQ=2MQ或NQ=MQ,分两种情况讨论，作辅助线，证明A4BE二△厂QP,即可解答.

【详解】

（1）如图1,分别以点8、。为圆心，8c长为半径作弧交正方形内部于点丁，连接87并

延长交边A。于点E；

（2）①连接如图2,

•点M是跖的中点，PQLBE

•••，。垂直平分的.

PB=PE,

,ZPEB=ZPBE=90。-ZAEB=90。-60。=30°,

ZAPE=ZPBE+ZPEB=60°,

ZAEP=90°Z4PE=90°-60°=30°,

・••ZAPE=ZPBE+NPEB=60°,

ZAEP=90°ZAPE=90°-60°=30°,

•••BP=EP=2AP.

②数量关系为：％(2=2乂。或7。=M。.

理由如下，分两种情况：

I、如图3所示，过点。作于点心交BC于点G,则Q"=cz.

图3

•••正方形A8CO中，AB=BC,

/.FQ=AB.

在RtAABE和Ri.FQP中，

BE=PQ

AB=FQ

*A