线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案A卷

一、填空题：(每空3分，共15分)

1、在五阶行列式中，项a^ai5a52aua21的符号取正

2、A为一个四阶方阵，且圄=3,攵€/?,WJM|=3£

3、设A为一个三阶方阵，其特征值为1,2,3,则IAI=6,则4]+。22+/3二

6

Q

4、设。=(2,l,2)7,/?=(l,2,2»,y=(2,2,t)7线性相关，则/=]

二、单项选择题：(每小题3分,共15分)

卬7卬+3生阳

dlla\2a\3

1.设行列式。:a2\a22a23=3,Di=。217〃21+3〃22“23,则。1的值为(C)

〃31a32433。317〃3i+3〃32“33

(A)-21(B)-9(09(D)21

2、设〃元齐次线性方程组4X=0的系数矩阵A的秩为，则AX=O有非零解的充分必要

条件是(B)

(A)/=/?；(B)r<n；(C)r>n\(D)r>n

3、设A,B均为〃阶矩阵，则(D)

(A)|A+5|=|4|+恸(B-)AB=BA(C)R(AB)=R(BA)(D)

陷=|即A|

4、下面的陈述中，正确的选项是(D)

(A)向量组中,整体向量线性相关,则部分向量必线性相关

(B)向量组中，部分向量线性无关，则整体向量必线性无关

(C)向量组中，整体向量线性无关，则部分向量必线性相关

(D)向量组中，部分向量线性相关，则整体向量必线性相关

5、设A””“是n阶可逆矩阵，A"是A伴随矩阵，则(A).

（A）同刑T；（B）A*二同；

(C)同=|限(D)4=AT

X+3x2x“

4

三、QO分）计算〃阶行列式

%与%+3

X]+3々…x2…

x+3…42+3…

解:2%

Z+3

11x2…%

10—3,■,0

+工，+,,,+••+匕+

心Xn+3)3)

100

1n11

二(X|4-X-,+…++3)*1*3"=3(X1+x2+…+犬〃+3)=3"2七+3

01、

四、（10分）设A和8都是三阶方阵A3+E=A2+8,若人=030,求儿

10

'101、10090P00

解：A-E=030010020|A-E]=02（）=-2^0

。1八。。\)(100J100

AB+E=A2+B=>B=(A-E)-,(A2-E)=(A-E『(A-E^A+©=(A+E)

101100201

030+010040

10100UU02

五、（10分）求下列向量组的,•个极大无关组和秩。

%=（1,7,2,4），4=（。，3,L2），%=（3,0714），4=（LT，2,0），%=（2,1,5,6）7

解：设

A=(%,%，0

由上式可知:R（A）=3

'10I

0-2

最大无关组为：（仇,02，04）=

002

e00

Ax}+x24-x3=1

六、（15分）义取何值时，非齐次线性方程组＜凡+/1占+工3=4

%/+%工3=42

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并在无穷多解时求其通解。

解：设

//)

XI1111矛、1iZ矛

(砸)=1A120/l-l1-22-A20A-I1-2

11A01-ZI-A21-A3002-/1-221+2-22-23

令：2-丸-"=0则：2=1或-2

（1）当401,-2时，有唯一解;（2）当4=・2B寸，无解;（3）当4=1时，有无穷多个解,

221111、

当；1=1时，（A也）〜0Z-14一万0000

。oj

002—%—元1+A—Z'—2^00

则：2+-2+%3=L令工2=1户3=0得:2=-1，令诙=。，3=1得:X)=-1

4「1T

通解为：x=C,|1+C、0+0L、Q为任意常数）

⑼

七、（15分）设实二次型/（七,电,-3）=2/；+5考+5考+4中2-4中3-823

（1）将二次型用矩阵形式表示；

（2）求正交变换x=P）：,化二次型/（%,％2，工3）=2d+5%；+5尢；+4玉々-4工用-8工2七

为标准形。

解：（1）/区,为2，工3）=2xJ+5/2+5工；+4为々一4为％3-8/工3

22o

2xJ+2犬［x2-2xtx3+5X2+2芭x2-4x2x3+5x3--2xlx3-4x2x3

/、

2-2、王'22-2、

5-4=>A=25-4

-45Z-2一45,

2-20--22+-2-32-2A

22(2

5-2-425-A-4=-2l-2f-^A+y/l-5

-45-201-21-/1

2

=(1—Z)(A—114+10)=0=4=A2=1,丸3=10

「-82-2\(0Ir

当4=10时，A-AE=2-5一4〜2-1o

「2。0>

」］(1、

x+x=0二

23令々=2,贝l］<214=2,鸟=：2

人］

2—A2=0人3=-2

2-2、/12-2、

当4=4=1时，A-4E二24-4000,则工1+2X2-2X3=0

2-441<000,

(2\

翩

’2'-2、

［%么］4

将当\么正交化，令小二或，则%一2自二0+—14

55

7)O

-2

将7、%正交化，得6=七1，鸟二」4

10J36

22J、

飞

3后3(\00

142

将6、鸟、鸟构成正交矩阵，尸=仍,鸟,幻=,有尸TAP=A=010

方3M3

5-2、（）01()

0

3所T;

22I、

-忑3753

142

于是正交变换x2=为

忑3753

5-26,

0

3V5

2

二次型/标准型为：/=）广++ioy3

八、（10分）在线性空间内中给出两组基:

0=（1。0）/2=（0,1,0）/3=（1。1）7及7=（2,0,-1）丁;〃2=（12—2）7%=（2,1,1）7

（1）求由基£|,£2，£3到基〃1，〃2，〃3过渡矩阵尸。

（2）若向量。在基7必.小下坐标为（22-2）『，求。在基£],邑名下的坐标。