2026年四川省北师大版高中一年级数学下册第4章综合测试卷

2026年四川省北师大版高中一年级数学下册第4章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是（）A．-4B．-2C．2D．4解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₄的值是（）A．15B．17C．19D．21解析：由Sₙ=2aₙ-3n得Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-3(n-1)，两式相减得aₙ=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。又S₁=2a₁-3，a₁=3。故aₙ=2aₙ₋₁+3，a₂=9，a₃=21，a₄=45。4.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x-y+1=0B．x+y-3=0C．x-y-1=0D．x+y+1=0解析：AB的中点为(2，1)，斜率为-1/2，故垂直平分线的斜率为2。方程为y-1=2(x-2)，即x-y-1=0。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则点P(2，-1)到圆C的距离是（）A．1B．2C．3D．4解析：圆心为(1，-2)，半径为2。点P到圆心的距离为√(1²+(-1)²)=√2，故点P到圆C的距离为2-√2≈1。6.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为3-1=2。7.已知函数f(x)=2cos²x-1，则f(x)的最小正周期是（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：f(x)=cos2x，周期为π。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)在x=1处取得最小值1。9.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=3n²+2n，则a₅的值是（）A．34B．35C．36D．37解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n+3，a₅=33+3=36。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)的图像在x=2处的切线方程是（）A．x-y=0B．x+y=0C．2x-y=0D．2x+y=0解析：f'(2)=3×2²-6×2=0，f(2)=-2，切线方程为y=-2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[1，3]上的最大值是_________。参考答案：6解析：f(x)在x=3处取得最大值6。2.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C的圆心坐标是_________。参考答案：(1，-2)解析：圆心坐标为(1，-2)。3.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是_________。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为3。4.已知函数f(x)=2cos²x-1，则f(x)的最小正周期是_________。参考答案：π解析：f(x)=cos2x，周期为π。5.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值是_________。参考答案：1解析：f(x)在x=1处取得最小值1。6.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=3n²+2n，则a₅的值是_________。参考答案：36解析：a₅=S₅-S₄=45-12=33，a₅=33+3=36。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)的图像在x=2处的切线方程是_________。参考答案：x-y=0解析：f'(2)=0，f(2)=-2，切线方程为y=-2，即x-y=0。8.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是_________。参考答案：x-y-1=0解析：AB的中点为(2，1)，斜率为-1/2，故垂直平分线的斜率为2。方程为x-y-1=0。9.已知函数f(x)=2cos²x-1，则f(x)的最小正周期是_________。参考答案：π解析：f(x)=cos2x，周期为π。10.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最大值是_________。参考答案：6解析：f(x)在x=3处取得最大值6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=14。（）参考答案：正确解析：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₄=45。（）参考答案：正确解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则点P(2，-1)到圆C的距离是1。（）参考答案：正确解析：圆心为(1，-2)，半径为2。点P到圆心的距离为√(1²+(-1)²)=√2，故点P到圆C的距离为2-√2≈1。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是2。（）参考答案：正确解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为3-1=2。5.已知函数f(x)=2cos²x-1，则f(x)的最小正周期是π。（）参考答案：正确解析：f(x)=cos2x，周期为π。6.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最小值是1。（）参考答案：正确解析：f(x)在x=1处取得最小值1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=3n²+2n，则a₅=36。（）参考答案：正确解析：a₅=S₅-S₄=45-12=33，a₅=33+3=36。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)的图像在x=2处的切线方程是x-y=0。（）参考答案：正确解析：f'(2)=0，f(2)=-2，切线方程为y=-2，即x-y=0。9.已知点A(1，2)和点B(3，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是x-y-1=0。（）参考答案：正确解析：AB的中点为(2，1)，斜率为-1/2，故垂直平分线的斜率为2。方程为x-y-1=0。10.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[1，3]上的最大值是6。（）参考答案：正确解析：f(x)在x=3处取得最大值6。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的极值点。参考答案：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2。故x=0为极大值点，x=2为极小值点。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，求aₙ的表达式。参考答案：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-2aₙ₋₁-3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。a₁=3，故aₙ=2aₙ₋₁+3。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C的半径。参考答案：半径为2。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：f(x)的最小值为3，取得最小值时x=-1/2。5.已知函数f(x)=2cos²x-1，求f(x)的最小正周期。参考答案：f(x)=cos2x，周期为π。6.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值6，最小值1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=3n²+2n，求a₅的值。参考答案：a₅=S₅-S₄=45-12=33，a₅=33+3=36。8.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求线段AB的垂直平分线的方程。参考答案：中点为(2，1)，斜率为-1/2，方程为x-y-1=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，4]上的最大值和最小值。参考答案：f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故最大值M=18，最小值m=-4。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，求a₄的值。参考答案：a₄=S₄-S₃=20-15=5，a₄=5+3=8。3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C的圆心到点P(2，-1)的距离。参考答案：圆心为(1，-2)，距离为√(1²+(-1)²)=√2。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值。参考答案：f(-2)=5，f(-1)=2，f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3。故最大值5，最小值2。5.已知函数f(x)=2cos²x-1，求f(x)在区间[0，2π]上的最大值和最小值。参考答案：f(x)=cos2x，最大值1，最小值-1。6.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。参考答案：f(-1)=6，f(0)=3，f(2)=1，f(3)=2。故最大值6，最小值1。7.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=3n²+2n，求a₈的值。参考答案：a₈=S₈-S₇=208-153=55，a₈=55+3=58。8.已知点A(1，2)和点B(3，0)，求线段AB的垂直平分线的方程。参考答案：中点为(2，1)，斜率为-1/2，方程为x-y-1=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.A9.C10.A二、填空题1.62.(1，-2)3.34.π5.16.367.x-y=08.x-y-1=09.π10.6三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9