2026年北师大版高二数学第3章函数性质综合测试

2026年北师大版高二数学第3章函数性质综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的最小值是________。选项：A.－10B.－2C.0D.2解析：本题考查函数极值与最值的求法。首先求导数f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。当x＝－1时，f(－1)＝－1³－3×(－1)＋2＝4；当x＝1时，f(1)＝1³－3×1＋2＝0。又f(－2)＝(－2)³－3×(－2)＋2＝0，f(2)＝2³－3×2＋2＝0。因此最小值为0，选项C正确。易错点在于忽略端点值比较，或对导数符号变化不敏感导致遗漏极值点。2.若函数f(x)＝sin(x＋α)在x＝π处取得最大值，则α的值为________。选项：A.π/2B.3π/2C.5π/2D.7π/2解析：本题考查三角函数性质。sin函数在x＝π处取得最大值需满足x＋α＝2kπ＋π/2，即α＝2kπ＋π/2－π＝2kπ－π/2。当k＝0时α＝－π/2，与选项均不符；当k＝1时α＝3π/2，选项B正确。关键点在于掌握三角函数周期性条件，避免忽略k的取值范围。3.函数g(x)＝e^x－ln(x＋1)的定义域为________。选项：A.(－1，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－1，0)∪(0，＋∞)D.(－1，＋∞)∪{0}解析：本题考查函数定义域求解。需同时满足e^x存在（对所有实数x成立）和ln(x＋1)存在(x＋1＞0且x＋1≠1)，即x＞－1且x≠－1。因此定义域为(－1，＋∞)，选项A正确。易错点在于忽略ln函数的严格单调性导致错误取值范围。4.函数h(x)＝｜x－1｜＋｜x＋2｜的最小值为________。选项：A.1B.3C.2D.0解析：本题考查绝对值函数性质。分段函数表达式为：h(x)＝{3－2x,x＜－2

{1,－2≤x≤1

{2x－1,x＞1当x＝－2时h(－2)＝3；当x＝1时h(1)＝1。函数在区间(－2，1)内恒为1，因此最小值为1，选项A正确。关键点在于掌握绝对值函数的几何意义（距离和最小值）。5.若函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝1时取得最小值，则a的值为________。选项：A.1B.2C.3D.4解析：本题考查二次函数性质。对称轴x＝a＝1，因此a＝1，选项A正确。易错点在于混淆顶点坐标与对称轴位置，需牢记二次函数y＝ax²＋bx＋c的对称轴公式x＝－b/2a。6.函数f(x)＝cos²x－sin²x的周期为________。选项：A.πB.2πC.4πD.π/2解析：本题考查三角函数性质。f(x)＝cos(2x)，周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π，选项A正确。关键点在于掌握三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式T＝2π/|ω|。7.若函数f(x)＝｜x－a｜在区间[－1，1]上的最大值为2，则a的取值范围是________。选项：A.(－3，3)B.(－2，2)C.(－1，1)D.(－4，4)解析：函数在区间[－1，1]上单调递减时最大值为｜a＋1｜＝2，解得a＝1；单调递增时最大值为｜a－1｜＝2，解得a＝－1。因此a∈(－1，1)，选项C正确。易错点在于忽略绝对值函数的单调区间分段讨论。8.函数f(x)＝tan(x－π/4)的图像关于________对称。选项：A.x＝π/4B.x＝3π/4C.y轴D.x＝π/2解析：本题考查正切函数性质。tan函数图像的对称轴满足x－π/4＝kπ＋π/2，即x＝kπ＋3π/4(k∈Z)，选项B正确。关键点在于掌握正切函数y＝tan(ωx＋φ)的对称轴公式。9.函数f(x)＝x³－3x在区间(－2，2)上的零点个数为________。选项：A.0B.1C.2D.3解析：求导f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝(－2)³－3×(－2)＝2，f(2)＝2³－3×2＝2，f(－1)＝(－1)³－3×(－1)＝2，f(1)＝1³－3×1＝－2。由f(1)＜0且f(－1)＞0得存在零点x₁∈(－1，1)，由f(－2)＞0且f(1)＜0得存在零点x₂∈(－2，1)。因此共有2个零点，选项C正确。易错点在于忽略零点存在性定理的连续性条件。10.函数f(x)＝｜sinx｜的导数为________。选项：A.｜cosx｜B.sinx•cosxC.－｜cosx｜D.±｜cosx｜解析：分段函数求导：f′(x)＝{cosx,2kπ＜x＜2kπ＋π/2

{－cosx,2kπ＋π/2＜x＜2kπ＋3π/2当x＝π/2时左右导数f′(π/2⁺)＝－1≠1＝f′(π/2⁻)，因此导数在x＝π/2处不连续，需加±号表示左右导数，选项D正确。关键点在于绝对值复合函数的导数需分段处理。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝x³－6x²＋9x＋1在区间[－1，3]上的最大值为________。参考答案：10解析：求导f′(x)＝3x²－12x＋9，令f′(x)＝0得x＝1或x＝3。f(－1)＝(－1)³－6×(－1)²＋9×(－1)＋1＝－13，f(1)＝1³－6×1²＋9×1＋1＝5，f(3)＝3³－6×3²＋9×3＋1＝10。最大值为1