2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　2.5.1　第2课时　直线与圆的方程的应用

直线与圆的方程的应用第二章

2.5.1

第2课时学习目标1.能正确理解直线与圆的方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.体会用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”.当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向北偏西45°方向移动.已知距离台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？导语内容索引0102直线与圆的方程的实际应用圆的方程的实际应用04随堂演练03课时对点练01圆的方程的实际应用

(课本例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).

例1解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0).设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.下面确定b和r的值.因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.

(课本例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).

例1解：

一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是A.13米

B.14米 C.15米 D.16米√

例1解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-6，-2)，B(6，-2)，设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0)，将A点坐标代入圆的方程，则有m=10，故圆的方程为x2+(y+10)2=100，令y=-4，则x=±8，故|EF|=16(米).建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.

反思感悟

一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过A.1.4米

B.3.0米

C.3.6米

D.4.5米跟踪训练1√

02直线与圆的方程的实际应用

(课本例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

例2解：

(课本例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

例2解：

例2

解：

例2

解：解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)建系：审题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(2)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知量.(3)还原：将运算结果还原到实际问题中去.

反思感悟

跟踪训练2√

课堂小结1.知识清单：(1)圆的方程的实际应用.(2)直线与圆的方程的实际应用.2.方法归纳：数学建模、坐标法.3.常见误区：不能正确进行数学建模.03随堂演练12341.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为A.2.4米

B.3.5米C.3.6米

D.2.0米解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.易知半圆所在的圆的方程为x2+y2=3.62，由图可知，当货车恰好在隧道中间行驶时车篷最高，则将x=0.8代入x2+y2=3.62，得y≈3.5(负值舍去).√

1234√1234解析：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系，由题意可知，点A的坐标为(-50，-10)，设圆拱桥所在圆的半径为r，∵|OP|=10，由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2，即(r-10)2+502=r2，解得r=130，所以圆心坐标为(0，-130)，1234

12343.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是

.

12344.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它

(填“会”或“不会”)受到台风的影响.

不会1234

04课时对点练答案1234567891011对一对题号12345678答案DBAAADBD11.22题号9答案10.答案1234567891011

10.答案1234567891011

答案1234567891011

11.答案1234567891011

11.答案1234567891011

11.答案1234567891011

11.

答案1234567891011√答案1234567891011

√答案1234567891011答案1234567891011

√答案1234567891011答案1234567891011

答案1234567891011√答案1234567891011

√答案1234567891011√答案1234567891011

答案1234567891011√√答案1234567891011

答案1234567891011

三、填空题7.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为

h.答案12345678910111答案1234567891011

8.某圆弧形拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m.现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身，则船身至少降低

m，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01m)答案12345678910111.22答案1234567891011

9.如图，灯塔P到航道l的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中PQ=30海里，且PQ∥l.若要两座灯塔在航道l上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为

海里.答案1234567891011

答案1234567891011

答案1234567891011

四、解答题10.有一种大型商品，在A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，A地每千米的运费是B地的两倍，A，B两地相距10千米，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若顾客选择在这种商品的运费和价格的总费用较低的地点购买，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？答案1234567891011由题意得A(-5，0)，B(5，0).在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a

元/km，a>0，则从B地运货到P地的运费为a

元/km.若P地居民选择在A地购买此商品，解：四、解答题10.有一种大型商品，在A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，A地每千米的运费是B地的两倍，A，B两地相距10千米，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若顾客选择在这种商品的运费和价格的总费用较低的地点购买，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？答案12345