2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.5　习题课　与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题第二章

§2.5习题课学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题(重难点).2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.海上某基站信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题)导语内容索引01020503与面积有关的最值问题利用数学式的几何意义求解最值问题随堂演练与距离有关的最值问题04课时对点练01与距离有关的最值问题1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值=

，最大值=

.2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值=

，最大值=

.d-rd+rd-rd+r3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值=

，最大值=

.4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值=

.

2r

(1)解决与圆有关的最值时，首先确定几何元素和圆的位置关系，再利用几何意义求出最值；(2)解决一个圆上的动点到另外一个圆上的动点之间距离最值时，要转化成圆上点到定点的距离(或两个圆心之间的距离).注意点

(1)当直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C：(x-1)2+(y-2)2=25截得的弦最短时，m的值为

.

例1

√

(1)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.

反思感悟

圆x2+(y+4)2=4上的点到直线l：x+y=1的距离的最大值为

，最小值为

.跟踪训练1

02与面积有关的最值问题

(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，则△OAM面积的最小值为

.

例21

(2)已知点P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k=

.2

求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合求解.

反思感悟

跟踪训练2√

03利用数学式的几何意义求解最值问题

例3解：

已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上.(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；

例3解：

已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上.(3)求x+y的最大值与最小值.

例3解：

反思感悟

跟踪训练3√√

课堂小结1.知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题.(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.2.方法归纳：数形结合、转化思想.3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.04随堂演练12341.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3]√

1234√1234

1234

√

12344.已知圆C1：x2+y2+4x-4y=0，动点P在圆C2：x2+y2-4x-12=0上，则△PC1C2面积的最大值为

.

05课时对点练答案12345678910对一对题号1234567答案ACCADBCD(x-1)2+y2=2题号89答案3x+y-2=0111210.答案12345678910

111210.答案12345678910

111211.答案12345678910

111211.答案12345678910

1112答案12345678910

12.1112答案12345678910

12.1112答案12345678910

12.1112答案12345678910

12.1112

√答案12345678910

1112

√答案123456789101112答案12345678910

1112

√答案123456789101112答案12345678910

1112

答案12345678910√1112答案12345678910

1112

√答案123456789101112答案12345678910

1112答案12345678910

1112

答案12345678910√√√1112答案12345678910

1112

答案123456789101112三、填空题7.在平面直角坐标系Oxy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

.答案12345678910(x-1)2+y2=2

11128.已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=4和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为

.答案1234567891031112答案12345678910

11129.已知圆O：x2+y2=4，直线l过点(1，1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为

.答案12345678910x+y-2=01112答案12345678910

1112答案12345678910

1112四、解答题10.已知点P为直线l：x+y-2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2+2y=0的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PC|·|AB|最小时，求直线AB的方程.答案12345678910解：

1112四、解答题10.已知点P为直线l：x+y-2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2+2y=0的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PC|·|AB|最小时，求直线AB的方程.答案12345678910解：

111210.已知点P为直线l：x+y-2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2+2y=0的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PC|·|AB|最小时，求直线AB的方程.答案12345678910解：

1112

答案12345678910

解：1112

答案123456789解：

101112

答案12345678910解：

101112

答案12345678910解：

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