2026-2027步步高人教数学选择性必修一第一章　1.1.1　第1课时　空间向量及其线性运算

空间向量及其线性运算第一章

1.1.1第1课时学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(重难点)3.掌握空间向量的线性运算.你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？导语内容索引01020503空间向量的加减运算空间向量的数乘运算随堂演练空间向量的有关概念04课时对点练01空间向量的有关概念问题1提示平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.平面向量是什么？你能类比平面向量的概念给出空间向量的概念吗？

知识梳理大小方向长度模长度|a|

2.几类特殊的空间向量(1)零向量：规定长度为0的向量叫做

，记为0.(2)单位向量：

的向量叫做单位向量.(3)相反向量：与向量a长度

而方向

的向量，叫做a的相反向量，记为

.(4)共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_____

，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量

，即对于任意向量a，都有0

a.(5)相等向量：方向

且模

的向量叫做相等向量.在空间，____且

的有向线段表示同一向量或相等向量.零向量模为1相等相反-a互相平行或重合平行∥相同相等同向等长(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)空间向量不能比较大小.(4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c.注意点

(1)下列命题是真命题的是A.与非零向量a平行的单位向量只有一个

B.空间中任意两个单位向量必相等C.任一向量与它的相反向量不相等D.零向量与任何向量都共线

例1√解析：对于A，与非零向量a平行的单位向量的方向可以与a相同，也可以与a相反，故A错误；对于B，空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，故B错误；对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误；对于D，零向量与任意向量共线，故D正确.

√√

(3)(多选)下列说法错误的是A.空间任意两个向量的模能比较大小B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等√√√解析：对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可能相等.空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.

反思感悟02空间向量的加减运算问题2提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？1.空间向量的加法运算(1)三角形法则：首尾顺次相接，

为和，如图1.(2)平行四边形法则：共起点的两边为邻边作平行四边形，____________为和，如图2.2.空间向量减法运算的几何意义共起点，连终点，方向指向

向量，如图3.知识梳理首指向尾共起点对角线图1

图2

图3被减3.空间向量的运算律(1)交换律：a+b=

.(2)结合律：(a+b)+c=

.b+aa+(b+c)注意点

注意点

例2√√√

√

空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

反思感悟

跟踪训练解：

跟踪训练解：

03空间向量的数乘运算1.空间向量的数乘运算(1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘.(2)几何意义(a≠0)①当λ>0时，λa与向量a的方向

；②当λ<0时，λa与向量a的方向

；③当λ=0时，λa=0，其方向是任意的；④λa的长度是a的长度的

倍.相同相反|λ|2.运算律(1)结合律：λ(μa)=

；(2)分配律：(λ+μ)a=

，λ(a+b)=

.(λμ)aλa+μaλa+λb(1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0.(2)对于给定的向量a，λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.(3)向量λa与向量a一定是共线向量.注意点

(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n

例3√√解析：m(a-b)=ma-mb，A对；(m-n)a=ma-na，B对；若m=0，则a，b不一定相等，C错；若a=0，则m，n不一定相等，D错.

解：

解：

解：

延伸探究1

解：

延伸探究2

解：利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质.

反思感悟课堂小结1.知识清单：(1)向量的相关概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量.04随堂演练12341.(多选)下列命题中，真命题是A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等√解析：容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.√√

√12341234

1234

√

1234

√

05课时对点练答案123456789101112对一对题号123456答案CABCABB题号891112答案BCDCB7.答案123456789101112

答案123456789101112

10.

答案123456789101112基础巩固√答案123456789101112

√答案123456789101112√√答案123456789101112

√

答案123456789101112

√答案123456789101112答案123456789101112

答案123456789101112√答案123456789101112

6.如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，答案123456789101112

答案123456789101112

答案123456789101112解：

答案123456789101112解：

答案123456789101112√综合运用√√答案123456789101112

答案123456789101112√答案123456789101112