2026-2027步步高人教数学选择性必修一第一章　1.1.2　空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算第一章

1.1.2学习目标1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点)2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点)在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.导语内容索引0102空间向量数量积的性质空间向量的数量积运算04随堂演练03课时对点练01空间向量的数量积运算

知识梳理∠AOB0≤〈a，b〉≤π

a⊥b对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.注意点2.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=

.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=

.(2)运算律①(λa)·b=

，λ∈R.②交换律：a·b=

.③分配律：(a+b)·c=

.|a||b|cos〈a，b〉0λ(a·b)b·aa·c+b·c3.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=

，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).

(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.注意点

例1√

如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.

例2

延伸探究1

√

延伸探究2解：

延伸探究2解：

延伸探究2解：

延伸探究2解：

延伸探究3-1

(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.

反思感悟02空间向量数量积的性质

a·b=0

|a|2

例3解：

(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：②AC'的长(精确到0.1).

例3解：

(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.

例3证明：如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.

(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.

例3证明：因为l·m=0，l·n=0，所以l·g=0.所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.

例3

延伸探究1

√

若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.延伸探究2解：

在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.延伸探究3解：

在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.延伸探究3解：

证明：异面直线AB与CD垂直.延伸探究4证明：

课堂小结1.知识清单：(1)空间向量的夹角、投影向量.(2)空间向量数量积的性质及运算律.(3)空间向量的垂直.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.03随堂演练12341.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是A.若a⊥b，b⊥c，则a∥cB.(a·b)c=a(b·c)C.a·(b+c)=a·b+a·cD.λa·b=λ(a·b)√1234

2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为A.7 B.-20 C.28

D.11√解析：因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k，所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40|j|2-12|k|2=40-12=28.12341234

√1234

1234

04课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案CDCBCADABC题号91112131516答案AACDCB1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516

√答案123456789101112基础巩固131415

16

√答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516√

√答案12345678910111213141516

6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为A.30° B.45°C.60° D.以上都不对答案123456789101112131415√16答案123456789101112

13141516

答案123456789101112131415√16√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

16

10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.(1)求四边形BCC1B1的面积；答案123456789101112

解：13141516答案1234567891011121314151610.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.(2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.解：

答案1234567891011121314151610.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点.(2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.解：

答案123456789101112131415综合运用√16答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415

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14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角.(1)求证：CC1⊥BD；答案12345678910111213141516证明：

答案12345678910111213141516

解：

答案1