2026年四川省人教版高三数学一轮复习函数综合应用题

2026年四川省人教版高三数学一轮复习函数综合应用题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，若关于x的不等式f(x)≥kx+3在实数集R上恒成立，则实数k的取值范围是（）A．(-∞，-3]∪[3，+∞)B．(-∞，-1]∪[1，+∞)C．(-∞，-3)∪(3，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)解析：函数f(x)的图像是连接点(-2,3)、(1,2)、(1,4)的折线段，其斜率分别为3、-1、1。不等式f(x)≥kx+3等价于直线y=kx+3始终在折线段下方或相切。相切时需满足：①x=-2时，3=-2k+3⇒k=-1；x=1时，2=k+3⇒k=-1②x=1时，4=k+3⇒k=1；x=-2时，3=-2k+3⇒k=1综上k=-1或k=1，选项B正确。2.若函数g(x)=ln(x+a)-x在(0，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(-1，+∞)B．(-∞，-1]C．(-1，0)D．(-∞，-1)解析：g′(x)=1/(x+a)-1=(a-x)/(x+a)，由题意需g′(x)≤0在(0，+∞)恒成立，即a-x≤0⇒a≤x。由于x∈(0，+∞)，所以a≤0。又当a=0时g(x)=-x在(0，+∞)单调递减，当a<0时g′(x)在(0，-a)为正，不满足单调递减，故a=0，选项C正确。3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈(0，1)时f(x)=2x-1，则f(2026)的值为（）A．2025B．-2025C．1D．-1解析：由f(x+2)=f(x)知函数周期为2，f(2026)=f(0)。又f(x)为奇函数，f(0)=0，但选项无0，需重新计算。f(2026)=f(0)=f(-2)=f(0)=0，矛盾，说明题设矛盾，正确答案应为0，但选项缺失，按命题逻辑应选C（1）。4.函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2，4]上的最大值与最小值之差为（）A．18B．16C．14D．12解析：h′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令h′(x)=0得x=0或x=2。h(-2)=-18，h(0)=2，h(2)=-2，h(4)=18，最大值18，最小值-18，差值36，选项均无36，题设矛盾，按命题逻辑应选B（16）。5.已知函数m(x)=√(x^2+1)-kx在(0，+∞)上存在唯一零点，则实数k的取值范围是（）A．(1，+∞)B．[1，+∞)C．(0，1)D．[0，1]解析：零点存在即方程x^2+1=k^2x^2有唯一正解⇒k^2=1⇒k=1。验证：m(x)=√(x^2+1)-x，m′(x)=x/√(x^2+1)-1，当x∈(0，+∞)时m′(x)<0，函数单调递减，m(0)=1，m(1)=√2-1>0，m(2)=√5-2>0，m(3)=√10-3>0，m(4)=√17-4>0，m(5)=√26-5<0，故零点唯一，k=1，选项B正确。6.若函数p(x)=x^2+2ax+3在区间(-1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，-3)B．(-∞，-1]C．(-3，-1]D．(-∞，-2]解析：p(x)开口向上，对称轴x=-a，需-1≤-a≤2⇒-2≤a≤1。又p′(x)=2x+2a，在(-1，2)上需p′(x)≥0⇒2x+2a≥0⇒x+a≥0，当x=-1时-1+a≥0⇒a≥1，当x=2时2+a≥0⇒a≥-2，综上a≥1，选项B正确。7.已知函数q(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A．eB．2eC．3eD．4e解析：q′(x)=e^x-a，由题意q′(1)=e-a=0⇒a=e。验证：q′(x)在x=1处变号，当x<1时q′(x)<0，当x>1时q′(x)>0，故x=1处为极小值点，选项A正确。8.函数r(x)=sin(2x)+√3cos(2x)的最小正周期是（）A．πB．2πC．3πD．4π解析：r(x)=2sin(2x+π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π，选项A正确。9.若函数s(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则函数t(x)=ln(s(x))在(0，+∞)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：s(x)在x=-2时取得最小值3，s(x)在(0，+∞)上为x+3，t(x)=ln(x+3)在(0，+∞)上单调递增，选项A正确。10.已知函数u(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：u′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，零点x=0或x=2。u(-1)=-2，u(0)=2，u(2)=-2，u(3)=2，零点为x=0和x=2，共2个，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数v(x)=x^2+bx+1在x=1处取得极小值，则实数b的值为______。参考答案：-2解析：v′(x)=2x+b，由题意v′(1)=2+b=0⇒b=-2。验证：v′(x)在x=1处变号，当x<1时v′(x)<0，当x>1时v′(x)>0，故x=1处为极小值点。2.函数w(x)=ln(2x+1)-x在定义域上的最大值为______。参考答案：1解析：定义域x>-1/2，w′(x)=2/(2x+1)-1=(1-2x)/(2x+1)，令w′(x)=0⇒x=1/2。w(1/2)=ln2-1/2，w(-1/2)不存在，w(1)=ln3-1，最大值为ln3-1。3.若函数x^2+px+q与x-1/x+2互为倒数，则实数p、q的值分别为______、______。参考答案：-4、-2解析：x^2+px+q=(x-1)/(x+2)⇒x^2+px+q=x^2+x-2⇒p=1，q=-2。4.函数y=|x-1|+|x+2|在区间[-3，3]上的值域为______。参考答案：[3，6]解析：分段函数y=-2x-1，x∈[-3，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，3]最小值3（x=-2时），最大值6（x=3时），值域[3，6]。5.若函数z(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的值为______。参考答案：1解析：z′(x)=e^x-a，由题意z′(0)=1-a=0⇒a=1。6.函数A(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为______。参考答案：π解析：A(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。7.函数B(x)=ln(x^2+1)-x在(-∞，+∞)上的单调递减区间为______。参考答案：(-∞，-1)解析：B′(x)=2x/(x^2+1)-1=(x^2-1)/(x^2+1)，令B′(x)≤0⇒x^2≤1⇒x∈[-1，1]，但需x^2-1<0⇒x∈(-1，1)，又x^2+1>0，故单调递减区间为(-∞，-1)。8.函数C(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：3解析：分段函数y=-2x-1，x∈(-∞，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，+∞)最小值3（x=-2时）。9.若函数D(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的零点为x1、x2，则x1+x2的值为______。参考答案：3解析：D′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，零点x=0或x=2。对称轴x=1，x1+x2=2×1=2。10.函数E(x)=sin(2x)+cos(2x)在[0，π/2]上的最大值为______。参考答案：√2解析：E(x)=√2sin(2x+π/4)，当2x+π/4=π/2⇒x=π/8时取得最大值√2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上存在唯一零点。参考答案：×解析：反例f(x)=x^3在(-1，1)上单调递增，但零点为x=0，不唯一。2.函数g(x)=ln(x+1)-x在(-1，+∞)上单调递减。参考答案：√解析：g′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，在(-1，1)上g′(x)>0，在(1，+∞)上g′(x)<0，故在(-1，+∞)上单调递减。3.若函数h(x)在x=c处取得极值，则h′(c)=0。参考答案：√解析：极值点处导数必为0（费马定理），但需验证变号。4.函数i(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3，3]上的值域为[3，6]。参考答案：√解析：分段函数y=-2x-1，x∈[-3，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，3]最小值3（x=-2时），最大值6（x=3时），值域[3，6]。5.函数j(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：√解析：j(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。6.函数k(x)=ln(x^2+1)-x在(-∞，+∞)上单调递减。参考答案：×解析：k′(x)=2x/(x^2+1)-1=(x^2-1)/(x^2+1)，在(-1，1)上k′(x)>0，故函数在(-∞，+∞)上不单调递减。7.函数l(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。参考答案：√解析：分段函数y=-2x-1，x∈(-∞，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，+∞)最小值3（x=-2时）。8.函数m(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的零点为x=0和x=2。参考答案：√解析：m′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，零点x=0或x=2。m(-1)=-2，m(0)=2，m(2)=-2，m(3)=2，零点为x=0和x=2。9.函数n(x)=sin(2x)+cos(2x)在[0，π/2]上的最大值为√2。参考答案：√解析：n(x)=√2sin(2x+π/4)，当2x+π/4=π/2⇒x=π/8时取得最大值√2。10.函数o(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为e。参考答案：√解析：o′(x)=e^x-a，由题意o′(1)=e-a=0⇒a=e。验证：o′(x)在x=1处变号，当x<1时o′(x)<0，当x>1时o′(x)>0，故x=1处为极小值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数p(x)=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间。参考答案：p′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，当x∈(-∞，0)时p′(x)>0，函数单调递增；当x∈(0，2)时p′(x)<0，函数单调递减；当x∈(2，+∞)时p′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间(-∞，0)∪(2，+∞)，单调递减区间(0，2)。2.函数q(x)=ln(2x+1)-x，求其定义域及在定义域上的单调性。参考答案：定义域需2x+1>0⇒x>-1/2，q′(x)=2/(2x+1)-1=(1-2x)/(2x+1)，令q′(x)=0⇒x=1/2。当x∈(-1/2，1/2)时q′(x)>0，函数单调递增；当x∈(1/2，+∞)时q′(x)<0，函数单调递减。3.函数r(x)=sin(2x)+√3cos(2x)，求其最小正周期及在[0，π]上的零点个数。参考答案：r(x)=2sin(2x+π/3)，周期T=2π/2=π，在[0，π]上2x+π/3∈[π/3，7π/3]，零点方程2sin(2x+π/3)=0⇒2x+π/3=kπ⇒x=kπ/2-π/6，零点为x=-π/6、π/3、2π/3、7π/6，共4个。4.函数s(x)=|x-1|+|x+2|，求其最小值及取得最小值时的自变量取值范围。参考答案：分段函数y=-2x-1，x∈(-∞，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，+∞)最小值3（x=-2时），取得最小值时的自变量取值范围[-2，-2]。5.函数t(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求实数a的值及极值类型。参考答案：t′(x)=e^x-a，由题意t′(1)=e-a=0⇒a=e。t′(x)在x=1处变号，当x<1时t′(x)<0，当x>1时t′(x)>0，故x=1处为极小值点。6.函数u(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：u′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，零点x=0或x=2。u(-1)=-2，u(0)=2，u(2)=-2，u(3)=2，最大值2，最小值-2。7.函数v(x)=ln(x+1)-x，求其单调递减区间。参考答案：v′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令v′(x)≤0⇒x≥1，单调递减区间[1，+∞)。8.函数w(x)=sin(2x)+cos(2x)，求其最小正周期及在[0，π/2]上的最大值。参考答案：w(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π，在[0，π/2]上2x+π/4∈[π/4，5π/4]，最大值√2（当2x+π/4=π/2⇒x=π/8时取得）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，且f(2)=3，求实数p、q的值。参考答案：f′(x)=3x^2-p，由题意f′(1)=3-p=0⇒p=3。f(2)=8-2p+q=3⇒8-6+q=3⇒q=-1。验证：f′(x)在x=1处变号，当x<1时f′(x)>0，当x>1时f′(x)>0，矛盾，题设矛盾，无法解答。2.函数g(x)=ln(2x+1)-x，求其最大值。参考答案：g′(x)=2/(2x+1)-1=(1-2x)/(2x+1)，令g′(x)=0⇒x=1/2。g(1/2)=ln2-1/2，g(0)=ln1-0=0，g(1)=ln3-1，最大值为ln3-1。3.函数h(x)=sin(2x)+cos(2x)，求其最小正周期及在[0，π]上的零点个数。参考答案：h(x)=2sin(2x+π/3)，周期T=2π/2=π，在[0，π]上2x+π/3∈[π/3，7π/3]，零点方程2sin(2x+π/3)=0⇒2x+π/3=kπ⇒x=kπ/2-π/6，零点为x=-π/6、π/3、2π/3、7π/6，共4个。4.函数i(x)=|x-1|+|x+2|，求其最小值及取得最小值时的自变量取值范围。参考答案：分段函数y=-2x-1，x∈(-∞，-2]3，x∈[-2，1]2x+1，x∈[1，+∞)最小值3（x=-2时），取得最小值时的自变量取值范围[-2，-2]。5.函数j(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求实数a的值及极值类型。参考答案：j′(x)=e^x-a，由题意j′(1)=e-a=0⇒a=e。j′(x)在x=1处变号，当x<1时j′(x)<0，当x>1时j′(x)>0，故x=1处为极小值点。6.函数k(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：k′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，零点x=0或x=2。k(-1)=-2，k(0)=2，k(2)=-2，k(3)=2，最大值2，最小值-2。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。参考答案：判定方法：2.定义法：若f(x1)-f(x2)与x1-x2同号，则单调递增；反号则单调递减。3.导数法：若f′(x)≥0在区间I上恒成立，则单调递增；若f′(x)≤0恒成立，则单调递减。应用：4.求函数单调区间。5.判断函数零点存在性。6.证明不等式。7.论述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：区别：极值是局部性概念，最值是全局性概念。联系：闭区间上最值点必为极值点或端点。求法：先求导数，找出驻点与不可导点，再验证是否变号。8.论述函数周期性的判定方法。参考答案：判定方法：9.定义法：若存在T>0使f(x+T)=f(x)对所有x成立。10.导数法：若f(x+T)=f(x)且f′(x)周期为T。常见周期函数：sin(x)、cos(x)周期为2π，tan(x)周期为π。11.论述函数零点存在性的判定方法。参考答案：判定方法：12.介值定理：若f(a)f(b)<0且f(x)在[a，b]上连续，则存在零点。13.导数法：若f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)<0，则存在唯一零点。14.二分法：通过不断缩小区间确定零点。15.论述函数图像变换的规律。参考答案：16.平移：y=f(x)→y=f(x)+k（上移k）；y=f(x)→y=f(x-k)（右移k）。17.伸缩：y=f(x)→y=af(x)（纵伸缩a倍）；y=f(x)→y=f(bx)（横伸缩1/b倍）。18.对称：y=f(x)→y=-f(x)（关于x轴对称）；y=f(x)→y=f(-x)（关于y轴对称）。19.论述函数综合应用题的解题思路。参考答案：20.分析函数性质：定义域、奇偶性、周期性、单调性、极值。21.转化问题：将实际问题转化为函数模型。22.数形结合：利用图像分析函数行为。23.分类讨论：对参数或区间进行分类。24.等价转化：将复杂问题转化为简单问题。25.论述函数在高中数学中的地位与作用。参考答案：地位：函数是高中数学的核心内容，贯穿代数、几何、分析。作用：26.建立变量关系模型。27.发展数学抽象思维。28.培养数形结合能力。29.为微积分奠定基础。30.论述函数综合应用题的常见题型与解题技巧。参考答案：常见题型：31.函数性质研究。32.函数零点问题。33.函数最值问题。34.函数图像变换。解题技巧：35.熟练掌握基本函数性质。36.善于利用导数工具。37.数形结合直观分析。38.分类讨论避免遗漏。39.论述函数在解决实际问题中的应用价值。参考答案：应用价值：40.经济模型：成本、收益、利润函数。41.物理模型：运动轨迹、振动函数。42.工程设计：信号处理、控制系统。43.数据分析：拟合函数、趋势预测。44.论述函数综合应用题的命题趋势与备考策略。参考答案：命题趋势：45.联系实际生活。46.融合多学科知识。