2026年重庆市北师大版高中数学必修第6册第8单元概率统计习题

2026年重庆市北师大版高中数学必修第6册第8单元概率统计习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校随机抽取10名学生，调查他们是否喜欢数学，结果如下：喜欢数学的有6人，不喜欢数学的有4人。现用事件A表示“抽到的学生喜欢数学”，则事件A的概率P(A)为（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.7解析：根据古典概型概率公式，事件A包含的基本事件数为6，样本空间的基本事件数为10，因此P(A)=6/10=0.6。选项A正确。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8解析：该问题可视为独立重复试验，命中2次的概率为C(3,2)×0.8²×(1-0.8)=3×0.64×0.2=0.384。选项B正确。3.已知一组样本数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则这组数据的中位数是（）A.6B.5C.7D.无法确定解析：由平均数公式(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6。排序后数据为3,5,6,7,9，中位数为6。选项A正确。4.某班级有男生20人，女生30人，现随机抽取2人参加活动，则抽到的2人都是男生的概率为（）A.1/9B.2/9C.1/3D.2/5解析：总人数为50人，抽2人总情况数为C(50,2)=1225，抽2男情况数为C(20,2)=190，概率为190/1225=2/9。选项B正确。5.已知随机变量X服从二项分布B(4,0.5)，则P(X=2)的值为（）A.1/16B.3/16C.1/4D.3/8解析：P(X=2)=C(4,2)×0.5²×0.5²=6×0.25×0.25=3/8。选项D正确。6.从一副扑克牌（去掉大小王）中随机抽取一张，则抽到红桃的概率为（）A.1/4B.1/2C.1/13D.3/52解析：扑克牌共52张，红桃有13张，概率为13/52=1/4。选项A正确。7.已知一组数据的方差为4，则该组数据的标准差为（）A.2B.4C.16D.8解析：标准差是方差的算术平方根，标准差=√4=2。选项A正确。8.某公交线路每10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则等待时间不超过3分钟的概率为（）A.3/10B.7/10C.1/5D.1/3解析：设等待时间为X，X~U(0,10)，P(X≤3)=3/10。选项A正确。9.已知事件A、B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)的值为（）A.0.42B.0.88C.0.98D.0.12解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.42=0.88。选项B正确。10.某学校调查学生视力情况，随机抽取100名学生，其中近视的有70人，非近视的有30人。现用样本频率估计总体频率，则该校学生近视的概率的估计值为（）A.0.3B.0.7C.0.5D.0.9解析：样本中近视频率为70/100=0.7，估计总体频率也为0.7。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X>μ)的值为______。参考答案：0.5解析：正态分布关于均值μ对称，故P(X>μ)=0.5。2.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，则这组数据的极差为______。参考答案：8解析：极差=最大值-最小值=10-2=8。3.若事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.5，且P(A∩B)=0.1，则P(A|B)的值为______。参考答案：1/5解析：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.1/0.5=1/5。4.已知随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3则E(X)的值为______。参考答案：1.1解析：E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1。5.从装有3个红球、2个白球的袋中随机摸出2个球，则摸到2个红球的概率为______。参考答案：3/10解析：总情况数为C(5,2)=10，摸2红情况数为C(3,2)=3，概率为3/10。6.已知一组数据的平均数为5，样本容量为8，则这组数据的总和为______。参考答案：40解析：总和=平均数×样本容量=5×8=40。7.若事件A、B互斥，P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B)的值为______。参考答案：0.9解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.3=0.9。8.已知随机变量X的方差为9，则X的变异系数为______（标准差已知为3）。参考答案：1解析：变异系数=标准差/平均数，若假设平均数为3，则变异系数=3/3=1。9.从一副扑克牌中随机抽取一张，则抽到黑桃或红桃的概率为______。参考答案：1解析：黑桃与红桃互斥且完备，概率为1。10.已知事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且P(A∪B)=0.9，则P(A∩B)的值为______。参考答案：0.3解析：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.7+0.5-0.9=0.3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，则事件A与事件B一定互斥。参考答案：×解析：互斥要求P(A∩B)=0，但题目未给出交集信息，无法判断。2.已知随机变量X服从二项分布B(3,0.7)，则P(X=1)的值为0.189。参考答案：√解析：P(X=1)=C(3,1)×0.7×0.3=3×0.7×0.3=0.189。3.样本频率分布直方图中的每个小长方形的面积等于对应组的频率。参考答案：√解析：直方图面积=频率×组距，若组距为1，则面积=频率。4.若事件A、B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。参考答案：√解析：这是独立事件的定义。5.已知一组数据的平均数为5，方差为4，则该组数据的标准差为2。参考答案：√解析：标准差是方差的算术平方根，√4=2。6.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率与抽到方块的概率相等。参考答案：√解析：红桃与方块各13张，概率均为13/52=1/4。7.若事件A的概率为0.8，则其对立事件A的概率为0.2。参考答案：√解析：P(A')=1-P(A)=1-0.8=0.2。8.已知一组样本数据的中位数为5，则这组数据一定包含数字5。参考答案：×解析：中位数是排序后中间的数，可能不等于5。9.从装有5个红球、5个白球的袋中随机摸出3个球，则摸到3个红球的概率为10/27。参考答案：×解析：概率=5/10×4/9×3/8=1/6≠10/27。10.若随机变量X的分布列为离散型，则其概率总和为1。参考答案：√解析：离散型分布列性质要求所有概率之和为1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述古典概型的特点。参考答案：古典概型具有两个特点：①试验的基本事件个数有限；②每个基本事件发生的可能性相等。2.解释什么是样本频率。参考答案：样本频率是指样本中具有某一特征的个体数占样本总数的比例。3.说明事件A与事件B互斥的含义。参考答案：事件A与事件B互斥是指它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。4.什么是随机变量的期望？参考答案：随机变量X的期望E(X)是X取值的加权平均数，即E(X)=∑x_iP(X=x_i)。5.解释方差在统计学中的作用。参考答案：方差衡量数据分散程度，方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。6.说明独立重复试验的定义。参考答案：独立重复试验是指每次试验结果相互独立，且每次试验的条件和概率分布相同的一系列试验。7.什么是正态分布？参考答案：正态分布是一种常见的连续型概率分布，其概率密度曲线呈钟形，关于均值对称。8.简述概率的加法公式。参考答案：若事件A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A、B不互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现随机抽取3名学生，求抽到的3名学生都是男生的概率。参考答案：抽3男情况数为C(30,3)=4060，总情况数为C(50,3)=19600，概率=4060/19600=203/980≈0.206。2.已知随机变量X服从二项分布B(5,0.6)，求P(X≥3)的值。参考答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)×0.6³×0.4²+C(5,4)×0.6⁴×0.4+C(5,5)×0.6⁵=10×0.216×0.16+5×0.1296×0.4+1×0.07776=0.3456+0.2592+0.07776=0.68256。3.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或K的概率。参考答案：红桃有13张，K有4张，但其中1张是红桃，故抽到红桃或K的情况数为13+3=16，概率=16/52=4/13。4.已知一组样本数据：4,6,8,10,12，求这组数据的标准差。参考答案：平均数=（4+6+8+10+12）/5=8，方差s²=[(4-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8，标准差s=√8≈2.83。5.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击4次，求恰好命中3次的概率。参考答案：P(X=3)=C(4,3)×0.7³×0.3=4×0.343×0.3=0.4116。6.从装有3个红球、2个白球的袋中随机摸出2个球，求至少摸到1个红球的概率。参考答案：至少1红包含1红1白和2红，概率=（C(3,1)×C(2,1))/C(5,2)+C(3,2)/C(5,2)=(6/10)+(3/10)=9/10。7.已知事件A的概率为0.5，事件B的概率为0.6，且P(A∪B)=0.8，求P(A∩B)的值。参考答案：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.6-0.8=0.3。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产一批零件，次品率为0.1，现随机抽取10个零件，求恰好有2个次品的概率。参考答案：P(X=2)=C(10,2)×0.1²×0.9⁸=45×0.01×0.43046721≈0.1937。2.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到黑桃或J的概率。参考答案：黑桃有13张，J有4张，但其中1张是黑桃，故抽到黑桃或J的情况数为13+3=16，概率=16/52=4/13。3.已知一组样本数据：5,7,9,11,13，求这组数据的中位数。参考答案：排序后数据为5,7,9,11,13，中位数为9。4.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求至少命中1次的概率。参考答案：至少1中=1-全不中=1-P(X=0)=1-C(3,0)×0.8⁰×0.2³=1-1×1×0.008=0.992。5.从装有4个红球、3个白球的袋中随机摸出3个球，求摸到2红1白的概率。参考答案：概率=C(4,2)×C(3,1)/C(7,3)=6×3/35=18/35。6.已知随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3求E(X²)的值。参考答案：E(X²)=0²×0.2+1²×0.5+2²×0.3=0+0.5+1.2=1.7。7.某公交线路每15分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，求乘客等待时间超过10分钟的概率。参考答案：设等待时间为X，X~U(0,15)，P(X>10)=5/15=1/3。8.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或大于8的牌的概率。参考答案：红桃有13张，大于8的牌有4×3=12张，但其中1张是红桃9，故情况数为13+11=24，概率=24/52=6/13。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述概率的统计定义及其应用。参考答案：概率的统计定义是指事件发生的频率在大量重复试验中逐渐稳定的值。应用：如用样本频率估计总体概率，产品合格率统计等。2.说明方差在数据分析中的重要性。参考答案：方差反映数据波动性，方差大说明数据离散，方差小说明数据集中。可用于比较不同数据集的稳定性。3.解释二项分布的应用场景。参考答案：二项分布在重复独立试验中应用广泛，如抛硬币n次正面次数、生产产品合格率抽样等。4.论述正态分布的特点及其在社会生活中的应用。参考答案：正态分布呈钟形对称，均值即众数和中位数。应用：如身高体重分布、考试成绩分布等。5.说明样本容量对频率估计的影响。参考答案：样本容量越大，频率越接近真实概率。小样本易受随机性影响，大样本更稳定。6.论述互斥事件与独立事件的区别。参考答案：互斥事件不能同时发生（P(A∩B)=0），独立事件同时发生概率不为0（P(A∩B)=P(A)P(B)）。7.解释期望在决策中的意义。参考答案：期望是随机变量的加权平均，可用于风险评估，如投资回报预期等。8.论述概率统计在生活中的应用。参考答案：如天气预报、保险精算、医学诊断、市场调研等。9.说明离散型随机变量与连续型随机变量的区别。参考答案：离散型取值可数（如掷骰子），连续型取值不可数（如身高）。10.论述方差减小对数据分析的影响。参考答案：方差减小说明数据集中，波动小，结果更可靠。如实验条件控制严格可减小误差方差。标准答案及解析一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.D6.A7.A8.A9.B10.B解析：1.古典概型，P=6/10；2.二项分布，P=C(3,2)×0.8²×0.2；3.中位数是排序后中间值；4.超几何分布，P=C(20,2)/C(50,2)；5.二项分布，P=C(4,2)×0.5⁴；6.古典概型，P=13/52；7.标准差是方差的平方根；8.均匀分布，P=3/10；9.独立事件乘法公式；10.样本频率估计。二、填空题1.0.512.813.1/514.1.115.3/1016.4017.0.918.119.120.0.3解析：11.正态分布对称性；12.极差定义；13.条件概率公式；14.期望定义；15.超几何分布；16.平均数公式；17.互斥事件加法公式；18.变异系数定义；19.完备事件；20.加法公式变形。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.×29.×30.√解析：21.概率和为1，但未说明互斥；22.二项分布计算正确；23.直方图面积性质；24.独立事件定义；25.标准差定义；26.扑克牌等概率；27.对立事件概率和为1；28.中位数可能不在数据中；29.概率计算错误；30.离散型分布性质。四、简答题1.答：古典概型要求基本事件有限且等概率，这是其核心特点。2.答：样本频率是样本中某事件出现次数与总次数之比，用于估计总体概率。3.答：互斥事件指P(A∩B)=0，即不能同时发生。4.答：期望是随机变量取值的加权平均，反映集中趋势。5.答：方差衡量数据波动性，方差大说明数据分散。6.答：独立重复试验指各次试验结果相互独立且概率不变。7.答：正态分布是钟形曲线，关于均值对称，是常见的连续型分布。8.答：加法公式：互斥时P(A∪B)=P(A)+P(B)；非互斥时减去交集概率。五、应用题1.答：抽3男概率=C(30,3)/C(50,3)=4060/19600=203/980≈0.206。2.答：P(X≥3)=C(5,3)×0.6³×0.4²+C(5,4)×0.6⁴×0.4+C(5,5)×0.6⁵=0.3456+0.2592+0.07776=0.68256。3.答：抽红桃或K概率=13+3/52=16/52=4/13。4.答：平均数8，方差8，标准差√8≈2.83。5.答：P(X=3)=C(4,3)×0.7³×0.3=0.4116。6.答：至少1红概率=1-全白=1-C(2,2)/C(5