广西壮族自治区北海市海城区民附学校2025-2026学年高二上学期10月段考数学试卷（含解析）

北海市民附高级中学2025-2026学年高二上学期10月段考数学试题一、单选题1．过点的直线的斜率为，则等于A． B．10 C．2 D．42．已知向量，，且与互相垂直，则（

）A． B． C． D．3．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（

）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离4．在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（

）A． B． C． D．15．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（

）

A． B． C． D．46．直线与轴交于点，直线与轴交于点，线段的中点为，则点的坐标满足的方程为A． B．C． D．7．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．8．如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（

）A．为正三角形 B．平面C．平面 D．点到平面的距离为二、多选题9．已知直线，则（

）A．的倾斜角为B．在轴上的截距为C．原点到的距离为1D．与坐标轴围成的三角形的面积为210．如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（

）

A．B．点E到直线的距离为C．直线AE与所成角的范围为D．二面角的大小为11．在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．点到平面的距离为C．三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为D．与面交于点则三、填空题12．空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____．13．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______．14．已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________.四、解答题15．已知，(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．16．已知直线.(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.17．如图所示，直三棱柱，，．

(1)求证：；(2)若，E为中点，求二面角的余弦值．18．过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；(2)求弦的中点M的轨迹方程．19．如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.

(1)求证：平面平面；(2)若二面角大小为，求的值.

1．B【详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B.2．C【详解】由题设，，又与互相垂直，则，解得.故选：C3．A【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，圆心距，所以两圆内含．故选：A4．B【详解】因为，且点P在平面内，根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且,，解得故选：B.5．C【详解】由二面角的平面角的定义知，所以，由，，得，，又因为，所以，所以，即．故选：C.6．B【详解】由题意得，因此,满足，选B.7．A【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以，设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为.因为，，，，所以，所以，即.解法二：不妨假设正方形与的边长均为2，如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，则有，，，，由此可得，.设异面直线与所成的角为，则.故选：A.8．C【详解】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为，则，∴，∴，∵为的中点，为的中点，∴，且，∴，为等腰直角三角形，选项A错误；选项B，若平面，则，直角中，，∴，选项B错误；选项C，∵，∴平面，选项C正确；选项D，∵，，∴平面，∴平面平面，∴到直线的距离即为到平面的距离，又∵，∴到直线的距离等于到直线的距离，为，选项D错误；故选:C.9．ABC【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；选项C：原点到的距离为，故选项C正确；选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.故选：ABC.10．ABD【详解】如图建立空间直角坐标系，则，对于A：，因为，所以，即，正确；

对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形，所以E到的距离为，正确．对于C：，设直线AE与所成角为，则，显然在中，随的变大而变小，当时，最大等于，此时最小为，当时，最小等于0，此时最大为，所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确；对于D：二面角，即二面角，平面平面，所以即为二面角的平面角，在正方形中，则二面角的大小为，正确.故选：ABD11．ABD【详解】因为面所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，又面，，点为的中点，点为的中点，则，由中点坐标公式可得，对于A，，，所以，即，故A正确；对于B，设平面的法向量为，由可得，令，可得，又，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C，因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，又，所以其外接球半径为；因为，，，所以，又面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，，所以其外接球半径为，所以外接球半径之比为，故C错误；对于D，设，，则，，设平面的法向量为，，由可得，令，则，因为，解得，所以，故D正确.故选：ABD12．【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,则点到直线的距离为.故答案为：.13．【详解】

方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．

方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即．方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知，过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为，将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点．由圆的切线的性质可知，，．又直线过点，直线的方程为，即．故答案为：．14．【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分，由，得，则曲线表示圆的上半部分，由，得，则曲线表示圆的上半部分，画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上，设圆的标准方程为，则，解得，故圆的标准方程为.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，，因为，则，解得.（2）若，则，解得.16．(1)(2)或【详解】（1）由直线可得斜率为，所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；（2）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为0时，设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，综上所述：所求直线方程为或.17．(1)详见解析(2)【详解】（1）因为直三棱柱中，，所以四边形为正方形，，又，，且，AB、平面，所以平面，又平面，所以，又，，且、平面，所以平面，且平面，所以．（2）设，由及勾股定理得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

得，，，，，，设平面的法向量，而，，所以可得，令，得，设平面的法向量，而，，所以可得，令，得，结合图形可知，二面角余弦值．18．(1)或(2)【详解】（1）由题知圆心，半径，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意；当直线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，整理得，解得或，所以切线的方程为或．（2）设，圆心，因为M弦的中点，所以，又直线l过原点O，所以，，，整理得，所以M的轨迹方程为．