江苏省南通市南通中学2025-2026学年高二下学期期末教学质量调研数学试卷（含解析）

江苏省南通中学2025-2026学年高二下学期期末教学质量调研数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则(

)A. B.C. D.2．已知复数，则z的虚部为(

)A. B. C. D.3．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则(

)A.1 B. C. D.4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(

)A. B. C. D.5．记为等比数列的前n项和.若，，则(

)A. B. C. D.6．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(

)A. B. C. D.7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率(

)A. B. C.2 D.8．已知，则下列式子一定成立的是(

)A. B.C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有(

)A.数列为等差数列 B.数列为等比数列C. D.10．已知α，β为锐角，，，则(

)A. B.C. D.11．已知直线（其中与双曲线C：的上支相交于A，B两点，为线段的中点.过点M斜率为的两条直线分别与双曲线C相交于P，Q两点.则下列结论中正确地是(

)A.点M的坐标满足.B.方程表示的图形是直线和直线C.直线与直线l始终保持平行D.直线恒过某个定点三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中，常数项为_____________.13．已知函数，若，则的最大值为____________.14．随机将1，2，…，（，）这个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记.当时，ξ的数学期望________；若对任意，恒成立，则c的最小值为__________.五、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，正四棱柱中，M为的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.16．（15分）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求.17．（15分）已知椭圆：的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.(1)求的离心率；(2)若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程.18．（17分）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”,光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时,检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致,否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式,从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送,接收器每次以A或者B模式接收,其概率分别为和.每次发送和接收相互独立.(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下,第二次发送“1指向”光子的概率；(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X,求X的分布列；(3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.19．（17分）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数,且存在,使得,则称为的自映射区间．已知函数,．(1)若,任取的一个自映射区间,求其区间的长度的概率；(2)若存在自映射区间,①求m的取值范围；②求证：,且的长度．参考答案1．答案：A解析：由，解得：，，即，故.故选：A.2．答案：A解析：，所以z的虚部为.故选：A3．答案：B解析：由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量，因此，又是单位向量，所以.故选：B4．答案：D解析：从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况，其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况，在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况，所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.故选：D5．答案：B解析：设等比数列的公比为q，则由解得所以，，所以，故选B.6．答案：D解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.7．答案：D解析：设内切圆圆心为I，三个切点分别为D，E，M，如图，由切线长定理可得，即，，，圆I与x轴切于左端点.内切圆半径.设，，，，，，，，，，由勾股定理，整理得，所以，解得，即或（舍去），所以.故选：D.8．答案：D解析：由，得（，），所以.A：若，则，得，当时，，所以不一定成立，故A错误；B：若，则，得，即，又，所以此不等式不成立，故B错误；C：当时，不等式成立，当时，不等式成立，故C错误；D：若，则，即.设，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以在上单调递增，且，所以当时，，成立，故D正确.故选：D9．答案：BCD解析：因为，所以，则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误；根据题意得，，所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则，故B正确；所以，故C正确；，故D正确.故选：BCD10．答案：BCD解析：α，β为锐角，，可得到，①，得，②由①②，又，得，则，B正确；，C正确；又，，，从而，D正确；由B知，则有，，，，又，，则，所以，则A错误.故选：11．答案：ABC解析：设，，联立，得：，所以，所以代入，A对，对于B，由题意可设直线方程为：，直线方程为：，两式相乘即为方程方程，B对，对于C，由及，两方程相减可得直线方程：，所以，由A及椭圆中点弦性质可知：，及所以，C对；对于D：由方程：，结合代入可得：，又，，所以方程：，不恒过定点，D错；故选：ABC12．答案：11解析：先求的展开式中常数项以及含的项；由得，由得；即的展开式中常数项为，含的项为的展开式中常数项为故答案为：1113．答案：2解析：函数的定义域为，，函数在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，不妨设，则，即，因此，整理得，则，当且仅当时取等号，则，即，而，解得，从而最大值为2，此时，，所以的最大值为2.故答案为：214．答案：；2解析：由题意，由对称性，不妨设，则，，则.下面先求，即从1，2，3，…，中随机取n个数，这n个数中最大数b的期望.则从1，2，3，…，中随机取n个数，共有种取法.，指n个数中最大数为k（），即取k后，再从1，2，3，…，个数中取个数，则这样的取法有种，则由古典概型概率公式知，.由组合数性质，则，又，则，故.(1)故当时，；(2)若对任意，恒成立，则恒成立，设，，则在单调递增，由，，则单调递增，当时，，即，故当，要使恒成立，则.即c的最小值为2.故答案为：；2

15．答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取；设平面的法向量为，则，取；因为，即，所以平面平面；(2)设平面的法向量为，则，取，设平面与平面的夹角为θ，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.16．答案：(1)证明见解析；(2)解析：(1)由题意证明如下，，在数列中，，，∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列.(2)由题意及(1)得，，在数列中，首项为3，公差为1，∴，即，在中，，∴，当且时，∴，∴∴.17．答案：(1)；(2)：，：.解析：(1)因为椭圆的右焦点坐标为：，所以抛物线的方程为，其中.不妨设A，C在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此A，B的纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以C，D的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.(2)由(1)知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.由已知得，即.所以的标准方程为，的标准方程为.18．答案：(1)(2)见解析(3)解析：(1)设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”,事件“第二次发送“1指向”的光子”,则,,由条件概率公式,；(2)由题意：,1,2.,,,所以X的分布列为：X012P(3)设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”,事件“发射器发射了i个“1指向”光子”,由(2)知：,,,则,,,由全概率公式,得：.19．答案：(1)(2)①②见解析解析：(1)因为恒成立,则在上单调递增,若存在自映射区间,则,即方程,即至少有两个不同实数解．则的解集为,所以区间的选择共有种．若,共有6种选择,所以区间的长度的概率为．(2)①因为在上单