2017-2026十年高考数学专项汇编专题30 圆锥曲线解答题综合（椭圆、双曲线、抛物线）（学生版）

1

专题30圆锥曲线解答题综合

（椭圆、双曲线、抛物线）

（十一大考点，80题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.圆锥解答第一问高频基础题型，

是后续所有计算的铺垫。

2.常用解题方法为定义法、相关点

2026全国二卷、2023新课标代入法，轨迹类型包含椭圆、抛物

考点01轨迹方程

Ⅰ、2017全国Ⅱ线、直线。

3.题目常给出垂线、交点等几何条

件，部分题目会追加曲线对称、平

移相关探究。

1.圆锥大题经典压轴证明题型，多

作为第二小问出现。

2023全国乙、2022全国乙、20202.通用思路：设直线与曲线联立，

考点02定点问题全国Ⅰ、2019全国Ⅰ/Ⅲ/北京、借助韦达定理化简消去参数，证明

2017全国Ⅰ坐标固定不变；分为直线过定点、

圆恒过定点两类题型。

3.命题载体以椭圆、抛物线为主。

1.中档证明题型，计算量偏大，解

题逻辑与定点问题相近。

2018北京、2020山东、2019全2.常考查斜率乘积、线段长度、向

考点03定值问题

国Ⅲ量数量积为固定常数。

3.依托切线、曲线交点背景，联立

方程化简完成证明。

1.双曲线专属特色题型，难度适中。

2.核心考法：直线与双曲线左右两

考点04定直线问

2023新课标Ⅱ支相交，延长交点连线后，交点始

题

终落在某条固定直线上。

3.结合双曲线顶点、渐近线条件推

导固定直线。

1.点差法标准应用题型，常设置条

考点05中点弦问2022新高考Ⅱ、2020浙江、2018

件互推类设问。

题全国Ⅲ

2.出题形式：已知中点求解直线斜

1

率，或是给出斜率证明多个等量关

系成立。

3.覆盖椭圆、双曲线、抛物线三类

曲线。

1.基础计算小问，经常搭配面积、

斜率综合出题。

2021新高考Ⅱ、2022北京、20202.解题依靠联立方程、判别式与韦

考点06弦长问题

北京达定理计算线段长度。

3.常结合直线相切、三点共线条件

设置题干。

1.必考计算类设问，出现频次极高，

2026全国一/北京、2025北京/全

可单独求面积或是求解面积最值。

国二、2024新课标Ⅰ、2023全国

2.涵盖三角形、四边形多种图形，

甲/天津、2022新高考Ⅰ/天津、

考点07面积问题使用分割、坐标法计算，搭配均值

2021全国乙、2020海南/全国

不等式、函数求解最大最小值。

Ⅲ、2019全国Ⅱ/浙江、2018江

3.结合对称点、焦点、动直线综合

苏/上海

命题。

1.贯穿整道大题的基础条件，也可

2026天津/上海、2024北京、独立作为单独设问。

2023上海、2021北京/浙江、2.考查斜率定值、斜率取值范围、

考点08斜率问题

2019天津、2018北京、2017天多条斜率之间等量关系证明。

津3.融合圆、双曲线、椭圆交叉条件

计算。

1.圆锥大题压轴难点，区分度最高。

2025全国一/上海、2024天津/上2.求解直线斜率、离心率、线段、

考点09参数范围

海、2023上海、2022上海/浙江、面积的取值范围，构造函数搭配不

及最值

2020江苏/上海等式求取最值。

3.多曲线融合出题，几何约束条件

复杂，整体计算量大。

1.几何证明类小问，侧重逻辑推导。

考点10证明特殊2025天津、2024全国甲、20232.常需要证明垂直、平行、角平分

位置关系北京、2018全国Ⅰ线、中点平分等几何关系。

3.依靠韦达定理、向量点积、坐标

等量关系完成推导。

1.大题收尾常规简单设问。

2.根据面积、距离、角度等量反求

考点11求直线方2021天津、2020山东/天津、直线解析式，需要分斜率存在、不

程2017上海/天津存在两种情况讨论。

3.结合椭圆、抛物线、圆综合计算

参数。

1

考点01轨迹方程

2

x2

2y1

1.（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆E：a（a1），过E的右焦点且与x轴垂直的直线被

E截得的线段长为2．

(1)求E的离心率．

Gt,0t0Ax,yy0

(2)设O为坐标原点，给定点，000为E上的点，过A作y轴的垂线，垂足为B，

直线AO与直线GB的交点为P．当A在E上运动时，点P的轨迹为M．

（ⅰ）求M的方程；

（ⅱ）当t为何值时，M有对称中心？当M有对称中心时，将M平移后得到曲线M，使得O为M的对称

中心，说明M是什么曲线.

1

0,

2.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点2的距离，记

动点P的轨迹为W．

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

x2

:y21

3.（2017·全国II卷·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C2上，过M作x轴的垂线，

垂足为N，点P满足NP2NM.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

考点02定点问题

y2x25

C:1(ab0)

22A2,0

1.（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆ab的离心率是3，点在C上．

(1)求C的方程；

1

2,3

(2)过点的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为

定点．

2.（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

3

A0,2,B,1

2两点．

(1)求E的方程；

P1,2

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足

MTTH．证明：直线HN过定点．

2

x2

2y1

3.（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：a（a>1）的左、右顶点，G为E的上

顶点，AGGB8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

x21

C:y,Dy

4.（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线2为直线2上的动点，过D作C的两条切线，

切点分别为A,B.

（1）证明：直线AB过定点：

5

E0,

（2）若以2为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

5.（2019·全国I卷·高考真题）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线

x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

x2y2

C:221

6.（2019·北京·高考真题）已知椭圆ab的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线l:ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直

线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

7.（2019·北京·高考真题）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

1

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交

直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

x2y2

22=1

8.（2017·全国I卷·高考真题）已知椭圆C：ab（ab0），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

33

2），P4（1，2）四点中恰有三点在椭圆C上.

（Ⅰ）求C的方程；

PPAPB

（Ⅱ）设直线l不经过2点且与C相交于A，B两点.若直线2与直线2的斜率的和为1，证明：l过定

点.

考点03定值问题

2

1.（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线

C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

11

（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：为定值．

x2y2

1(ab0)2

22A2,1

2.（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：ab的离心率为2，且过点．

（1）求C的方程：

DQ

（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．

x21

3.（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线C：y=2，D为直线y=2上的动点，过D作C的两条切线，

切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

5

（2）若以E(0，2)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

考点04定直线问题

25,0

1.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为5．

(1)求C的方程；

1

AA4,0

(2)记C的左、右顶点分别为1，2，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直

MANA

线1与2交于点P．证明:点P在定直线上.

考点05中点弦问题

x2y2

C:221(a0,b0)

1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线ab的右焦点为F(2,0)，渐近线方

程为y3x．

(1)求C的方程；

Px,y,Qx,y

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1122在C上，

xx0,y0

且121．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立：

∥

①M在AB上；②PQAB；③|MA||MB|．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2

x2

C:y12

1C:y2px(p0)C

2.（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆2，抛物线2，点A是椭圆1与

CCC

抛物线2的交点，过点A的直线l交椭圆1于点B，交抛物线2于M（B，M不同于A）．

1

p

C

（Ⅰ）若16，求抛物线2的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

1

x2y2

C：1

3.（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为k的直线l与椭圆43交于A，B两点，线段AB的中

点为M1，mm0．

1

k

（1）证明：2；

FAFPFB

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：，，成等差数列，并求

该数列的公差．

x2y2

C：1

4.（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为k的直线l与椭圆43交于A，B两点．线段AB的中

点为M(1,m)(m0)．

1

k

（1）证明：2；

FAFB2FP

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：．

考点06弦长问题

x2y2

221(ab0)

1.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C的方程为ab，右焦点为F(2,0)，且

6

离心率为3．

（1）求椭圆C的方程；

222

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线xyb(x0)相切．证明：M，N，F三点共线的

充要条件是|MN|3．

x2y2

E:221(ab0)

2.（2022·北京·高考真题）已知椭圆ab的一个顶点为A(0,1)，焦距为23．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点

M，N，当|MN|2时，求k的值．

x2y2

C:221

3.（2020·北京·高考真题）已知椭圆ab过点A(2,1)，且a2b．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

1

|PB|

（Ⅱ）过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x4于点P,Q．求|BQ|的值．

考点07面积问题

22

xy1

C:221(ab0)

1.（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆ab的左焦点为F(1,0)，离心率为2．

(1)求C的方程；

(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与

C的另一个交点为R．

（i）若PQR的面积是PFO的面积的3倍，求l的方程；

（ii）求tanPQR的最小值．

x2y2

11

222,0

2.（2026·北京·高考真题）已知椭圆E：ab（ab0）的一个顶点是，离心率为2．

(1)求E的方程；

A1,1kk1

(2)过点，斜率为的直线交椭圆E于B、C两点，B关于yx的对称点为D，DC交

5

S△△ABQSACQ

yx于Q，若8，求k．

22

xy2

E:221ab0

3.（2025·北京·高考真题）已知椭圆ab的离心率为2，椭圆E上的点到两焦点的

距离之和为4.

(1)求椭圆E的方程；

Mx,yx0xx2yy40

(2)设O为坐标原点，点000在椭圆E上，直线00与直线y2，y2分别交

S1|OA|

S,SS

于点A，B．设OAM与OBM的面积分别为12，比较2与|OB|的大小．

22

xy2

C:221(ab0)

4.（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆ab的离心率为2，长轴长为4．

(1)求C的方程；

(2)过点(0,2)的直线l交C于A,B两点，O为坐标原点.若OAB的面积为2，求|AB|．

322

P3,xy

C:221(ab0)

5.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知A(0,3)和2为椭圆ab上两点.

(1)求C的离心率;

1

(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．

x2y2

1(ab0)

22A,A

6.（2023·天津·高考真题）已知椭圆ab的左右顶点分别为12，右焦点为F，已知

AF3,AF1

12．

(1)求椭圆的方程和离心率；

APyAPQAPF

(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2交轴于点Q，若三角形1的面积是三角形2面积

的二倍，求直线A2P的方程．

2

7.（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线x2y10与抛物线C:y2px(p0)交于A,B两点，且

|AB|415．

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，FMFN0，求MFN面积的最小值．

x2y2

C:221(a1)

8.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点A(2,1)在双曲线aa1上，直线l交C于

P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若tanPAQ22，求△PAQ的面积．

x2y2

221ab0

9.（2022·天津·高考真题）椭圆ab的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足

BF3

AB2．

(1)求椭圆的离心率e；

OMON

(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且

MON的面积为3，求椭圆的方程．

C:x22pyp0

10.（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，且F与圆

1

22

M:x(y4)1上点的距离的最小值为4．

（1）求p；

PA,PBA,B

（2）若点P在M上，是C的两条切线，是切点，求PAB面积的最大值．

x2y2

221(ab0)

11.（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：ab过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM

1

的斜率为2，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

x2y215

C:21(0m5)

12.（2020·全国III卷·高考真题）已知椭圆25m的离心率为4，A，B分别为C的左、

右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求APQ的面积．

x2y2

C:1(ab0)

F,F22

13.（2019·全国II卷·高考真题）已知12是椭圆ab的两个焦点，P为C上一点，O

为坐标原点．

POF

（1）若2为等边三角形，求C的离心率；

PFPFFPF

（2)如果存在点P，使得12，且12的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

14.（2019·全国II卷·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−

1

2.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C

于点G.

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值.

1

(3,)F(3,0),F(3,0)

15.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点2，焦点12，圆

FF

O的直径为12．

1

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

26

②直线l与椭圆C交于A,B两点．若OAB的面积为7，求直线l的方程．

16.（2018·上海·高考真题）设常数t2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:xt，曲线

2

:y8x（0xt，y0），l与x轴交于点A、与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动

点.

(1)用t表示点B到点F的距离；

FQ2

(2)设t3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

(3)设t8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标，若不存

在，说明理由.

2

17.（2019·浙江·高考真题）如图，已知点F(1，0)为抛物线y2px(p0)的焦点，过点F的直线交抛物线

A,B

于两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.

△△S,S

记AFG,CQG的面积为12.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

S1

S

（2）求2的最小值及此时点G的坐标.

18.（2018·浙江·高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的

两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

1

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2

x21(x0)

（Ⅱ）若P是半椭圆4上的动点，求△PAB面积的取值范围．

考点08斜率问题

22

xy1

C:221

1.（2026·天津·高考真题）已知椭圆ab（ab0）的离心率为2，椭圆被直线xb截得的

线段长为3．

(1)求C的标准方程；

222P(x,y)Q(x,y)yy

(2)斜率为3的直线与圆xyb相切，且该直线交椭圆于11，22（12），A是椭圆

k1

kk

的上顶点．记直线AP，AQ的斜率分别为1，2，求k2．

x2y2

:1Mm,0

2.（2026·上海·高考真题）已知双曲线22，过点作不垂直于x轴的直线l交双曲线于

A、B两点.

(1)求双曲线离心率；

A3,1

(2)若点，点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线l的斜率；

FF

(3)若m0，1，2分别是双曲线的左右焦点，A是A关于y轴的对称点，若存在直线l使得

FAFB0

12，求m的取值范围.

x2y2

221ab0

3.（2024·北京·高考真题）已知椭圆E：ab，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边

0,tt2

形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B，过点A和

1

C0,1

的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．

x2y2

Γ:21(m0,m3)

4.（2023·上海·高考真题）已知椭圆m3．

(1)若m2，求椭圆Γ的离心率；

A,AEAEA2

(2)设12为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且12，求m的值；

y2x2

21

(3)若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为3的直线与双曲线5m5仅有一个公共点，求m的

取值范围．

x2y2

E:221(ab0)

5.（2021·北京·高考真题）已知椭圆ab一个顶点A(0,2)，以椭圆E的四个顶点为顶

点的四边形面积为45．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线

y3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

y22pxp0

6.（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交

MF2

点，且，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB，x轴依次交于点

1

RN2PNQN

P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.

2

7.（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线C:y2px(p0)的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ9QF，求直线OQ斜率的最大值.

F17,0

8.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点1、

F17,0，MFMF2

212，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

1

xTATBTPTQ

（2）设点T在直线2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且，

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

3

9.（2019·全国I卷·高考真题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为

A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若AP3PB，求|AB|．

x2y2

1(ab0)

10.（2019·天津·高考真题）设椭圆a2b2的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知

3|OA|2|OB|（O为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

3

（Ⅱ）设经过点F且斜率为4的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心

C在直线x4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.

x2y2

221(ab0)

11.（2019·天津·高考真题）设椭圆ab的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为

5

4，离心率为5.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴

1

上.若|ON||OF|（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.

x2y26

M:221(ab0)

12.（2018·北京·高考真题）已知椭圆ab的离心率为3，焦距为22.斜率为k的直

线l与椭圆M有两个不同的交点A、B.

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）若k1，求|AB|的最大值；

P2,0

（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C、

71

Q,

D和点44共线，求k.

2

13.（2018·全国II卷·高考真题）设抛物线C：y4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交

于A，B两点，|AB|8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

x2y2

12

22ab0

14.（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：ab的离心率为2，焦

距为2.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

3

ykx

1k

（Ⅱ）如图，动直线l：2交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2，且

2

k1k2MC:AB2:3

4，M是线段OC延长线上一点，且，M的半径为MC，OS,OT是M的两条

切线，切点分别为S,T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.

1

x2y2