蔡中兵《材料力学》8组合变形及连接部分的计算

组合变形及连接部分的计算蔡中兵《材料力学》第八章·盐城工学院力学课程组Contents本章内容概览材料力学组合变形章节的核心议题与分析脉络01组合变形概述与分析方法02两相互垂直平面内的弯曲03拉伸（压缩）与弯曲的组合04扭转与弯曲的组合变形05连接件的实用计算法06铆钉连接的强度计算CHAPTER01组合变形概述与分析方法从基本概念到叠加原理，建立处理复杂变形的系统方法论STRUCTURALMECHANICS组合变形的概念与叠加原理组合变形是工程构件最常见的受力形态，其分析核心是叠加法——将复杂变形分解为若干基本变形分别求解后叠加，但前提是材料处于线弹性小变形范围，保证力与变形之间的线性关系。基本概念构件在荷载作用下同时发生两种或两种以上基本变形（拉压、弯曲、扭转），则称该构件发生组合变形。工程中绝大多数受力构件都处于组合变形状态，纯单一变形只是理论简化模型。叠加原理适用条件叠加原理成立的前提：内力、应力、应变、变形等与外力之间必须成线性关系。具体体现为材料处于线弹性阶段（胡克定律适用）且结构发生小变形（几何线性）。工程实例厂房吊车梁：同时承受竖向荷载引起的弯曲和自重引起的轴向力，属拉弯或压弯组合。机械传动轴：传递扭矩的同时因齿轮啮合力产生弯曲，属扭弯组合变形。METHODOLOGY处理组合变形的基本方法组合变形分析遵循"外力分解→内力分析→应力叠加"三步法，核心思路是将复杂问题拆解为多个单一基本变形分别求解，再通过叠加原理在危险点处合成总应力，最终建立强度条件完成设计校核。STEP01外力分析将外力简化并沿截面主惯性轴方向分解，使每个力或力偶仅对应一种基本变形形式。各分量互相独立，便于分别按拉压、弯曲、扭转等基本变形进行后续计算。外力分解STEP02内力分析针对每个外力分量分别求解内力方程并绘制内力图——轴力图、弯矩图、扭矩图等。对比各内力图极值位置，确定危险截面，为后续应力计算锁定关键位置。危险截面STEP03应力分析与叠加画出危险截面上各基本变形对应的应力分布图，利用叠加原理合成总应力分布。找出应力绝对值最大的危险点，根据应力状态选择适当强度理论建立强度条件。强度校核FundamentalsReview基本变形及其应力计算回顾组合变形的分析基础是三种基本变形的应力公式——拉压正应力σ=N/A、扭转切应力τ=Tρ/Ip、弯曲正应力σ=My/Iz，熟练掌握各公式的适用条件和应力分布规律是进行叠加计算的前提。轴向拉伸与压缩外力或其合力作用线沿杆件轴线方向杆件主要变形为轴向伸长或缩短横截面正应力σ=N/A，均匀分布σ=N/A圆轴扭转受到一对等值、反向、作用面垂直于轴线的力偶任意两个横截面发生绕轴线的相对转动横截面切应力τ=Tρ/Ip，边缘最大τ=Tρ/Ip平面弯曲受到垂直于轴线的横向力或包含轴线的力偶杆件轴线由直线变为曲线正应力σ=My/Iz，最大在距中性轴最远处σ=My/IzCHAPTER02两相互垂直平面内的弯曲双对称截面梁在两个纵向对称面内同时受横向外力时的应力计算与强度校核STRUCTURALMECHANICS双向弯曲的应力计算与中性轴双对称截面梁在两个纵向对称面内同时受弯时，可分别按平面弯曲计算各方向应力后叠加；叠加后的中性轴为一条倾斜直线，危险点位于截面角点处——即离中性轴最远的位置。01双平面弯曲分解：双对称截面梁在水平和铅垂两个纵向对称面内同时受横向外力时，分别发生绕z轴和绕y轴的平面弯曲。02单独作用分析：F2在竖直面内弯曲，z轴为中性轴；F1在水平面内弯曲，y轴为中性轴。03应力叠加公式：叠加后任意点C(y,z)的正应力为σ=Mz·y/Iz+My·z/Iy，两项正应力的代数和即为总正应力。04中性轴方程：Mz·y/Iz+My·z/Iy=0，是一条过截面形心的倾斜直线，将截面分为拉应力区和压应力区。05危险点与强度条件：危险点位于截面角点处（如B、D点），分别对应最大拉应力和最大压应力，该处切应力为零，按单轴应力状态建立强度条件。材料力学·组合变形双向弯曲的强度条件与计算步骤双向弯曲的强度校核公式为σmax=Mz/Wz+My/Wy≤[σ]，解题时需按外力分解、弯矩分析、危险截面确定、应力叠加四步系统推进，其中危险截面的确定依赖于两个方向弯矩图的综合比较。强度条件公式最大正应力公式σmax=Mz/Wz+My/Wy，其中Wz和Wy分别为截面对z轴和y轴的抗弯截面系数强度条件σmax=Mz/Wz+My/Wy≤[σ]，危险点处切应力为零，可直接按单轴应力状态校核标准计算步骤01将横向外力沿两个纵向对称面分解为两个方向的分量02分别画出水平面和竖直面内的弯矩图Mz图和My图03综合两个弯矩图确定危险截面位置，计算该截面的Mz和My值04代入强度条件公式进行校核、设计截面尺寸或确定许用荷载CHAPTER03拉伸（压缩）与弯曲的组合从偏心拉压到横向力与轴力共同作用，掌握工程中最常见的组合变形分析STRESSANALYSIS拉伸（压缩）与弯曲的应力叠加拉伸或压缩与弯曲组合时，截面上的总正应力等于轴力引起的均匀正应力与弯矩引起的线性分布正应力之和，即σ=N/A±M/W；叠加后截面应力不再对称分布，危险点偏移至合成应力最大的一侧边缘。01叠加原理轴力N引起均匀正应力σ₁=N/A，弯矩M引起线性分布正应力σ₂=±M/W，两者叠加得σ=N/A±M/W02拉压影响当N为拉力时，截面全为拉应力或一侧拉应力更大；当N为压力时，可能抵消弯曲拉应力使截面全受压03危险点定位危险点在截面边缘处（弯曲应力最大位置），应力状态为单轴应力，直接用σmax≤[σ]建立强度条件04脆性材料校核对于脆性材料（如混凝土、铸铁），需分别校核最大拉应力和最大压应力，因为抗拉和抗压强度不等SECTION04·组合变形偏心拉伸与压缩及截面核心偏心拉压是轴力不通过截面形心时的特殊组合变形，可等效为轴力加弯矩。截面核心是使整个截面不出现拉应力的压力作用范围，对脆性材料构件设计至关重要。01偏心拉压的等效分析01偏心距为e的轴向力可等效为通过形心的轴力N加上弯矩M=Ne，将偏心问题转化为拉弯组合问题02截面上任意点正应力σ=N/A±Mz·y/Iz±My·z/Iy，单向偏心时简化为σ=N/A±M/W03应力分布呈线性变化，最大应力出现在离中性轴最远的边缘位置，需同时校核强度与稳定性02截面核心概念01截面核心是截面形心周围的一个区域，当压力作用在该区域内时，整个截面上不出现拉应力02核心边界确定：令边缘应力恰好为零，反算偏心距，即N/A−M/W=0时的e值03矩形截面核心为菱形，顶点在形心到边缘距离1/3处；圆形核心为半径R/4的同心圆EngineeringApplication拉弯组合变形的工程应用实例拉伸压缩与弯曲的组合是工程中最常见的组合变形形式，广泛存在于建筑结构、桥梁工程和机械装备中。理解其力学本质并准确识别危险截面，是确保工程结构安全可靠的基础。框架结构偏心受压柱·施工现场建筑结构01框架柱在竖向荷载和水平荷载（风、地震）共同作用下发生偏心受压，需按压弯组合进行设计02厂房排架柱承受吊车荷载时，牛腿处产生偏心压力，等效为轴力加弯矩的组合作用悬索桥主塔结构·施工现场桥梁与机械01悬索桥主塔在缆索拉力和风荷载作用下发生拉弯或压弯组合变形，设计时需综合校核02机械曲柄压力机连杆在冲压过程中承受交变的拉压与弯曲组合作用，需进行疲劳强度分析CHAPTER04扭转与弯曲的组合变形以机械传动轴为典型对象，掌握扭弯组合下的应力分析与强度理论应用STRENGTHANALYSIS扭转与弯曲组合的应力状态分析扭弯组合变形中，弯曲正应力σ和扭转切应力τ的最大值同时出现在截面边缘同一点，该点处于二向应力状态。由于正应力和切应力不能直接相加，必须借助第三或第四强度理论计算相当应力后，再与许用应力比较完成强度校核。危险点定位弯曲产生最大正应力σ=M/W，扭转产生最大切应力τ=T/Wp，两者最大值在同一危险点叠加，形成复杂的二向应力状态。σ=M/W·τ=T/Wp二向应力状态主应力σ₁和σ₃均不为零，需按复杂应力状态分析，不能简单叠加。必须通过应力圆或解析法求解主应力。σ₁≠0·σ₃≠0第三强度理论最大切应力理论，相当应力σr3=√(σ²+4τ²)，适用于塑性材料。该理论认为最大切应力是引起屈服破坏的主要原因。σr3=√(σ²+4τ²)第四强度理论畸变能密度理论，相当应力σr4=√(σ²+3τ²)，比第三理论更精确。该理论综合考虑了三个主应力的影响。σr4=√(σ²+3τ²)工程强度条件统一表达σr≤[σ]，圆轴传动设计常取σr3=√(M²+T²)/W作为设计公式，便于直接进行强度校核和截面设计。σr≤[σ]DesignMethod圆轴扭弯组合的设计计算方法圆轴在扭弯组合下的设计公式利用了Wp=2W的几何关系，将相当应力简化为仅含弯矩M和扭矩T的表达式。设计时由强度条件反算最小直径，关键是在内力图基础上找到M和T同时较大的危险截面。简化设计公式圆轴的Wp=2W，代入第三强度理论得σr3=√(M²+T²)/W，代入第四强度理论得σr4=√(M²+0.75T²)/WWp=2W设计圆轴最小直径：d≥(32·√(M²+T²)/π[σ])1/3，适用于第三强度理论的设计dmin设计计算步骤1将齿轮啮合力或皮带拉力向轴心简化，分解为水平力和竖向力及扭矩2分别画出水平面和竖直面内的弯矩图，合成总弯矩图，再画扭矩图3综合弯矩图和扭矩图确定危险截面，读取该截面的M和T值代入设计公式CHAPTER05连接件的实用计算法从剪切和挤压两种破坏形式出发，建立连接件的工程实用强度校核方法STRUCTURALMECHANICS连接件概述与实用计算法原理连接件受力复杂、应力分布不均匀，精确弹性力学分析在工程实践中不可行。实用计算法根据典型破坏形式建立名义应力公式，以实验测定的许用应力为依据进行强度校核。连接件的定义与分类用螺栓、销钉、键、铆钉和焊缝等将两个或多个构件联接在一起的受力元件可拆卸·螺栓、键|

不可拆卸·铆钉、焊接传力方式：承压型·摩擦型实用计算法的基本思想假设切应力和挤压应力在相应面积上均匀分布，由此建立名义应力公式许用应力通过与实际连接件相同条件下的破坏试验确定破坏形式：剪切断裂·挤压溃坏2典型破坏形式剪切破坏·挤压破坏01均匀分布假设切应力与挤压应力在各自承载面积上近似均匀分布02名义应力公式基于简化假设建立工程可用的强度计算表达式03实验标定许用应力通过与实际连接件相同条件的破坏试验确定可靠值1核心方法名义应力×许用应力PracticalCalculation剪切与挤压的实用计算公式连接件两种破坏形式各有实用公式，挤压面积取投影面积dt是简化关键剪切强度计算01名义切应力：τ=Fs/A，Fs为剪切面上的剪力，A为剪切面的实际面积02单剪与双剪：单搭接铆钉有一个剪切面，双盖板铆钉连接有两个剪切面03强度条件：τ=Fs/A≤[τ]，许用切应力由同条件剪切破坏试验确定挤压强度计算01名义挤压应力：σbs=Fbs/Abs，Fbs为挤压力，Abs为挤压计算面积02投影面积：圆柱形连接件Abs=d·t，d为直径，t为被连接板厚度03强度条件：σbs≤[σbs]，板材料不同时取较弱板的许用挤压应力STRENGTHANALYSIS键连接的实用计算键连接通过键侧面挤压传递扭矩，圆周力F=2T/d为共同载荷；挤压强度σbs=2F/hL≤[σbs]通常是设计的控制因素。01轴传递扭矩T时，键受到的圆周力F=2T/d（d为轴径），此力同时作为剪切力和挤压力共同作用在键的两侧面上。F=2T/d02剪切面积A=bL（b为键宽，L为键长），名义切应力τ=F/bL≤[τ]。由于键材料强度较高，一般键的剪切强度容易满足要求。τ=F/bL03挤压面积Abs=hL/2（h为键高），名义挤压应力σbs=2F/hL≤[σbs]。工程实践中，挤压强度往往是键连接设计的控制因素。σbs=2F/hL04设计时通常先由挤压强度条件确定键长L，再校核剪切强度是否满足。最小键长计算公式如下，需考虑安全系数。L≥4T/(dh[σbs])CHAPTER06铆钉连接的强度计算综合剪切、挤压与拉伸三种强度校核，完成铆钉连接的系统设计StrengthVerification铆钉连接的三种强度校核铆钉连接的完整强度校核必须同时满足三个条件：铆钉的剪切强度、铆钉与板的挤压强度、以及板件在铆钉孔削弱截面处的抗拉强度。三者中最弱的环节决定了连接的整体承载能力，设计时需逐一校核并取最小值。铆钉剪切强度受力分析：每个铆钉承受的力为总力除以铆钉数n，即Fs=F/n；单剪时剪切面为1个，双剪时为2个。剪切面位于铆钉杆的横截面处。强度条件：τ=Fs/(n·A)≤[τ]，其中A=πd²/4为铆钉横截面积，[τ]为材料的许用剪切应力。τ=Fs/(n·A)≤[τ]剪切应力≤许用剪切应力挤压强度挤压面积：Abs=d·tmin（d为铆钉直径，tmin为被连接板中较薄板的厚度）。挤压应力分布在铆钉与孔壁的接触面上。强度条件：σbs=F/(n·d·tmin)≤[σbs]，注意取较弱板的许用挤压应力，防止孔壁压溃。σbs=F/(n·d·tmin)≤[σbs]挤压应力≤许用挤压应力板件拉伸强度危险截面：铆钉孔所在截面为削弱截面，净面积An=(b−n₁·d)·t，其中n₁为该截面上的铆钉数，b为板宽，t为板厚。强度条件：σ=F/An≤[σ]，多排铆钉时需逐排校核各削弱截面的拉伸应力，取最危险截面控制设计。σ=F/An≤[σ]拉伸应力≤许用拉应力STRUCTURALANALYSIS铆钉连接计算例题分析铆钉连接的计算例题综合运用了剪切、挤压和拉伸三种强度校核方法。通过逐一分步计算并比较，可以明确连接中的薄弱环节，从而指导设计优化——如增加铆钉数量、增大直径或增加板厚。01已知条件搭接铆钉连接，F=200kN，t=10mm，b=200mm，d=20mm，n=3个铆钉，单剪切200kN02剪切校核每个铆钉Fs=66.7kN，τ=Fs/(πd²/4)=212.2MPa，与许用切应力[τ]比较212.2MPa03挤压校核σbs=Fs/(dt)=333.3MPa，与许用挤压应力[σbs]比较，通常挤压是最严格的控制条件333.3MPa04板件拉伸校核净面积An=(b−3d)·t=1400mm²，σ=F/An=142.9MPa，与许用拉应力[σ]比较142.9MPaEngineeringApplication组合变形与连接件的综合工程应用工程设计中，组合变形分析与连接件计算往往需要同步进行——先确定构件在组合变形下的截面尺寸，再设计连接部位的连接件规格和排列方式，两者共同决定了整个结构系统的安全性和经济性。01传动轴系统设计机械传动系统中轴与齿轮的连接先由扭弯组合确定轴径d≥(32√(M²+T²)/π[σ])1/3，再由传递扭矩T确定键的尺寸键长L≥4T/(dh[σbs])，同时校核键的剪切和挤压强度，必要时调整键的尺寸或改用花键连接02钢结构梁柱节点钢结构梁柱连接节点的高强螺栓群梁柱节点承受弯矩、剪力和轴力的组合作用，高强螺栓需按拉剪组合进行强度校核节点设计需保证传力路径明确、变形协调，连接件的承载能力应大于构件本身的承载能力（强节点弱构件原则）SUMMARY本章知识框架与核心公式总结本章以叠加法为主线，系统建立了组合变形的分析体系：从外力分解到应力叠加，涵盖双向弯曲、拉弯组合、扭弯组合三大典型问题；连接件部分以剪切和挤压实用计算为核心，形成完整的构件与连接设计方法。组合变形核心公式01双向弯曲σmax=Mz/Wz+My/Wy≤[σ]，中性轴为倾斜直线02拉弯组合σ=N/A±M/W≤[σ]，偏心受压时关注截面核心03扭弯组合（圆轴）σr3=√(M²+T²)/W≤[σ]（第三强度理论）连接件核心公式01剪切强度τ=Fs/A≤[τ]，注意区分单剪切与双剪切02挤压强度σbs=Fbs/(d·t)≤[σbs]，圆柱连接件取投影面积03铆钉连接综合校核需同时校核铆钉剪切、铆钉挤压和板件拉伸三项强度STRUCTURALMECHANICS·COMBINEDDEFORMATION三种组合变形分析方法对比三种典型组合变形各有特点：双向弯曲是两个方向弯矩的线性叠加，拉弯组合使应力分布偏移不对称，扭弯组合因正切应力共存需借助强度理论。理解各自的分析逻辑和适用条件，是灵活解决实际工程问题的基础。组合变形类型对比分析变形类型载荷组合核心公式危险点位置强度理论双向弯曲两个方向的横向力σ=Mz/Wz+My/Wy截面角点处单轴应力状态，直接比较拉弯组合轴向力+横向力σ=N/A±M/W截面边缘（应力大侧）单轴应力状态，直接比较扭弯组合扭矩+横向力σr3=√(M²+T²)/W截面边缘（弯矩最大处）第三或第四强度理论三种组合变形的分析方法各异，但都遵循外力分解→内力分析→应力叠加的统一逻辑框架MATERIALMECHANICS考试重点与高效解题策略组合变形与连接件计算是材料力学考试的重点章节，核心考查叠加法的系统应用能力。解题关键在于准确识别变形类型、正确分解外力、精确确定危险截面和危险点，最终选择合适的强度条件完成校核或设计。高频考点叠加法与危险截面：叠加法进行组合变形计算的完整思路与步骤，危险截面和危险点的确定方法叠加法中性轴与截面核心：双向弯曲中性轴位置的确定，偏心拉压构件截面核心的概念与计算方法偏心拉压连接件强度校核：连接件剪切和挤压实用计算的公式应用，铆钉连接的综合强度校核铆钉校核解题策略01第一步永远先画受力简图并分解外力，明确是哪种组合变形类型（双向弯、拉弯、扭弯）02画内力图是确定危险截面的基础，不可跳过；扭弯组合时特别注意M和T要取同一截面03强度理论的选择：塑性材料用第三或第四强度理论，脆性材料用第一或第二强度理论CHAPTERSUMMARY常见易错点与注意事项组合变形与连接件计算中的典型错误集中在四个方面：应力叠加时正负号判断失误、扭弯组合中遗漏强度理论、铆钉