电磁场与电磁波(西电)第7章 电磁波的辐射

电磁场与电磁波第7章电磁波的辐射|西安电子科技大学Contents目录本章内容概览01滞后位与辐射条件02基本振子辐射场03天线电参数04对称线天线与天线阵05面天线与互易原理CHAPTER01滞后位与辐射条件从位函数方程到亥姆霍兹积分，建立电磁辐射的数学描述框架ElectromagneticTheory位函数与洛仑兹条件在时谐场中，通过引入标量位φ和矢量位A，可以将麦克斯韦方程组转化为位函数的波动方程。洛仑兹条件是联系标量位和矢量位的桥梁，使得两个位函数可以独立求解，从而简化辐射场的计算。源项耦合：时谐场中电荷源ρ和电流源J通过电流连续性方程∇·J=−jωρ联系，源项的耦合关系决定了辐射场的求解策略∇·J=−jωρ洛仑兹条件：标量位φ和矢量位A之间由洛仑兹条件∇·A=−jωμεφ联系，该条件使得波动方程解耦为两个独立方程∇·A=−jωμεφ场与位函数：电磁场与位函数的关系为B=∇×A、E=−jωA−∇φ+∇(∇·A)/k²，这一组关系是后续所有辐射场计算的出发点B=∇×A|E=−jωA−∇φ亥姆霍兹方程：位函数满足非齐次亥姆霍兹方程∇²A+k²A=−μJ和∇²φ+k²φ=−ρ/ε，求解这两个方程是辐射问题的核心任务∇²ψ+k²ψ=−fMathematicalFoundation亥姆霍兹积分与格林定理亥姆霍兹积分基于格林定理，通过引入自由空间格林函数ψ=e^(-jkR)/R，将位函数的微分方程转化为积分形式，为求解辐射场提供了系统化的数学方法。01格林定理∫(u∇²w−w∇²u)dV=∮(u∇w−w∇u)·dS将体积分与面积分联系起来，是推导亥姆霍兹积分的数学基础02选择辅助函数ψ=e^(-jkR)/R作为格林函数，其中R=|r−r'|为场点到源点的距离，该函数满足齐次亥姆霍兹方程∇²ψ+k²ψ=003令u代表标量位φ，w代表格林函数ψ，代入围道积分后，在小球面S₂收缩为点P的极限过程中得到标量位的积分表达式04最终积分解包含体积分（源项贡献）和面积分（边界贡献）两部分，为后续推导辐射条件和滞后位奠定基础RadiationCondition辐射条件的推导与物理意义辐射条件确保位函数在无限远处趋于零，排除来自无限远处的虚假场源，使解只表示从源向外传播的电磁波，是辐射问题获得唯一物理解的必要条件。01球面积分形式—取以R为半径的球面作为无穷远边界面S，面积分项可写成∮(φ∂ψ/∂R−ψ∂φ/∂R)R²dΩ的形式∮R²dΩ02辐射条件推导—排除无限远处场源要求R→∞时面积分为零，推导出辐射条件：lim(R→∞)R(∂φ/∂R+jkφ)=0R→∞03物理含义—标量位至少按1/R衰减，保证远离场源处场强有限，能量不会从无穷远处汇聚而来1/R衰减04矢量位推广—矢量位A的每个直角坐标分量也需满足类似辐射条件，确保电磁波只沿径向向外传播而非向内汇聚径向向外RETARDEDPOTENTIAL滞后位的概念与物理意义滞后位揭示了电磁辐射的因果律：场点处的位函数取决于源点在(t-R/v)时刻的状态，时延R/v是电磁波从源传播到场的时间，体现了电磁作用的有限传播速度。01满足辐射条件时面积分项为零，标量位φ(r)=∫ρ(r')e−jkR/(4πεR)dV'仅表示向外传播的电磁波◆该表达式描述了电荷分布产生的标量势在远场区域的辐射特性02代入k=ω/v并引入时间因子ejωt后得到φ(r,t)，其中出现(t−R/v)项，表明场点响应滞后于源点激励◆时间因子揭示了电磁扰动以有限速度传播的物理本质03滞后时间R/v恰好是电磁波以速度v从源点r'传播到场点r所需的时间，体现了电磁作用的有限传播速度◆真空中v=c，这一时延是相对论因果律在电磁学中的具体表现04矢量位A同样具有滞后形式A(r)=∫μJ(r')e−jkR/(4πR)dV'，两者共同构成完整的辐射场描述◆标量位与矢量位满足洛伦兹规范，是求解麦克斯韦方程组的关键CHAPTER02基本振子辐射场从电基本振子到磁基本振子，建立天线辐射分析的基本单元模型ELECTROMAGNETICTHEORY电基本振子的模型与矢量位电基本振子是最基本的辐射单元模型，由长度远小于波长的短导线构成，通过求解矢量位A进而获得完整的电磁场分布，是所有复杂天线分析的理论基石。01电基本振子模型：取短导线长度dl远小于波长λ，横截面积S，导线体积dV=dl·S极小，电流I在导线上均匀分布02矢量位积分简化：A=μIdl·e−jkr/(4πr)·ẑ，由于dl极小，体积分退化为点源形式，极大简化了计算03球坐标分解：将A分解为Ar=Acosθ和Aθ=−Asinθ两个分量，Aφ=0，为后续场分量求解做准备04物理实现：短对称振子是电基本振子的物理实现，两端电流为零、中间电流最大，总长度远小于波长时近似为电流元偶极子天线实验器材ELECTROMAGNETICFIELDTHEORY电基本振子的近区场与远区场电基本振子的电磁场在近区和远区呈现本质不同的物理特性：近区以感应场为主、不传输有功功率，远区以辐射场为主、以TEM球面波形式向外传播能量，两者的距离分界为kr=1。NEARFIELD近区场(kr<<1)01电场和磁场存在90°相位差，坡印廷矢量的时间平均值为零，不传输有功功率，表现为感应储能。感应储能02场分量含1/r²和1/r³项，随距离衰减极快，远区可忽略这些高阶项。1/r²·1/r³03近区场类似静态场：Er∝1/r³、Eθ∝1/r²、Hφ∝1/r²，与静电偶极子和恒定电流磁场形式类似。准静态场FARFIELD远区场(kr>>1)01仅保留1/r项，Eθ和Hφ同相位，比值Eθ/Hφ=η（媒质波阻抗），构成TEM非均匀球面波。TEM球面波02电场只有Eθ分量、磁场只有Hφ分量，两者相互垂直且均垂直于传播方向r̂，具有明确的极化特性。极化特性03远区场幅值正比于sinθ，在θ=90°方向辐射最强、θ=0°和180°方向辐射为零，形成"面包圈"形方向图。面包圈方向图ElectromagneticTheory对偶原理与广义麦克斯韦方程组对偶原理通过引入假想的磁荷和磁流，使麦克斯韦方程组在电源和磁源之间呈现完美对称性。利用对偶变换，可以直接从电源问题的已知解推导出磁源问题的解，大幅简化了磁基本振子等磁源辐射场的分析。广义麦克斯韦方程组引入假想磁荷密度ρm(Wb/m³)和磁流密度Jm(V/m²)后，方程组扩展为广义形式，电场和磁场方程呈现完美的对偶对称结构。这一扩展为处理磁源问题提供了理论基础。ρm&Jm对偶变换关系E→H、H→-E、ε→μ、μ→ε、J→Jm、ρ→ρm，将电源问题的解按此规则替换即可得到磁源问题的解。这种对称性大幅降低了求解复杂度。E↔H场的叠加原理电源产生的场(Ee,He)和磁源产生的场(Em,Hm)满足结构相同但角色互换的方程组，叠加原理仍然成立，总场为两者线性叠加。(Ee,He)+(Em,Hm)工程价值无需对磁源问题重新求解麦克斯韦方程组，直接利用已知的电源解通过对偶替换获得磁源解，大幅简化分析流程。特别适用于天线设计中的磁基本振子分析。SIMPLIFIEDANTENNATHEORY·MAGNETICDIPOLE磁基本振子的远区辐射场磁基本振子等效为载流小圆环或磁偶极子，其远区辐射场与电基本振子具有完全对偶的结构——E和H取向互换但场性质相同，辐射能力弱于同等尺寸的电基本振子。等效模型载流细导线小圆环等效为相距dl、两端磁荷为±qm的磁偶极子，磁偶极矩pm=qm·dl，对应磁流元Imdl=jkηISpm=qm·dl远区场特点辐射场也是TEM非均匀球面波，Eφ/(-Hθ)=η，电磁场与1/r成正比，与电振子远区场仅E、H取向互换TEM球面波辐射参数辐射功率P=ηπ(k²IS)²/(3λ²)，辐射电阻Rr=320π⁴(S/λ²)²，以空气波阻抗代入后数值远小于同等长度电基本振子320π⁴(S/λ²)²例题验证周长0.1λ₀的细导线圆环构造的磁基本振子，其辐射电阻远小于同等长度的电基本振子，辐射能力较弱0.1λ₀AntennaTheory正交振子的合成辐射场将电基本振子与磁基本振子正交放置并同频激励，其辐射场在空间叠加后一般形成椭圆极化波；当两者辐射场分量幅值相等时，合成场退化为圆极化波，这是工程上产生圆极化辐射的经典方法。01沿z轴放置电基本振子（I₁l₁），在xOy平面放置磁基本振子（I₂S₂），两者取向正交、频率相同、中心位于坐标原点正交放置02电振子产生Eθ分量，磁振子产生Eφ分量，合成电场同时包含两个正交分量，一般情况下幅值不等形成椭圆极化波椭圆极化03当调节I₁l₁和I₂S₂使两个正交电场分量幅值相等时，合成场变为圆极化波，极化旋向取决于两分量的相位关系圆极化条件04这种正交振子组合是工程中实现圆极化天线的基本原理，广泛应用于卫星通信和GPS接收天线设计工程应用CHAPTER03天线的电参数方向图、方向性系数、增益与辐射电阻——天线性能的量化评价体系ANTENNATHEORY辐射方向图与方向性函数辐射方向图以图形化方式描述天线在空间各方向的辐射强度分布，归一化方向性函数F(θ,φ)=|E(θ,φ)|/|Emax|将不同天线的方向特性统一到可比较的标准化框架中。01归一化方向性函数F(θ,φ)=|E(θ,φ)|/|Emax|，其中|Emax|是辐射场的最大值，F的最大值恒等于102电基本振子的方向图：E面为"8"字形，H面为圆形，赤道面辐射最强、轴线方向为零03方向图组成：主瓣、旁瓣和后瓣，主瓣宽度（半功率波束宽度HPBW）是衡量方向集中程度的关键指标04前后向抑制比：后瓣最大功率密度与主瓣最大功率密度之比的对数值，反映天线抑制后方干扰的能力微波天线暗室测试场景ANTENNATHEORY方向性系数与天线增益方向性系数D量化了天线在最大辐射方向上相对于各向同性天线的能量集中程度；增益G进一步纳入天线效率因素，是工程设计中选择天线时最实用的性能指标。方向性系数DD=Smax/S₀，在辐射总功率相同条件下，某天线最大辐射方向功率密度与理想无方向性天线功率密度之比。Smax/S₀理想基准理想无方向性天线在各方向均匀辐射，D=1，辐射功率密度S₀=Pr/(4πr²)，作为所有天线比较的基准。D=1轴对称简化当方向图轴对称即F与φ无关时，D可简化为仅含θ的积分式，只需E面方向图即可计算方向性系数。E面方向图天线增益GG=ηa·D，实际天线总有欧姆损耗和介质损耗，故增益总是小于方向性系数，工程上更常用增益指标。G=ηa·DANTENNATHEORY辐射功率与辐射电阻辐射功率是天线向空间辐射的总有功功率，辐射电阻将辐射效应等效为电路中的电阻损耗，使天线辐射问题可与馈线电路统一建模分析，是天线效率评估的核心参数。01辐射功率Pr通过对远区坡印廷矢量时间平均值在整个球面上积分计算：Pr=∮∮(1/2)Re(E×H*)·r̂r²sinθdθdφ02辐射电阻定义为Rr=2Pr/Im²（Im为天线输入电流幅值），将辐射功率等效为电阻上的焦耳热损耗，实现场-路统一分析03电基本振子的辐射电阻Rr=80π²(dl/λ)²，由于dl≪λ，故Rr很小（通常不到1Ω），说明短电流元的辐射效率很低04天线总效率ηa=Rr/(Rr+Rl)，Rl为损耗电阻；提高辐射电阻或降低损耗电阻都可以提升天线效率典型天线辐射电阻对比半波振子73.1Ω适中易于匹配，电/磁基本振子辐射电阻极低AntennaParameters输入阻抗、效率与带宽天线的输入阻抗决定馈线匹配质量，效率反映辐射功率占比，带宽描述工作频率范围——三者共同构成天线工程应用中最受关注的性能约束条件。01输入阻抗Zin=Rin+jXin，其中Rin=Rr+Rl（辐射电阻+损耗电阻）。匹配设计要求Zin等于馈线特性阻抗以减少反射。Zin=Z002天线效率ηa=Rr/（Rr+Rl）×100%。高频天线效率较高（>90%），低频小天线因Rr极小而效率可能低至百分之几。>90%03带宽定义天线各项电参数满足设计指标要求的频率范围，常用相对带宽B=（fmax−fmin）/f0×100%表示。B=Δf/f004宽带与窄带宽带天线（如螺旋天线、对数周期天线）相对带宽可达数个倍频程；窄带天线（如微带贴片天线）相对带宽仅百分之几。倍频程级CHAPTER04对称线天线与天线阵从半波振子的辐射特性到天线阵列的方向图乘积原理ANTENNATHEORY对称振子的辐射特性对称振子是最经典的线天线形式，半波振子因辐射电阻约73.1Ω与标准馈线阻抗接近而成为工程首选，其正弦电流分布决定了方向图函数和辐射特性。半波对称振子天线安装实景01电流分布近似正弦形式I(z)=Imsin[k(l−|z|)]，两端为零、中心最大，臂长l决定工作模式02半波振子l=λ/4方向性函数f(θ)=[cos(π/2·cosθ)]/sinθ，E面方向图略窄，方向性系数D≈1.6403辐射电阻Rr≈73.1Ω，与50Ω/75Ω标准馈线阻抗接近，匹配容易且工程应用最广04臂长增大主瓣变窄、方向性增强，但超过全波振子后出现旁瓣甚至主瓣分裂，实际臂长一般不超过λAntennaTheory天线阵与方向图乘积原理天线阵通过多个单元的空间排列和相位控制实现灵活的方向图设计，方向图乘积原理将总方向图分解为单元方向图与阵列因子的乘积，使复杂阵列设计变为两个独立子问题。01N元均匀直线阵：各阵元间距为d，电流振幅相同但相位依次超前β，第n个阵元电流In=I₁ej(n-1)β02方向图乘积原理：天线阵总方向图=单元方向图×阵列因子，单元方向图取决于单个阵元的辐射特性，阵列因子取决于阵元的空间排布和激励03阵列因子：fa(Ψ)=sin(NΨ/2)/[N·sin(Ψ/2)]，其中Ψ=kd·cosθ+β为相邻阵元在场点的相位差，决定了阵列方向图的形状04波束扫描：阵函数最大值条件Ψ=0即kd·cosθ+β=0，通过调节间距d和相位差β可以控制主瓣指向，实现波束扫描不同阵元数N的阵列因子方向图阵元数N增加后主瓣变窄、旁瓣增多，方向性显著增强阵列技术天线阵的分类与工程应用天线阵列按几何构型和波束控制方式可分为多种类型，其中相控阵通过电子扫描取代机械转动，已成为5G通信、雷达和卫星领域的核心技术方案。阵列类型01均匀直线阵：N个等间距等幅阵元排列成直线，结构简单、分析方便，是最基本的阵列形式02平面阵列：阵元排列在二维平面上，同时控制方位和俯仰两个维度的方向图，常用于雷达和卫星通信03共形阵列：阵元沿载体表面分布，不破坏气动外形，广泛应用于飞机和导弹等高速平台波束控制技术04相控阵：通过电子移相器实时调节各阵元相位实现波束快速扫描，扫描速度达微秒级，无需机械转动05自适应阵列：利用信号处理算法自动调整阵列加权系数，在干扰方向形成零陷，显著提升信噪比06MIMO天线：多输入多输出系统利用多天线空间分集和复用，大幅提升通信容量和链路可靠性5G基站相控阵天线实物CHAPTER05面天线与互易原理从口径辐射到收发互易——天线理论的最后两块拼图AntennaTheory面天线的辐射原理面天线通过口径上的电磁场分布产生辐射，利用等效原理将口径场等效为面电流和面磁流进行积分求解。抛物面天线以极高的口径效率实现超窄波束，是深空通信和射电天文的核心装备。射电望远镜抛物面天线实景01等效原理建模—基于电磁场等效原理，将开口面上的切向电场和磁场分别等效为面磁流Ms=Es×n̂和面电流Js=n̂×Hs02口径积分求解—对等效源在整个口径面上积分获得远区辐射场，幅值正比于口径面积与波长平方比A/λ²03抛物面反射—焦点馈源经抛物面反射形成等相位平面波，口径效率可达0.5–0.75，增益40–60dB04喇叭馈源—波导自然延伸，通过逐渐张开波导壁实现阻抗渐变匹配，常用作抛物面天线馈源ANTENNATHEORY惠更斯元与口径辐射积分惠更斯元是面天线的基本辐射单元，由正交的电振子和磁振子组成，代表口径面上一小块面积元的辐射贡献；对全口径面积分即可获得面天线的完整辐射场。01正交振子对·面积元dS惠更斯元由一对正交的电基本振子和磁基本振子组成，等效于口径面上一小块面积元dS的辐射贡献02(1+cosθ)/2·方向选择性远区辐射场E∝(1+cosθ)/2·e−jkr/r，该因子使前向辐射强于后向，体现方向选择性03sinc函数·均匀分布矩形口径均匀分布时，远区方向图为sinc函数：F(θ)=sin(πa·sinθ/λ)/(πa·sinθ/λ)，a为口径尺寸04−13.2dB·口径加权口径越大主瓣越窄、增益越高，均匀分布时第一旁瓣约−13.2dB，可通过口径加权降低旁瓣电平AntennaTheory互易原理及其工程意义互易原理表明同一副天线的发射特性与接收特性完全一致——方向图、阻抗、增益等参数不随收发角色改变，这极大简化了天线测试流程并保证了收发系统设计的统一性。01互易原理在线性、各向同性媒质中，源1在场点2产生的电场与源2在场点1产生的电场相等，即E₁₂·J₂=E₂₁·J₁。这一电磁学基本定理为天线互易性奠定了理论基础。02对天线的推论同一副天线用作发射和接收时，方向图函数F(θ,φ)完全相同，增益G和输入阻抗Zin也不因收发而改变。这意味着天线性能具有双向一致性。03工程意义只需测量天线的发射方向图即可推知接收方向图，天线测试中通常选择较方便的模式进行测量。这显著降低了测试复杂度与成本。04成立条件媒质必须是线性、各向同性的；含铁氧体等各向异性器件或有源电路的系统不满足互易性。工程应用中需特别注意这些限制条件。各类天线特性综合对比从基本振子到复杂阵列和面天线，不同天线的辐射电阻、方向性系数和应用频段各有优劣，工程选型需在增益、带宽、尺寸和成本之间综合权衡。典型天线电参数对比表天线类型辐射电阻方向性系数方向图特征典型应用电基本振子80π²(dl/λ)²Ω1.5sinθ，面包圈形理论分析基本单元磁基本振子320π⁴(S/λ²)²Ω1.5sinθ，面包圈形环形天线、近场探头半波振子73.1Ω1.64稍窄于sinθFM/TV接收、基站N元均匀直线阵取决于单元≈N×单元D窄主瓣+多旁瓣相控阵雷达、5G抛物面天线取决于馈源4πAη/λ²极窄铅笔波束卫星通信、射电天文天线性能随结构复杂度递增：基本振子适合理论分析，半波振子工程实用，阵列和面天线实现高增益CHAPTERREVIEW本章知识脉络回顾第7章从位函数的数学基础出发，经由基本振子模型建立辐射场分析方法，再到天线电参数的标准化定义，最终延伸至复杂天线系统和互易原理，形成完整的电磁辐射理论链条。理论基础§7.1洛仑兹条件→位函数波动方程→亥姆霍兹积分→辐射条件→滞后位，建立从源到场的完整数学框架辐射条件排除无限远虚假场源，确保解仅表示向外传播的电磁波，是辐射问题获得唯一物理解的关键位函数·辐射条件基本辐射单元§7.2–7.3电基本振子与磁基本振子