材料力学课件（路桥）第9章应力和应变分析 强度理论

应力和应变分析强度理论材料力学（路桥方向）第九章Contents本章内容框架工程力学·材料力学核心章节概览，涵盖应力应变分析与强度理论体系。01应力状态分析基础02平面与三向应力状态分析03应变分析与广义胡克定律04强度理论与工程应用Chapter01应力状态分析基础从点面概念到单元体提取，建立复杂应力状态的描述方法STRESSANALYSIS·应力分析基础应力的点面概念与应力状态定义应力不仅与点的位置有关，还与截面方位密切相关。一点的应力状态是指过该点所有可能截面上应力的集合，它是进行复杂受力构件强度计算的理论基础。桥梁钢结构复杂受力构件截面示意01应力的点面概念：同一点在不同方位截面上的应力值不同，正应力和剪应力随截面方向变化而连续变化，完整描述一点受力需考察所有可能截面。方位相关02应力状态的定义：过受力构件内一点所有方位截面上应力的集合称为该点的应力状态，通常用微小正六面体（单元体）来表征。单元体03研究意义：实际路桥构件常处于拉压、弯曲、扭转等多种变形叠加的复杂受力状态，仅分析单一截面应力无法全面评估安全性。多变形叠加04核心任务：在已知某些截面应力的条件下，确定该点其他任意截面上的应力，进而找出最大正应力和最大剪应力。最大应力MECHANICSOFMATERIALS单元体的概念与提取方法单元体是应力状态分析的几何模型，通过从构件中取出微小正六面体并标注各面应力，可将抽象的"一点应力状态"转化为可视化的力学模型，为后续解析法和图解法分析奠定基础。01DEFINITION单元体定义围绕受力构件内一点取出的微小正六面体，各面尺寸趋于无穷小，可代表该点的应力状态，各面上的应力视为均匀分布。02EXTRACTION单元体提取原则优先选取横截面和纵向截面等已知应力的特殊面作为单元体的面，利用基本变形公式先求出这些面上的正应力和剪应力。03THEOREM剪应力互等定理单元体互相垂直的两个面上，垂直于两交线的剪应力大小相等、方向共同指向或背离交线，这是力矩平衡的必然结果。04NOTATION单元体画法要点在已知应力分量中标明正负号，正应力以拉为正压为负，剪应力以使单元体顺时针转动为正，建立统一的符号体系。SOLIDMECHANICS主应力、主平面与应力状态分类主平面是剪应力为零的特殊截面，其上的正应力称为主应力。按主应力非零个数可将应力状态分为单向、二向和三向三类。主平面与主应力剪应力为零的截面称为主平面，其上的正应力为主应力。任意应力状态下必存在三个互相垂直的主平面，对应三个主应力σ₁≥σ₂≥σ₃。σ₁σ₂σ₃单向应力状态三个主应力中仅有一个不为零，如杆件简单拉伸或压缩时横截面上的应力状态，分析相对简单，可直接用基本公式校核。1个非零二向应力状态三个主应力中有两个不为零，如桥梁薄壁构件和受弯受扭组合作用下的轴类构件，是工程中最常见的复杂应力状态。2个非零三向应力状态三个主应力均不为零，如桥梁墩柱核心区混凝土在三向受压状态下的应力分析，需要空间应力理论和强度准则。3个非零STRESSANALYSIS路桥工程中的典型应力状态路桥构件普遍处于复杂应力状态，桥梁主梁承受弯剪组合、桥墩面临三向受压、拉索锚固区存在应力集中。准确识别各构件的应力状态类型，是选择合适分析方法和强度理论进行安全校核的前提。桥梁主梁应力受弯构件横截面上同时存在正应力和剪应力，翼缘以正应力为主，腹板以剪应力为主，腹板与翼缘交界处二者均较大，是典型的平面应力状态。平面应力桥墩与柱体应力桥墩承受上部结构竖向压力和水平荷载的组合作用，核心混凝土因侧向约束形成三向受压状态，显著提高承载能力但需空间应力分析。三向受压锚固区应力集中斜拉桥和悬索桥的索塔锚固区因几何突变和集中力作用产生显著的应力集中现象，局部应力远超平均值，需要精细的应力状态分析。应力集中CHAPTER02平面与三向应力状态分析解析法与图解法双工具，掌握复杂应力状态的定量求解MaterialMechanics·StressAnalysis平面应力状态解析法：斜截面应力公式通过沿任意斜截面截取楔形体并建立力平衡方程，可推导出平面应力状态下任意斜截面的正应力和剪应力公式。该公式揭示了应力分量随截面方位角变化的规律，是确定主应力和最大剪应力的数学基础。01斜截面应力公式推导沿与x轴成α角的斜截面截取楔形体，利用面积投影关系和力的平衡条件，建立两个方向的平衡方程求解σα和τα平衡方程02正应力公式σα=(σx+σy)/2+(σx−σy)/2·cos2α−τxy·sin2α，表明正应力随2α的三角函数连续变化cos2α·sin2α03剪应力公式τα=(σx−σy)/2·sin2α+τxy·cos2α，与正应力公式构成完整的斜截面应力描述体系完整体系04应力不变量σα+σα+90°=σx+σy=常数，互相垂直的两个截面上正应力之和与方位角无关，可用于校核计算结果σx+σy=constSTRESSANALYSIS主应力求解与主平面方位确定令斜截面剪应力为零可确定主平面方位，代入正应力公式可求得主应力极值。两个主应力分别对应最大和最小正应力，主平面方位由tan2α₀=-2τxy/(σx-σy)确定，是应力状态分析的核心计算步骤。01主平面方位角令τα=0得tan2α₀=-2τxy/(σx-σy)，解出两个相差90°的方位角，分别对应两个主平面的方向tan2α₀=-2τxy/(σx−σy)02主应力计算公式σmax/min=(σx+σy)/2±√[(σx-σy)/2]²+τxy²，根号项反映了剪应力对主应力差值的放大效应σ=均值±偏差半径03面内最大剪应力τmax=√[(σx-σy)/2]²+τxy²，最大剪应力作用面与主平面成45°角，是判断材料剪切破坏的关键参数与主平面成45°04主应力方位判别将方位角代入正应力公式或用"σx较大方向偏向σmax"的直观法则，确定α₀对应σmax还是σminσx偏向→σmaxSTRESSANALYSIS平面应力状态图解法：应力圆（莫尔圆）应力圆（莫尔圆）将平面应力状态的所有信息映射为一个几何图形，圆上每一点的坐标对应一个截面的正应力和剪应力。通过应力圆可直观读取主应力、最大剪应力和任意截面应力，是解析法的重要补充和校核工具。01应力圆的建立在σ-τ坐标系中，以(σx+σy)/2为圆心横坐标、√[(σx-σy)/2]²+τxy²为半径画圆，x面和y面对应圆上两个关于圆心对称的点。σ-τ坐标系02单元体对应关系圆上圆心角等于截面夹角的2倍且转向相同，利用此关系可由已知面应力旋转求得任意斜截面应力。2倍转向03主应力的图解读取应力圆与σ轴的两个交点即为主应力σmax和σmin，交点处剪应力为零，对应主平面方位可由圆心角的一半确定。σmax/σmin04最大剪应力读取应力圆的最高点和最低点的纵坐标即为面内最大剪应力和最小剪应力，对应截面与主平面成45°角。45°角STRESSANALYSIS计算实例：平面应力状态的完整分析以σx=60MPa、σy=-30MPa、τxy=40MPa为已知条件，演示从主应力求解、主平面方位确定到最大剪应力计算的完整分析流程，展示解析法和图解法的协同应用。STEP01已知条件与单元体绘制σx=60MPa（拉）、σy=-30MPa（压）、τxy=40MPa，按符号规则在单元体各面标注应力分量并验证剪应力互等。60·-30·40MPaSTEP02主应力计算平均应力=(60-30)/2=15MPa，根号项=√[(45)²+(40)²]=60.2MPa，得σmax=75.2MPa、σmin=-45.2MPa。σmax=75.2MPaSTEP03主平面方位确定tan2α₀=-80/90=-0.889，解得α₀≈-20.8°，代入正应力公式验证该方位对应σmax，另一主平面方位为69.2°。α₀≈-20.8°STEP04面内最大剪应力τmax=60.2MPa，作用于与主平面成45°角的截面上，此时该截面上的正应力等于平均应力15MPa。τmax=60.2MPaSTRESSANALYSIS三向应力状态分析三向应力状态是应力分析的最一般形式，其应力圆由三个同心圆组成。所有可能截面上的应力分量都落在三向应力圆所围成的阴影区域内，绝对最大剪应力τmax=(σ1-σ3)/2是强度校核中最关键的参数。01三向应力圆构造已知三个主应力σ1、σ2、σ3后，分别以(σ1+σ2)/2、(σ2+σ3)/2、(σ1+σ3)/2为圆心画三个圆，最大圆包含所有截面应力σ1·σ2·σ302应力分布区域与三个主应力之一平行的截面应力落在对应圆的圆周上，任意斜截面的应力落在三个圆所围成的阴影区域内阴影区域03绝对最大剪应力τmax=(σ1-σ3)/2，由最大应力圆的最高点确定，是材料发生剪切屈服的决定性参数τmax=(σ1−σ3)/204特殊情况简化当一个或两个主应力为零时退化为二向或单向应力状态，三向应力圆退化为包含零点的两圆或单圆结构退化分析CHAPTER03应变分析与广义胡克定律建立复杂应力状态下应力-应变的定量关系STRAINANALYSIS应变分析基本概念应变分析是应力分析的对应面，线应变描述长度变化、角应变描述角度畸变。一点处的应变状态同样可用单元体表征，主应变方向与主应力方向一致，平面应变分析在数学上与平面应力分析完全对偶。01线应变与角应变线应变ε=ΔL/L表示长度的相对改变量，角应变γ表示直角的改变量（弧度），两者都是无量纲量02应变状态的描述与应力状态类似，一点处的应变状态可用应变单元体表征，包含三个线应变分量εx、εy、εz和三个角应变分量γxy、γyz、γzx03主应变与主方向存在三个互相垂直的主应变方向，在这些方向上角应变为零，主应变ε1、ε2、ε3分别对应最大、中间和最小线应变04应变分析的工程应用在桥梁结构健康监测中，通过粘贴应变片测量表面应变，再利用应力-应变关系反推应力状态，评估结构安全性桥梁结构健康监测中应变片的现场粘贴与检测MATERIALMECHANICS·材料力学广义胡克定律广义胡克定律将简单拉伸的σ=Eε推广到复杂应力状态，揭示了各方向应力通过泊松效应对任意方向应变的耦合作用。它是连接应力分析与应变测量的理论桥梁。01三向应力状态：εx=[σx−ν(σy+σz)]/E、εy=[σy−ν(σx+σz)]/E、εz=[σz−ν(σx+σy)]/E，三个方向的应变互相耦合三向耦合02平面应力简化：当σz=0时，εx=(σx−νσy)/E、εy=(σy−νσx)/E、εz=−ν(σx+σy)/E，注意εz虽对应σz=0但不为零σz=003由应变反求应力：σx=E(εx+νεy)/(1−ν²)、σy=E(εy+νεx)/(1−ν²)，这是应变花测量数据转化为应力的核心公式应变花04体积应变：θ=εx+εy+εz=(1−2ν)(σx+σy+σz)/E，体积应变仅与三个正应力之和有关，与剪应力无关1−2νStrainEnergyDensity复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度可分解为体积改变比能和形状改变比能两部分。体积改变比能反映材料的膨胀或收缩，形状改变比能反映材料的畸变变形，后者是第四强度理论（形状改变比能准则）的物理基础。01应变能密度基本公式u=[σ₁²+σ₂²+σ₃²−2ν(σ₁σ₂+σ₂σ₃+σ₁σ₃)]/(2E)综合反映各主应力及其耦合效应02体积改变比能uvuv=(1−2ν)(σ₁+σ₂+σ₃)²/(6E)仅与主应力之和有关，对应三向等拉或等压下的体积变化03形状改变比能ufuf=(1+ν)[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₁−σ₃)²]/(6E)反映形状畸变储存的能量，第四强度理论核心物理量04能量分解的意义u=uv+uf屈服破坏主要由形状改变比能驱动，体积改变不导致失效CHAPTER04强度理论与工程应用四大经典强度理论的推导、适用条件与路桥工程设计实践FAILUREMODES材料失效的两种基本形式材料失效分为脆性断裂和塑性屈服两种基本形式，前者表现为无明显预兆的突然断裂、后者表现为显著的永久变形。不同材料在不同应力状态下可能呈现不同的失效形式，强度理论的核心思路是找到导致失效的决定性因素。脆性断裂材料在未产生明显塑性变形的情况下突然断裂，断口通常垂直于最大拉应力方向，常见于铸铁、混凝土、玻璃等脆性材料。脆性材料塑性屈服材料产生显著的塑性变形而丧失正常工作能力，表面出现与轴线成45°的滑移线，常见于低碳钢、铝合金等塑性材料。45°滑移线影响因素同一种材料在不同应力状态下可能呈现不同的失效形式，如大理石在单向压缩下脆断但在三向受压下表现出塑性特征。应力状态强度理论假设某种力学量是引起失效的决定因素，当该量达到简单试验的极限值时材料即失效，如最大拉应力、最大剪应力等。极限值StrengthTheory·Classical第一与第二强度理论第一强度理论以最大拉应力为断裂判据，形式简洁且对脆性材料在拉伸状态下的断裂预测准确；第二强度理论以最大伸长线应变为判据，考虑了其他主应力的泊松效应影响，但适用范围较窄，工程中应用较少。第一强度理论（最大拉应力理论）σ₁≤[σ],[σ]=σ_b/n断裂准则—只要最大主应力σ₁不超过许用应力[σ]，材料即安全，其中[σ]=σ_b/n。适用条件—适用于脆性材料（铸铁、混凝土、石材）在单向或双向拉伸应力状态下的断裂预测。脆性材料·拉伸断裂第二强度理论（最大伸长线应变理论）σ₁−ν(σ₂+σ₃)≤[σ]断裂准则—考虑了σ₂和σ₃通过泊松效应对最大线应变的贡献，判据为最大伸长线应变不超过许用值。适用条件—适用于铸铁等材料在拉-压组合应力状态下的强度校核，但预测精度有限，工程中已较少采用。泊松效应·拉压组合StrengthTheory·Comparison第三与第四强度理论第三强度理论以最大剪应力为屈服判据、计算简便，是工程设计中最保守的塑性校核准则；第四强度理论以形状改变比能为判据、与实验吻合更好，是有限元分析和精确设计中的首选。第三强度理论最大剪应力理论/Trescaσr3=σ₁−σ₃≤[σ]01相当应力等于最大与最小主应力之差，物理意义为最大剪应力的2倍02形式简洁、偏于安全（计算结果偏保守），广泛用于桥梁钢结构和机械零件的强度设计03忽略中间主应力影响，在纯剪切状态下与实验结果存在一定偏差，但工程应用安全可靠CONSERVATIVE·ENGINEERINGPRACTICE第四强度理论形状改变比能理论/vonMisesσr4=√[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₁−σ₃)²]/√2≤[σ]01综合考虑了三个主应力差的联合作用，物理意义为形状改变比能达到临界值时材料屈服02与实验数据吻合优于第三强度理论，预测精度更高，是现代有限元软件默认的等效应力计算方式03适用于各类复杂应力状态，在塑性成形分析和结构优化设计中具有不可替代的理论优势PRECISE·FEADEFAULTSTANDARDMATERIALMECHANICS四大强度理论对比总结四大经典强度理论按适用材料分为两组：第一、二理论针对脆性断裂，第三、四理论针对塑性屈服。工程中根据材料类型和应力状态选择合适的理论，其中第三和第四理论在路桥钢结构设计中最为常用。四大强度理论对比强度理论相当应力适用材料失效形式工程应用第一理论σr1=σ1脆性材料断裂铸铁、混凝土拉伸或拉-拉状态第二理论σr2=σ1−ν(σ2+σ3)脆性材料断裂铸铁拉-压状态，现已较少使用第三理论σr3=σ1−σ3塑性材料屈服钢结构设计，偏安全第四理论σr4=√[((σ1−σ2)²+(σ2−σ3)²+(σ1−σ3)²)/2]塑性材料屈服有限元分析，精度高第三和第四强度理论是路桥钢结构设计中最常用的塑性校核准则，第一理论用于混凝土和铸铁等脆性材料StrengthTheory莫尔强度理论莫尔强度理论不预设特定的失效因素，而是基于材料在不同应力状态下的试验破坏包络线建立判据。它特别适合抗拉强度与抗压强度不等的材料，在路桥混凝土构件设计中具有重要的应用价值。理论基础以多种应力状态下的破坏试验数据绘制极限应力圆的包络线，当工作应力圆与包络线相切时材料即失效。Envelope相当应力公式σrM=σ₁−[σt]/[σc]·σ₃≤[σt]，比值反映材料拉压强度不对称性。Formula适用范围适合混凝土、铸铁、岩石等抗拉强度远小于抗压强度的脆性材料，准确预测拉-压组合状态下的失效。Brittle路桥工程应用混凝土桥墩三向不等压状态、桩基侧向土压力作用下的强度校核，常采用莫尔理论或其简化形式。BridgeStrengthTheorySelection强度理论的选择原则强度理论的选择取决于材料性质和应力状态的共同作用：脆性材料以断裂失效为主、选用第一或莫尔理论；塑性材料以屈服失效为主、选用第三或第四理论。但特殊应力状态可能改变失效形式，需综合判断。01按材料性质选择：脆性材料（铸铁、混凝土、石材）通常选用第一强度理论或莫尔理论，塑性材料（低碳钢、铝合金）通常选用第三或第四强度理论材料性质MATERIAL02按应力状态修正：塑性材料在三向等拉状态下可能发生脆断，应按第一理论校核；脆性材料在三向受压状态下可能表现出塑性，应按第三或第四理论校核应力修正STRESSSTATE03第三与第四理论的比较：第三理论计算简便且偏于安全，适合初步设计和手算；第四理论精度更高，适合精确设计和计算机分析精度对比ACCURACY04路桥工程选材指南：钢箱梁和钢桁架选用第三或第四理论，混凝土桥墩和基础选用第一或莫尔理论，预应力构件需同时校核拉应力和压应力工程应用ENGINEERINGENGINEERING·STRENGTHTHEORY强度理论在路桥设计中的应用路桥设计中强度理论的应用贯穿各类构件的安全校核：钢箱梁弯剪组合区用第三或第四理论、混凝土桥墩三向受压区用莫尔理论、预应力锚固区用有限元结合多理论综合评估。钢箱梁弯剪组合校核腹板与翼缘交界处同时承受较大正应力和剪应力，需按第三或第四强度理论计算相当应力并校核，确保σr≤[σ]σr≤[σ]预应力锚固区局部承压锚固端混凝土承受集中预应力作用，局部处于三向复杂应力状态，需通过有限元分析确定应力分布后校核有限元分析CASESTUDY·STRESSANALYSIS案例分析：大桥应力与应变监测大型桥梁通过布设应变花、压力传感器和加速度计，利用广义胡克定律反算应力状态并与设计值对比，为结构安全评估提供数据支撑。桥梁健康监测传感器布设现场01监测方案设计：在桥梁关键截面（跨中、支座、变截面处）布设三向应变花，配合压力传感器和加速度计，形成完整的应力应变监测网络02应变到应力的转化：测量ε₀°、ε₄₅°、ε₉₀°三个方向线应变后，利用广义胡克定律公式反算主应力σ₁、σ₂的大小和方位角03有限元对比验证：将实测应力与有限元分析结果进行对比，校核设计模型的准确性，发现并修正模型中可能存在的偏差04长期安全评估：持续监测数据用于评估结构疲劳性能、识别损伤趋势、预测剩余寿命，为桥梁养护管理提供科学依据DESIGNCRITERIA材料失效类型与工程设计准则工程设计中将强度理论转化为具体的设计准则：弹性失效准则限制应力不超过弹性极限、塑性失效准则允许局部屈服但控制变形量、脆性失效准则防止无预兆的突然断裂。三类准则对应不同的材料类型和安全等级要求。弹性失效准则要求最大应力不超过弹性极限σe，适用于高强度钢材和精密构件，确保结构在使用荷载下始终处于弹性工作状态。σe塑性失效准则允许应力超过屈服极限σs但不产生过大塑性变形，适用于一般钢结构设计，通过塑性铰机制实现内力重分布。σs脆性失效准则要求在最大工作应力下不发生突然断裂，适用于混凝土和石材等脆性材料，需设置较高的安全系数以防止灾难性破坏。高安全系数工程例题钢筋混凝土梁腹应力分析以钢筋混凝土梁腹某点的弯曲正应力和剪应力为已知条件，运用解析法完整求解主应力和最大剪应力，展示了即使在基本变形中，构件内部点的应力状态也往往是复杂的多向应力状态。01已知条件：梁腹某点σx=80MPa（弯曲正应力）、σy=0（无横向荷载）、τxy=50MPa（弯曲剪应力），属典型平面应力状态80·0·50MPa02主应力求解：平均应力=(80+0)/2=40MPa，根号项=√(40²+50²)=64MPa，得σ1=104MPa、σ3=-24MPa（σ2=0为面外主应力）σ1=104MPa03主平面方位：tan2α0=-2×50/(80-0)=-1.25，解得α0≈-25.7°，最大主应力方向偏向梁轴线下方α₀≈-25.7°04强度校核选择：该点材料为混凝土（脆性），σ1=104MPa为拉应力且较大，应按第一强度理论校核是否超过混凝土抗拉强度第一强度理论STRUCTURALMECHANICS弯扭组合变形的强度校核弯扭组合是路桥曲梁和匝道弯桥的典型受力形式，危险点处于正应力和剪应力共同作用的平面应力状态。通过第三或第四强度理论的简化公式可直接进行强度校核。01弯扭组合应力特征危险点处弯曲正应力σ=M/W与扭转剪应力τ=T/Wp同时作用，形成平面应力状态，是强度校核的关键位置。需同时考虑正应力与剪应力的耦合效应。02第三强度理论σr3=√(σ²+4τ²)≤[σ]，将主应力公式代入σ₁−σ₃后化简得到。该理论基于最大剪应力假设，形式简洁且结果偏于安全，适用于脆性材料。03第四强度理论σr4=√(σ²+3τ²)≤[σ]，系数3小于第三理论的4，计算结果更接近实验值。基于形状改变比能理论，适用于塑性材料，工程应用更广泛。04路桥工程应用匝道弯桥主梁、曲线连续梁桥和斜交桥边梁均存在弯扭耦合效应，设计时需按组合强度理论进行校核，确保结构在复杂受力状态下的安全性与可靠性。STRUCTURALMECHANICS应力集中及其在路桥工程中的影响应力集中是构件几何突变处局部应力远超名义应力的现象，是疲劳裂纹萌生的主要原因。在路桥工程中，焊缝、螺栓孔和截面突变处是应力集中的高发区域，设计时需通过合理构造和强度校核来防范其对结构安全的威胁。01应力集中系数Kt：Kt