黑龙江哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025−2026学年高二下学期期末考试数学试题

黑龙江哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025−2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．，是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．4．已知，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．95．已知，则函数的解析式为（）A． B．C．（） D．（）6．求的展开式中第6项系数为（

）A．1120 B． C． D．4487．某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（

）A．15种 B．18种 C．21种 D．25种8．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108B．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为C．若随机变量，则D．若随机变量，则10．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．，，使得11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数有2个极值点B．函数无最小值C．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是D．函数有5个零点三、填空题12．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________.13．某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是A，B两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为__________.14．已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______.四、解答题15．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望.16．春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解高中学生的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某中学的高中学生进行了随机抽样，得到列联表．性别患病情况合计感冒不感冒男61420女42630合计104050（1）从样本男生中抽2人，求恰有1人感冒的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中学生的体质健康与性别有关．参考数据及公式：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）;（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据:，附：）18．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下：游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币．第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊正方体骰子（六个面中有两个面标记为，两个面标记为，另外两个面标记为的正方体骰子）．第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3，1，3，5（不计顺序）则获胜，得900元奖金．（1）求游戏Ⅰ第3局获胜的概率；（2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望；（3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由．19．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，对恒有，求实数的取值范围．（3）若，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案1．【答案】C【详解】已知A={x|-1<x<12．【答案】B【详解】对于条件α：由|x-1|<1解得-1<x-1<1，即0<x<2.

对于条件β：由x2-x<0解得x(x3．【答案】C【详解】已知a<b<0.

排除法（特值法）：

不妨设a=-2,b=-1.

A项：1a=-12,1b=-1，显然-12>-1，即1a>推导法：

C项：因为a<b<0，所以a-b<0.

又因为a<0，所以a(a4．【答案】D【详解】因为x>0,y>0且x+1x由基本不等式可得：5+当且仅当yx=4xy，即y=2x时取等号.

结合x+y=15．【答案】D【详解】令t=x+1，因为x≥0，所以t≥1.

x=tf(将t换回x，并注意定义域x≥1，f(故选D.6．【答案】C【详解】由题意，二项式为2x根据二项式定理，其展开式的通项公式为：T要求第6项，即令r+1=6，得r=5.将r=5代入系数部分，第6项的系数为：C8故选C.7．【答案】B【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法.方法二：至少有1名医生的选法.8．【答案】C【详解】函数，求导得，则，而，曲线在处的切线方程为，即，设曲线在处的切线与曲线相切的切点为，而，则且，于是，解得，，即．因此，令函数，求导得，由，得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，所以的最大值为.9．【答案】ACD【详解】对于选项A：令，则，的系数为，A正确；对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件，，B错误；对于选项C：由题意知，，，C正确；对于选项D：，D正确.故选ACD10．【答案】ACD【详解】解：由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A对，若，则，得，故B错，若，则或，因为，所以或，故C正确，因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确，故选ACD．11．【答案】AD【详解】，当时，；当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数，当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.由，即，得或，所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图由图知，A正确，B错误；若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误；由得或.因为，，所以与，的图象共有5个交点，所以函数有5个零点，故D正确.12．【答案】【详解】因为f(x)=(k2-k2解得k=3或当k=3时，f(x)=x3-1当k=-2时，f(x)=x-2-1=x13．【答案】【详解】设事件A表示“产品来自A车间”，事件B表示“产品来自B车间”，事件C表示“产品不合格”.

由题意可知：

P(A)=0.6,P(P(P(14．【答案】【详解】对于，其对称轴为直线，因，则当时，即时，；当时，即时，.对于在上单调递增，故.因对任意的，总存在，使成立，即.则当时，由解得，故得；当时，由解得，故得.综上可得实数a的取值范围为.15．【答案】（1）（2）分布列为X

0

1

2

P

数学期望为【详解】（1）法1：设所取的2道题都是甲类题为事件A，则，所取的2道题都是甲类题的概率为；法2：列举法也可以将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个所以=（2）X取值为0，1，2，，，，则分布列为X

0

1

2

P

（或代超几何期望公式）法2：由（1）得基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个

则分布列为X

0

1

2

P

.16．【答案】（1）（2）依据小概率值的独立性检验，不能认为高中学生的体质健康与性别有关。【详解】（1）由题可知，样本中男生共20人，其中感冒6人，不感冒14人.从20名男生中随机抽取2人，总基本事件数为；抽取的人中恰有1人感冒包含的基本事件数为.根据古典概型概率式可得.（2）提出零假设：高中学生的体质健康与性别无关.代入卡方统计量公式得小概率值对应的临界值为.由于，没有充分证据拒绝零假设.因此依据小概率值的独立性检验，不能认为高中学生体质健康与性别有关.17．【答案】（1）0.996（2），140.5分【详解】（1），，，所以数学成绩y与学习时间x的相关系数;（2）由（1）知r＝0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合；由，故得，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.18．【答案】（1）（2）0123（3）应该参加游戏Ⅰ，理由如下：记，分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为，所以，游戏Ⅱ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为，所以，因为，所以从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅰ．【详解】（1）由题意知，抛掷四枚质地均匀的相同硬币，向上的图案的情况共有种，图案相同共2种情况，故游戏Ⅰ第3局获胜的概率．（2）由题意知，1，2，3，游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第1局和第2局均未获胜的概率为，因此可知，所以，，，，随机变量的分布列为0123所以的期望或．（3）略19．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）（3）【详解】（1）函数定义域为，求导得，当时，恒成立，故在上单调递增；当时，令得，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）已知，由（1）