高等数学（上）课件 第5章不定积分

二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念5.1原函数与不定积分一、原函数与不定积分引例【高铁制动问题】飞驰而来的高铁进站前必须提前制动减速。若列车制动后的速度为了确保安全，那么列车应在离站台停靠点多远的地方开始制动呢?设列车制动后运行的路程为解：由题意，制动后的瞬时速度为这就是一个已知一个函数的导数，怎样求这个函数的问题。一、原函数与不定积分于是列车的制动距离为即在制动后8min列车停下来.一、原函数与不定积分定义1

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足则称F(x)为

f(x)在区间

I

上的一个原函数

.例如，一、原函数与不定积分也是f(x)的原函数.证:故即G(x)与F(x)只相差一个常数。由于定理2.则它们只相差一个常数。定理3.定理2、3说明：只要找到f(x)的一个原函数

F(x)，F(x)+C就表示f(x)的任意一个原函数．一、原函数与不定积分定义2.

其中—

积分号;—

被积函数;—

被积表达式.—

积分变量;若则(C为任意常数)例如,记作一、原函数与不定积分O

不定积分的几何意义

一、原函数与不定积分8例1.

设曲线通过点(0,1),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:

所求曲线过点(0,1),故有因此所求曲线为(0,1)Oxy二、基本积分表9(k

为常数)二、基本积分表10或或二、基本积分表11三、不定积分的性质12或或(α，β

为任意常数)三、不定积分的性质13例2.

求解:

原式=例3.

求解:

原式=三、不定积分的性质14例4.

求解:

原式

三、不定积分的性质15例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=三、不定积分的性质16例7.

求解:

原式=三、不定积分的性质17例8

设工厂每日生产的产品的总成本y的变化率（即边际成本）是日产量x的函数已知固定成本为1000元，求.总成本y与日产量x的函数关系．解由因为固定成本为1000元，所以当x=0时，y=1000,

代入上式得C=1000．小结181.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表

(见P119)2.直接积分法:利用恒等变形,

及

基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质二、第二类换元法一、第一类换元法5.2换元积分法一、第一换元积分法20第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法,凑微分法)证一、第一换元积分法21例1.

求解:

令则注意换回原变量一、第一换元积分法22解:令则想到公式例2一、第一换元积分法23例3.

求想到解:(直接配元)一、第一换元积分法24例4

一、第一换元积分法25例5.

求解:类似一、第一换元积分法26例6.

求解:∴原式

=一、第一换元积分法27常用的几种配元形式:

万能凑幂法一、第一换元积分法28例7.

求解:

一、第一换元积分法29例8.

求解:一、第一换元积分法30例9.

求解法1解法2

两法结果一样一、第一换元积分法31例10.

求一、第一换元积分法32同样可证一、第一换元积分法33解:

原式=例11.

求一、第一换元积分法34例12.

求解:小结35常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如二、第二换元积分法36第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，二、第二换元积分法37定理2.

设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式二、第二换元积分法38例1.

求解:

令则∴原式二、第二换元积分法39例2.

求解:

令则∴原式二、第二换元积分法40例3.

求解:

令则∴原式二、第二换元积分法41例4.

求解:令则∴原式二、第二换元积分法42例5.

求解:二、第二换元积分法43例6.

解:令则二、第二换元积分法44解:

原式例7.

求二、第二换元积分法45例8.

求解:

原式二、第二换元积分法46例9.

求解:

原式=小结471.第二类换元法常见类型:

令令令令令6)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

小结482.常用基本积分公式的补充小结49由导数公式两边积分得:分部积分公式或容易计算.5.3分部积分法一、分部积分法51解:思考:

如何求提示:

原式uv例1.

求一、分部积分法52例2.求解:

一、分部积分法53解:

例3求

一、分部积分法54例4.求解:

一、分部积分法55解:

令则∴I故

I=说明:也可把三角函数放到微分符号里面

,例5.求但两次所放类型必须一致.一、分部积分法56解题技巧把被积函数视为两个函数之积,按

“反对幂三指”的顺序,后者优先。反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数选取放到微分符号里面函数的次序：一、分部积分法57例6.

求解:

原式=uv一、分部积分法58例7.求解:

令则原式一、分部积分法59解:

原式