2026年湘教版高二数学第三章函数性质题库试卷

2026年湘教版高二数学第三章函数性质题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)={3-x,x∈[-3,-2]{3,x∈[-2,1]{x+1,x∈[1,3]}在区间[-3,3]上，最小值为f(-2)=3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f(x)在x=1处极值，需f''(1)=6+2a>0，解得a=-3，b=3，c=1，则a+b+c=-3+3+1=1，故选C。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(-∞,1)B．[1,+∞)C．(0,1)D．[0,1]解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f(x)单调递减需f'(x)≤0，即2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0；当x=1时，2/(1+1)=1，需a≥1，故选B。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由零点定理，函数在[-2,0]、[0,2]、[2,4]上各有一个零点，共3个，故选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)=e^x-a，由f(x)在x=0处极小值需f'(0)=1-a=0，解得a=1，验证f''(0)=1>0，故选A。7.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1和x=-1处切线斜率相等，则p+q的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f'(1)=3+2p+q=f'(-1)=3-2p+q，解得p=0，则f'(x)=3x^2+q，f'(1)=3+q=f'(-1)=3+q，故p+q=0，故选B。8.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：f'(x)=(x^2-1-2x^2)/(x^2-1)^2=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，故f(x)单调递减，故选B。9.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图象关于点(1,0)对称，则f(2)的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：由图象关于(1,0)对称，需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(2)=8-12+c=0，解得c=4，故f(2)=4，故选D。10.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，由绝对值函数性质，极值点包括g(x)的驻点及变号点，共4个，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-3,3]上的最大值为________。参考答案：28解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-3)=-17，f(-1)=3，f(1)=-1，f(3)=28，故最大值为28。2.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则p+q的值为________。参考答案：-5解析：f'(1)=3+2p+q=0，f(0)=q=1，解得p=-4，q=1，故p+q=-3。3.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则a的取值范围是________。参考答案：a>1解析：f'(x)=e^x-a，由极小值需f'(0)=1-a=0且f''(0)=1>0，故a>1。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的零点个数为________。参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由零点定理，函数在[-2,0]、[0,2]、[2,4]上各有一个零点，共3个。5.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________。参考答案：a≥1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0需2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0；当x=1时，2/(1+1)=1，需a≥1。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的最大值为________。参考答案：6解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，故最大值为6。7.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为________。参考答案：4解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，极值点包括g(x)的驻点及变号点，共4个。8.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上的单调性为________。参考答案：单调递减解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，故f(x)单调递减。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的最小值为________。参考答案：-16解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，故最小值为-16。10.函数f(x)=x^3+px^2+q的图象关于点(1,0)对称，则f(2)的值为________。参考答案：4解析：由对称性需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(2)=8-12+c=0，解得c=4，故f(2)=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。（）参考答案：×解析：极值点处导数为0是必要不充分条件，需f'(x)在c两侧变号。2.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上单调递减。（）参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-3，驻点x=±1，在(-1,1)上f'(x)<0，但需考虑端点，f(-1)=3，f(1)=-1，故在(-1,1)上单调递减。3.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则a>0。（）参考答案：×解析：由f'(0)=1-a=0得a=1，需f''(0)=1>0，故a>1。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的零点个数为3。（）参考答案：√解析：驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由零点定理，函数在[-2,0]、[0,2]、[2,4]上各有一个零点，共3个。5.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为4。（）参考答案：√解析：令g(x)=x^3-2x，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，极值点包括g(x)的驻点及变号点，共4个。6.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上单调递增。（）参考答案：×解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，故f(x)单调递减。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的最大值为6。（）参考答案：√解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，故最大值为6。8.函数f(x)=x^3+px^2+q的图象关于点(1,0)对称，则f(2)=4。（）参考答案：√解析：由对称性需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(2)=8-12+c=0，解得c=4，故f(2)=4。9.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则a≥1。（）参考答案：√解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0需2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0；当x=1时，2/(1+1)=1，需a≥1。10.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-3,3]上的最大值为28。（）参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-3，驻点x=±1，f(-3)=-17，f(-1)=3，f(1)=-1，f(3)=28，故最大值为28。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的单调区间有哪些？参考答案：减区间：[-2,0]∪[2,4]增区间：[0,2]解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由导数符号确定单调性。2.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点有哪些？参考答案：x=-2,-√(2/3),0,√(2/3),2解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，极值点包括g(x)的驻点及变号点。3.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值28，最小值-17解析：f'(x)=3x^2-3，驻点x=±1，f(-3)=-17，f(-1)=3，f(1)=-1，f(3)=28，故最大值为28，最小值为-17。4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，求a的值。参考答案：a=1解析：f'(x)=e^x-a，由极小值需f'(0)=1-a=0且f''(0)=1>0，解得a=1。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的零点分布情况如何？参考答案：零点分别位于[-2,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,4]解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由零点定理，函数在[-2,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,4]上各有一个零点。6.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围。参考答案：a≥1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0需2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0；当x=1时，2/(1+1)=1，需a≥1。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图象关于点(1,0)对称，求f(2)的值。参考答案：f(2)=4解析：由对称性需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(2)=8-12+c=0，解得c=4，故f(2)=4。8.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上的单调性如何？参考答案：单调递减解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，故f(x)单调递减。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求f(x)的表达式。参考答案：f(x)=x^3-3x^2+1解析：f'(1)=3+2p+q=0，f(0)=q=1，解得p=-4，q=1，故f(x)=x^3-3x^2+1。2.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的最小值是多少？参考答案：0解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，最小值为0（在x=0处取得）。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值6，最小值-16解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，故最大值为6，最小值为-16。4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，求a的值及f(x)的单调区间。参考答案：a=1，减区间：(-∞,0]，增区间：[0,+∞)解析：f'(x)=e^x-a，由极小值需f'(0)=1-a=0且f''(0)=1>0，解得a=1，f'(x)=e^x-1，当x<0时f'(x)<0，当x>0时f'(x)>0。5.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围及f(x)在[1,2]上的最大值。参考答案：a≥1，最大值ln5-a解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0需a≥2x/(x^2+1)，当x=2时，2x/(x^2+1)=4/5，故a≥1，f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为f(1)=ln2-a。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图象关于点(1,0)对称，求f(x)的表达式及f(3)的值。参考答案：f(x)=x^3-3x^2+4，f(3)=10解析：由对称性需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(1)=1-3+c=0，解得c=2，故f(x)=x^3-3x^2+4，f(3)=27-27+4=10。7.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上的最小值是多少？参考答案：1/3解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，函数单调递减，f(1)=1，当x→+∞时，f(x)→0，故最小值为1/3（在x=√2处取得）。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点有哪些？求各极值点的函数值。参考答案：极值点x=-2,-√(2/3),0,√(2/3),2，f(-2)=-4,f(-√(2/3))=4√(2/3),f(0)=0,f(√(2/3))=-4√(2/3),f(2)=4解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，极值点包括g(x)的驻点及变号点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.B5.C6.A7.B8.B9.D10.C二、填空题1.282.-53.a>14.35.a≥16.67.48.单调递减9.-1610.4三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.减区间：[-2,0]∪[2,4]，增区间：[0,2]解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由导数符号确定单调性。2.x=-2,-√(2/3),0,√(2/3),2解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，驻点x=±√(2/3)，g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，极值点包括g(x)的驻点及变号点。3.最大值28，最小值-17解析：f'(x)=3x^2-3，驻点x=±1，f(-3)=-17，f(-1)=3，f(1)=-1，f(3)=28，故最大值为28，最小值为-17。4.a=1解析：f'(x)=e^x-a，由极小值需f'(0)=1-a=0且f''(0)=1>0，解得a=1。5.零点分别位于[-2,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,4]解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(4)=6，由零点定理，函数在[-2,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,4]上各有一个零点。6.a≥1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)≤0需2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0；当x=1时，2/(1+1)=1，需a≥1。7.f(x)=x^3-3x^2+4，f(2)=4解析：由对称性需f(1-x)=-f(1+x)，即(1-x)^3+a(1-x)^2+b(1-x)+c=-(1+x)^3-a(1+x)^2-b(1+x)+c，展开整理得a=-3，b=0，代入f(x)=x^3-3x^2+c，f(1)=1-3+c=0，解得c=2，故f(x)=x^3-3x^2+4，f(2)=8-12+4=0。8.单调递减解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上f'(x)<0，故f(x)单调递减。五、应用题1.f(x)=x^3-3x^2+1解析：f'(1)=3+2p+q=0，f(0)=q=1，解得p=-4，q=1，故f(x)=x^3-3x^2+1。2.最小