2027年高考数学一轮复习(创新设计)第3节　成对数据的统计分析

数学

高考总复习第3节成对数据的统计分析INNOVATIVEDESIGN第九章

统计与成对数据的统计分析备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群10136549701.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.课标要求内容索引

知识诊断自测01

考点聚焦突破0203

课时对点精练

知识诊断自测011.变量的相关关系(1)相关关系:若两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系;(2)相关关系的分类:_________和_________;(3)线性相关:如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，就称这两个变量线性相关.正相交负相关一条直线

(2)样本相关系数r的性质①当r>0时，称成对样本数据___相关;当r<0时，称成对样本数据___相关;当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系;②样本相关系数r的取值范围为__________________.当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越___;当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越___.正负[-1,1]强弱

残差

5.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d

(2)独立性检验基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立

，可以认为X和Y独立.下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828常用结论与微点提醒

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.(

)(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小.(

)(4)χ2的值越大，相关性越强，关系越密切.×√2.(人教B选修二P121T3原题)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(

)A.x与y负相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y正相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关A因为－0.1<0，所以x与y负相关，又因为变量y与z正相关，所以x与z负相关.3.(苏教选修二P169T1改编)某小吃店的日盈利y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间有如下数据:x/℃-2-1012y/百元54221

A

4.(人教A选修三P139T3改编)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独立性检验，结论为x与y________(填独立、不独立)，这个结论犯错误的概率不超过____________.

附:不独立因为3.974>3.841，所以假设不成立，即认为x，y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.8280.05

考点聚焦突破02例1(1)(2026·西安质检)如图所示的散点图中，两个变量的相关关系为正相关的是(

)D考点一成对数据的相关性图象上升时，两变量为正相关，选项D符合题意.

A

感悟提升

训练1(1)(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是(

)A.沿海地区气温高，海水表层温度就高B.沿海地区气温高，海水表层温度就低C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势，故选C.(2)为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关程度的强弱，小明分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数，其数值分别为－0.95，－0.87，0.76，0.92，则这四组数据中线性相关程度最强的是____________组数据.

甲r绝对值越大，线性相关程度越强.1.教材母题(1)(人教A选修三P101例2)有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和)与A商品销售额的10年数据，如表所示.相关系数与散点图的联系教考衔接第n年12345678910居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断A商品销售额与居民年收入的相关程度和变化趋势的异同.(2)(湘教选修二P166T1)对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有(

)A.r2<r4<0<r3<r1

B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1

D.r2<r4<0<r1<r32.散点图与样本相关系数在反映两个随机变量之间的线性相关关系及相关程度时具有相同的作用:r的符号反映了相关关系的正负性，在散点图中则表现为上升或下降;|r|的大小反映了线性相关的强弱程度，在散点图中的表现为数据点集中于一条直线附近的程度.典例

(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(

)A选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大.角度1

线性回归分析例2(2026·新乡模拟)氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量(单位:万吨)的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023.考点二回归分析

(1)可否用一元线性回归模型拟合y与t的关系?请分别根据折线图和样本相关系数加以说明;

可以预测2026年的氮氧化物排放量，但不可以预测2036年的氮氧化物排放量.理由如下:①2026年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测;②2036年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.角度2

非线性回归分析例3“绿水青山是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年某新能源汽车的年销售量情况.年份20212022202320242025年份代码x12345某新能源汽车年销售量y/万辆1.55.917.732.955.6(1)请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型，并比较两个模型的残差平方和大小;(给出判断即可，不必说明理由)根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型，y＝cx2＋d比y＝bx＋a的残差平方和小.

感悟提升1.求线性经验回归方程(1)当两个系数均未知时，可利用公式法求解;(2)当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过样本点的中心求解.感悟提升

A

xee3e4e6e7y12345若x＝e10，则y的值大约为(

)A.4.94 B.5.74C.6.81 D.8.04C

例4(2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表:考点三独立性检验组别超声波检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p，求p的估计值;

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.感悟提升

训练3(1)为了研究性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过(参考数据:x0.005＝7.879，x0.001＝10.828)(

)A.0.1% B.0.5%C.99.5% D.99.9%B因为χ2＝8.01>7.879＝x0.005，所以“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过0.5%.(2)(多选)(2026·济南模拟)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，下列说法正确的是(

)附:BCα0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635A.若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关B.若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C.若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关D.若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%零假设为H0:“毛色”和“角”之间无关联.因为χ2≈2.727>2.706，所以根据小概率值α＝0.100的独立性检验，推断H0不成立，即认为“毛色”和“角”之间有关联，此推断犯错误的概率不超过10%，A错误;B正确.因为χ2≈2.727<6.635，所以根据小概率值α＝0.010的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为“毛色”和“角”之间无关联，C正确，D错误.

课时对点精练03一、单选题1.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计:在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(

)A.均值 B.方差C.独立性检验 D.回归分析C由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.2.(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(

)CA.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确;因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，所以D错误.3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表:D则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性?(

)A.甲 B.乙C.丙 D.丁r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强.

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m1061151241034.(2026·成都诊断)假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下:XY合计y1y2x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为(

)A.a＝9，b＝3，c＝2，d＝1B.a＝9，b＝2，c＝3，d＝1C.a＝2，b＝3，c＝1，d＝9D.a＝3，b＝1，c＝2，d＝9D根据χ2的计算公式及a＋b＋c＋d＝15可得，当n相等时，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱;|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强，经过逐一验证，可知选D.5.某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表:A

患心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2>10.828，则断定中年人秃发与患心脏病有关系.那么这种判断出错的可能性为(

)A.0.001

B.0.05 C.0.025 D.0.01因为χ2>10.828＝x0.001，因此判断出错的可能性为0.001，故选A.6.某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉D(10，2)，则下列说法正确的是(

)DA.相关系数r变小B.决定系数R2变小C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强可知点D偏离程度较大，去掉点D后，相关系数r变大，决定系数R2变大，残差平方和变小，解释变量x与预报变量y的相关性变强.故选D.7.设两个相关变量x和y分别满足表:B

x12345y128816A.33

B.37

C.65 D.73

x12345y128816v01334

二、多选题8.根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是(

)ABCA.吸烟患肺病的频率约为0.2B.吸烟不患肺病的频率约为0.8C.不吸烟患肺病的频率小于0.05D.吸烟与患肺病无关系从等高堆积条形图中可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率.所以吸烟与患肺病有关，D错误;由题图得，A，B，C都正确.

ACD月份编号x12345下载量y/万次54.543.52.5

如表，由表可知残差绝对值的最大值为0.2，D正确.月份编号x12345下载量y/万次54.543.52.5下载量预测值z/万次5.14.53.93.32.7残差绝对值0.100.10.20.2三、填空题10.(2026·湖北起点考试)已知某种商品的广告费x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间的对应数据如下表:66x13457y1418304246

12.下表是关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)的统计表.

x23456y3.44.25.15.56.8

四、解答题13.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树