2025-2026学年青山区第三教联体八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年青山区第三教联体八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．下列数学符号是轴对称图形的是（）A．≠ B．≌ C．≥ D．±2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性3．如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．4．已知三角形的两边的长分别为8，3，第三边的长可能是（）A．3 B．4 C．9 D．125．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS7．等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（）A．17 B．22 C．17或22 D．188．如图，B处在A处的西南方向45°处，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（）A．70° B．75° C．80° D．85°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．52 B．3 C．4 D．10．如图，点A，B为4×4方格纸中的两个格点，若以AB为边在方格中画点C（点C为格点），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．如图，点E、F在BC上，AB＝CD，∠AFB＝∠DEC，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，则还需添加的条件为．12．点M（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是．13．等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D是线段AB边上的动点，则线段CD的最小值为．15．如图，在Rt△ABD与Rt△BCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝45°，下列结论：①EF＝BE+DF；②若∠BAE＝∠DAF，则BE＝DF；③AE平分∠BEF；④AC平分∠BCD．其中正确的是（填写序号）．16．如图，在△ABC纸片中，AB＝12，BC＝9，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，求DE的长为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（9分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD＝BD，∠C＝3∠A，求∠ADB的度数．18．（9分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F．求证：CF＝2BF．20．（9分）如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝60°，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE，连接AD、BE交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）求∠AFE的度数．21．（9分）如图，A、B、C是正方形网格图中的格点，直线m上各点的横坐标都为1，请用无刻度尺在给定的网格图中按要求作图，保留作图痕迹．（1）画出AB的中点D；（2）画出三角形ABC关于直线m对称的三角形A1B1C1；（3）点M在线段AC上，画出点M关于直线m的对称点M1；（4）若直线m上有两个动点P、Q（P在Q的上方）满足PQ＝1，当AP+CQ最小时，求Q点的坐标为．22．（9分）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动．（1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？（2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？（3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是线段AB的中点．（1）如图1，连接EC，求证：△CBE是等边三角形；（2）如图2，BD是△ABC的角平分线，点N是线段AC上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由；（3）如图3，AB＝4，点N为直线AC上的一动点，连接BN，在BN下方作等边△BGN，则CG的最小值为．24．（9分）如图，已知AB交y轴点A（0，3），交x轴于点B（﹣6，0），过点A作AC⊥AB交x轴于点D，且AC＝AB．（1）求点C的坐标；（2）连接BC，BC交y轴于点E，连接DE，试求AE+ED的值；（3）若y轴上存在异于点A的一点P，使得∠BPC＝90°，以PD为边作等腰直角△PDQ，且点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标．

2025-2026学年青山区第三教联体八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDDCCDBDDC一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．下列数学符号是轴对称图形的是（）A．≠ B．≌ C．≥ D．±【解答】解：A，B，C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的数学符号能找到一条直线，剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性【解答】解：空调安装在墙上时，一般都会采用方法固定，由空调下方形成三角形支架，可知这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性，故选：D．3．如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：△ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直，故选：D．4．已知三角形的两边的长分别为8，3，第三边的长可能是（）A．3 B．4 C．9 D．12【解答】解：∵三角形两边的长分别是8，3，设三角形第三边的长为x，∴8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故选：C．5．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°【解答】解：如图所示：∴∠2＝180°﹣70°﹣60°＝50°，∵∠1与∠2是对应角，两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝50°，故选：C．6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′，所以∠A′O′B′＝∠AOB．故选：D．7．等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（）A．17 B．22 C．17或22 D．18【解答】解：分两种情况：当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形，周长是：22．故选：B．8．如图，B处在A处的西南方向45°处，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【解答】解：如图，∵B处在A处的西南方向，∴A处在B处的东北方向，∴∠EBA＝∠BAF＝45°，∵C处在A处的南偏东10°方向，∴∠FAC＝10°，∴∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝45°+10°＝55°，∵C处在B处的北偏东85°方向，∴∠EBC＝85°，∴∠ABC＝∠EBC﹣∠EBA＝85°﹣45°＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故选：D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．52 B．3 C．4 D．【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面积为10，∴12×4×AD=解得AD＝5．故选：D．10．如图，点A，B为4×4方格纸中的两个格点，若以AB为边在方格中画点C（点C为格点），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：①当AB为腰时，如图，②当AB为底边时，点C无格点，综上可知：△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．如图，点E、F在BC上，AB＝CD，∠AFB＝∠DEC，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，则还需添加的条件为∠B＝∠C．【解答】解：添加∠B＝∠C，∵∠AFB＝∠DEC，AB＝CD，根据AAS证明△ABF≌△DCE．故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）12．点M（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣2）．【解答】解：根据题意可知，点M（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．13．等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为50°或80°．【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50°或80°．故答案为：50°或80°．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D是线段AB边上的动点，则线段CD的最小值为4.8．【解答】解：当CD⊥AB时，CD有最小值，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴12AC•BC=12AB∴AB•CD＝BC•AC，∴10CD＝6×8，解得CD＝4.8，故答案为：4.8．15．如图，在Rt△ABD与Rt△BCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝45°，下列结论：①EF＝BE+DF；②若∠BAE＝∠DAF，则BE＝DF；③AE平分∠BEF；④AC平分∠BCD．其中正确的是①③④（填写序号）．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠ABE+∠ADF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AF，BH＝DF，∠ABH＝∠ADF，∠BAH＝∠DAF，∴∠ABE+∠ABH＝180°，∠EAH＝∠BAE+∠BAF＝45°，∴∠EAH＝∠EAF，在△EAH和△EAF中，AH=AF∠EAH=∠EAF∴△EAH≌△EAF（SAS），∴EH＝EF，∵EH＝BE+BH＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故①正确；∵∠BAE＝∠DAF，∴∠BAE＝∠BAH，∵AE与AF不一定相等，∴AE与AH不一定相等，∴BE与BH不一定相等，∴BE与DF不一定相等，故②错误；∵△EAH≌△EAF，∴∠AEH＝∠AEF，∴AE平分∠BEF，故③正确；作AP⊥CB于点P，AQ⊥CD于点Q，则∠APB＝∠Q＝90°，∵∠ABP+∠ADC＝180°，∠ADQ+∠ADC＝180°，∴∠ABP＝∠ADQ，在△ABP和△ADQ中，∠APB=∴△ABP≌△ADQ（AAS），∴AP＝AQ，∴点A在∠BCD的平分线上，∴AC平分∠BCD，故④正确，故答案为：①③④．16．如图，在△ABC纸片中，AB＝12，BC＝9，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，求DE的长为94【解答】解：由折叠的性质可得：∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，CD＝DE，∠ABD＝∠CBD，BC＝BE＝9，如图，作DN⊥BC于点N，过点D作DM⊥AB于点M，则DN＝DM，∵AB＝12，∴AE＝3，S△ADB：S△BCD＝12：9＝4：3，∵∠BCD＝2∠BDE，∴∠EDC＝∠BED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝3，∵S△ADB：S△BCD＝4：3，∴AD：CD＝4：3，∴CD=3故答案为：94三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（9分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD＝BD，∠C＝3∠A，求∠ADB的度数．【解答】设∠A＝x，∵BD平分∠ABC，AD＝BD，∴∠C＝3∠A＝3x，∠CBD＝∠ABD＝∠A＝x，∴∠A+∠C+∠ABC＝3x+2x+x＝6x＝180°，解得∠A＝x＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故∠ADB的度数为120°．18．（9分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠D=∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF．19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F．求证：CF＝2BF．【解答】证明：如图，连接AF，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣120∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF，∴CF＝2BF．20．（9分）如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝60°，D、E分别是边BC、AC上的点，且满足BD＝CE，连接AD、BE交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）求∠AFE的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）解：由（1）知：△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠BAD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．21．（9分）如图，A、B、C是正方形网格图中的格点，直线m上各点的横坐标都为1，请用无刻度尺在给定的网格图中按要求作图，保留作图痕迹．（1）画出AB的中点D；（2）画出三角形ABC关于直线m对称的三角形A1B1C1；（3）点M在线段AC上，画出点M关于直线m的对称点M1；（4）若直线m上有两个动点P、Q（P在Q的上方）满足PQ＝1，当AP+CQ最小时，求Q点的坐标为（1，2）．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．（3）如图，连接A1M，交直线m于点N，连接AN并延长，交A1C1于点M1，则点M1即为所求．（4）如图，取格点A'（3，4），连接A'C交直线m于点Q（1，2），取格点P（1，3），连接AP，A1P，则A1A'＝PQ＝1，AP＝A1P，∵PQ∥A1A'，∴四边形PQA'A1是平行四边形，∴A'Q＝A1P，∴A'Q＝AP，此时AP+CQ＝A'Q+CQ＝A'C，为最小值，∴Q点的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．22．（9分）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，AB＝AC＝BC＝10m．已知小明的速度是1m/s，小楠的速度是2m/s，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动．（1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？（2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？（3）当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：2t﹣10＝t，∴t＝10，答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，当AN＝AM时，△AMN是等边三角形，∴10﹣2t＝t，∴t=10答：小明和小楠同时运动103秒后，恰好使得两人和点A（3）如图1，当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即AM＝AN，由（1）知：当t＝10时，小明和小楠在点C处相遇，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴△AMC≌△ANB（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣10＝30﹣2t，∴t=40∴当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是40323．（9分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是线段AB的中点．（1）如图1，连接EC，求证：△CBE是等边三角形；（2）如图2，BD是△ABC的角平分线，点N是线段AC上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由；（3）如图3，AB＝4，点N为直线AC上的一动点，连接BN，在BN下方作等边△BGN，则CG的最小值为1．【解答】（1）证明：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC=12∵E是线段AB的中点，∴BE=12∴BE＝BC，∴△CBE是等边三角形；（2）解：分两种情况：①当点N在线段CD上，结论：AD＝DG+DN，理由如下：如图2所示：延长ED至点H，使得DH＝DN，连接NH，∵∠BNG＝60°，∴∠HNG＝120°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD=12×60∴∠A＝∠ABD＝30°，∴AD＝BD，∵DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°＝∠HDN，又∵DN＝DH，∴△HDN是等边三角形，∴NH＝DN，∠H＝∠DNH＝60°∴∠BND＝120°＝∠HNG，在△HGN和△DBN中，∠H=∴△HGN≌△DBN（ASA），∴BD＝HG＝DG+DH，∴AD＝DG+DN；②当点N在边AD上时，如图3，结论：AD＝DG﹣DN，理由如下：如图3，延长BD至H，使得DH＝DN，由①得：DA＝DB，∠2＝∠3＝60°，∴∠4＝∠5＝60°，∴△NDH是等边三角形，∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°，∴∠H＝∠2，∵∠BNG＝60°＝∠6，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7，即∠DNG＝∠HNB，在△DNG和△HNB中，∠H=∴△DNG≌△HNB（ASA），∴DG＝HB，∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD，∴AD＝DG﹣ND；综上，ND，DG与AD数量之间的关系为：AD＝DG+DN或AD＝DG﹣ND；（3）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴BC=12AB=12如图4，过点G作GP⊥AB于P，AC与GP交于点D，连接BD，过点C作CF⊥GE于F，CM⊥BD于M，∵△BNG是等边三角形，∴BN＝BG，∠NBG＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠NBG，∴∠PBG＝∠NBC，∵∠BPG＝∠NCB＝90°，BN＝BG，∴△NCB≌△GPB（AAS），∴BP＝BC＝2，∴P是AB的中点，∵PG⊥AB，∴PG是AB的垂直平分线，即点G在直线PG上，CG的最小值就是CF的长，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠CAB＝30°，∴∠CBD＝30°，Rt△CMB中，CM=12BC＝∵∠ADP＝∠BDP＝60°，∴∠CDF＝∠CDM＝60°，∵CF⊥GE，CM⊥BD，∴CF＝CM＝1，即CG的最小值为1．故答案为：1．24．（9分）如图，已知AB交y轴点A（0，3），交x轴于点B（﹣6，0），过点A作AC⊥AB交x轴于点D，且AC＝AB．（1）求点C的坐标；（2）连接BC，BC交y轴于点E，连接DE，试求AE+ED的值；（3）若y轴上存在异于点A的一点P，使得∠BPC＝90°，以PD为边作等腰直角△PDQ，且点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，∵AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠BAM+∠CAN＝90°，∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠AMB＝∠CNA＝90°，AC＝AB，∴△AMB≌△CAN