斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型

一.必备知识和方法

斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛

运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与

水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

1.从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律〔推论〕

⑴位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

⑵刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之

比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

(2ootan。)

(3)运动的时间与初速度成正比卜二］-上

(4)位移与初速度的二次方成正比卜二百而

(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所

用的时间为平抛运动时间的一半。

2.常见的模型

:从斜面顶点

F?%:水平抛出巨j：.以亍

出在斜面上。

模型用\垂宜落二j石

1X1

分解速度，构建速度分解位移，构建位移

三角形，找到斜面倾分解速度，构建速度三角形，隐含条件：

方法

角。与速度方向的关的矢量三角形斜面倾角0等于位移

系与水平方向的夹角

水平：v=Uo水平：v=vo

xx水平：X=v()t

根本竖直：Vy=gt竖直：Vy-gt1

竖直：y=2gp

规律合速度：合速度：

合位移：

V=\jVx+Vy

VxVys=\jx2+『

方向：tan0=p,方向：tan6^=Vx

方向：tanO=x

如义由tanO=苴=短得-2a

运动由tan。=2V=gf得t=由tan。=x=2%得，

时间♦otan一2-（）tan<9

gtan。g二g

3.类平抛运动模型

(1)模型特点：

物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力

场中做类平抛运动，那么叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的

类平抛运动打根底。

(2).类平抛运动与平抛运动的区别

做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a=g；

做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒

博

力，a=m。

(3)求解方法

(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向

(即沿合力方向)的匀加速直线运动。

(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解

为a、%,初速度均分解为匕、力，然后分别在x、y方向上列方程求解。

(4)求解类平抛运动问题的关键

(1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。

(2)确定是研究速度，还是研究位移。

(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和

水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间1联系起来。

二.典型例题精讲

题型一：分解速度

例1：如下图，以10m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时

间后，垂直地撞在倾角为。=30°的斜面上，g取Kb/sz,这段飞行所用的时间为（）

A.乎sB."&C.镉sD.2s

O0

答案：c

［解析］如下图，把末速度分解成水平方向的分速度既和竖直方向的分速度％那么有

—=cot30°,又Vy=gt将数值代入以上两式得t=y［3so

VoV

题型二：分解位移

例2：如下图，小球以的正对倾角为夕的斜面水平抛出，假设小球到达斜面的位移最小，那

么飞行时间力为（重力加速度为g）（）

2Fbtan0

A.%tan8B.

g

八%cot82vbcot8

C.------D.-------

gg

答案：D

［解析］如下图，要使小球到达斜面的位移最小，那么小球落点与抛出点的连线应与斜面垂

士【士八x一12府cot0

直，所以有tanJ=］,而户％1,尸书t2,解得-------o

题型三：分解速度与分解位移相结合

例3：如下图，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置

0处自由下落，下落至尸点的时间为加假设小球从同一点0处以

1[2h

c.小球从A处到达B处所用的时间为；n万YT

2h

D.小球到达3处的水平方向位移大小s="o

答案：ABCo

解析：小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂

直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小

mgsin®h

球的加速度〃二m二欧足/故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为器而，

h11（2h

根据丽二2m2,解得「前故C正确；小球在沿初速度方向的位移：x

数）[2hh

二&R二sin。\g，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移：），二sin^cos夕二

h_____2o_（2h[2h

而而，那么小球在水平方向的总位移：s=+V吗而\/T>oo\/T，故D错

误。

题型五：空气阻力不能忽略的曲线运动

例5.（•全国卷11）（多项选择）如图a,在跳台滑雪比赛中，运发动在空中滑翔

时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运发动先后两次从同一跳台

起跳，每次都从离开跳台开始计时，用。表示他在竖直方向的速度，其7”图象如

图b所示，力和力是他落在倾斜雪道上的时刻。那么（）

A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小

B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大

C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大

D,竖直方向速度大小为m时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次

的大

答案BD

解析。-，图象中图线与/轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中

v-t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A

错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B

正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的

Au

大，时间比第二次的短，由。二无，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均

加速度比第一次的小，C错误；。4图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为

。时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻

力为由〃吆-/二加心可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，

D正确。

三.举一反三，稳固练习

1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如下

图。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同

的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是从Co以下判断正确的

选项是（）

A.落在。点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行

B.三小球比拟，落在c点的小球飞行时间最长

C.三小球比拟，落在力点的小球飞行过程速度变化最快

D.无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂

直

2.（•全国卷川・17）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以。和£的速度沿同一方向水平抛

出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（）

A.2倍B・4倍C・6倍D.8倍

3.如下图，小球从斜面的顶端A处以大小为5的初速度水平抛出，恰好落到斜

[?如，空气阻力不计，该斜面的倾角

面底部的B点，且此时的速度大小时

为（）

A.60°B.45°

C.37°D.30°

4.如下图，。点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度。oi和如2水

平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的。点和。点。空气阻力不计。设小

球在空中运动的时间分别为和5落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为vi

和S,落到。点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为〃1和〃2,那么

以下关系式正确的选项是（）

41-011

A./2=2B.VO2=2

VI11

C・O2=啦D・tan〃2=

5.甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，

乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如下图.设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂

直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，那么乒乓球击打甲的球

拍的速度大小匕与乒乓球击打乙的球拍的速度大小吸的比值为（C）

A.坐B.由

C*D.号

/O

6.如下图，在斜面顶端a处以速度/水平抛出一小球，经过时间心恰好落在斜面底端c

处.今在。点正上方与a等高的力处以速度力水平抛出另一小球，经过时间右恰好落在斜面

的三等分点d处.假设不计空气阻力，以下关系式正确的选项是（）

A』

A.la—2EbB.ta=3tb

3

C.D.匕=5%

7•为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的

正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为。=37。、长为L=300m的斜坡的中点P,如图，假设sin

37°=0.6,cos37。=0.8,g取10m/s2,那么试估算无人机距A点的高度h和飞行的速度v分

别为（）

A./r=170m0=30m/s

B.A=135mr=40m/s

C.A=80mD=30m/s

D.A=45m0=40m/s

8.（多项选择）（•市上学期期末）如图，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球

均落在斜面上,忽略空气阻力，以下说法正确的选项是（）

A.所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等

B.小球的运动时间与初速度的平方成正比

C.所有小球落到斜面上时的速度方向都相同

D.小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移

的一半

9.如下图，A、B两质点沿水平方向以相同的速度

如抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P,3沿光滑斜面运动，落地点为巳，

不计阻力，那么以下关于修、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正

确的选项是（）

A.Pi较远B.P2较远

c.PlsP2等远D.A、B两项都有可能

10.如下图，2、B两质点以相同的水平速度p抛出，4在竖直平面内运动，落地点在A；B在

光滑的斜面上运动，落地点在R,R、R在同一水平面上。不计空气阻力，那么以下说法中正

确的选项是（）

A.46的运动时间相同

B.48沿x轴方向的位移相同

C.4的轨迹是抛物线，，的轨迹是椭圆

D,4夕落地点的速率相同

11.如下图，在倾角为0的斜面顶端/处以速度玲水平抛出一小球，落在斜面上的某一点8

处，设空气阻力不计，求：

⑴小球从A运动到B所需的时间；

（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离到

达最大？

四.举一反三，稳固练习参考答案

1.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如下

图。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同

的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是人Co以下判断正确的选

项是（）

A.落在。点的小球落在斜面上的速度方向与斜面平行

B.三小球比拟，落在。点的小球飞行时间最长

C.三小球比拟，落在6点的小球飞行过程速度变化最快

D.无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂

直

答案：Do

解析：设落在。点的小球落在斜面上的速度方向与水平方向夹角为氏位移方

向与水平方向夹角为心根据平抛运动的推论可知，lan0=2tana,即落在。点的小

球落在斜面上的速度方向不可能与斜面平行，A错误；根据平抛运动规律可知，

三小球飞行时间，二g,落在。点的小球竖直方向下落距离最大，所以落在，点

的小球飞行时间最长，B错误；三小球都做平抛运动，速度变化快慢（加速度）均相

同，C错误；通过A的分析可知，落在。点的小球不可能与斜面垂直，对于落在

b、c点的小球而言，落在斜面上时竖直方向分速度为切，水平方向分速度为。o,

如1

假设落到斜面上的瞬时速度能与斜面垂直，那么》=tana=£,对应的竖直方向的

位移为y=;g/2,水平方向的位移为x二如「（二）二，显然这是不可能满足的，

因此D正确。

1）

2.（•全国卷HI47）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以。和2的速度沿同一方向水平抛出,

两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

答案A

解析如下图，可知：

X=V!9

x-tan

那么pv=^/=2tan3-v

那么落至斜面的速率1惹=、。2+42=T1+4tad。,即&莓8〃甲、乙两球抛出速度为O和

那么可得落至斜面时速率之比为2：1.

3.如下图，小球从斜面的顶端A处以大小为如的初速度水平抛出，恰好落到

斜面底部的B点，且此时的速度大小霏vo,空气阻力不计，该斜面的倾

角为（）

A.60°B.45°

C.37°D.30°

答案c

解析根据平行四边形定那么知，小球落到斜面底端时竖直分速度为：药二

._____叵3Vv3uo

7w-次=、五城一次二》。。,那么小球运动的时间为：/="=药，设该斜面的

3gt2划3

倾角为那么有：tan。二不=200二鼠那么。=37。，故A、B、D错误，C正

确。

4.如下图，。点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度ooi和002水

平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的。点和。点。空气阻力不计。设小

球在空中运动的时间分别为人和伍落到。点和C点前瞬间的速度大小分别为S

和S,落到。点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为以和。2,那么

以下关系式正确的选项是（）

V\1taM1

二yf2D.tan/二-^2

答案c

解析设斜面的倾角为可得女）/二2次）=tana,所以2内1=2K2，小球先后

1hJ_如1

两次在竖直方向下降的高度之比为1：2,由〃=公尸知三二乃，求彳标二百，再

tan0iv\vo\

结合速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，可得布丽-1,那么£一嬴

1

邛,故C正确，A、B、D错误。

5.甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，

乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如下图.设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂

直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，那么乒乓球击打甲的球

拍的速度大小片与乒乓球击打乙的球拍的速度大小改的比值为（C）

…蕊XT乙

A.乎B.y[2

O

C警D.坐

答案：c

解析：将乒乓球击打球拍时的速度分解为水平方向和竖直方向，那么有乒乓球击打甲的

球拍和击打乙的球拍的水平方向分速度大小相等，由nsin45°=^sin30°,解得viv2=

坐，选项C正确.

6.如下图，在斜面顶端a处以速度以水平抛出一小球，经过时间&恰好落在斜面底端c

处.今在。点正上方与a等高的b处以速度修水平抛出另一小球，经过时间叁恰好落在斜面

的三等分点"处.假设不计空气阻力，以下关系式正确的选项是（）

答案：C

解析：此题考查平抛运动与斜面体的结合问题.由于以6两球下降的高度之比为3：1,

根据力可知下落时间17g那么两小球运动的时间关系是a=m品故A、B错

误；因为两球水平位移之比为3：2,由的=£得%=坐侬故C正确，D错误.

7.为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正

上方投弹，炸弹垂直击中倾角为。=37。、长为L=300m的斜坡的中点P,如图，假设sin37。

=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?,那么试估算无人机距A点的高度〃和飞行的速度:分别为

（）

A./t=170mo=30m/s

B./?=135m0=40m/s

C.〃=80mu=30m/s

D.A=45mo=40m/s

答案A

解析根据速度的分解有：tan。=三=£,X=TCOS37°=ur,联立解得，=4s,u=30m/s;那

vyg，2

么炸弹竖直位移为y=%尸=80m,故无人机距A点的高度/?=y+Tsin6=170m,应选A.

8.（多项选择）（•市上学期期末）如图，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球

均落在斜面上.忽略空气阻力，以下说法正确的选项是（）

A.所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等

B.小球的运动时间与初速度的平方成正比

C.所有小球落到斜面上时的速度方向都相同

D.小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半

答案AC

解析所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，设斜面的倾角为仇所有小球

的竖直位移与水平位移之比都等于tan仇故A正确；小球水平方向做匀速直线运动：x=vot,

竖直方向做自由落体运动：尸为2,所以工=产小口优解得：f=2o°tan〃,故B错误；平抛

运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于

所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上时的速度方向都相同，故C正确；小球

在竖直方向的总位移为尸32=纲（an&小球从抛出到离斜面最远时，速度

g8

方向与斜面平行，此时竖直方向的速度a、，=0otan4位多为y'=分-=。。,所以小球从抛

出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的;，故D错误.

9.如下图，A、B两质点沿水平方向以相同的速度比抛出，A在竖直平面内运

动，落地点为Pi,B沿光滑斜面运动，落地点为P2,不计阻力，那么以下关于

Pi、P2沿x轴方向相对抛出点距离远近的关系的判断正确的选项是（）

A.Pi较远B/2较远

C.修、P2等远D.A、B两项都有可能

答案B

解析A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运

动，在竖直方向有/2=2gdoB质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内

所受合力为〃吆sin。，大小恒定且与初速度方向垂直，所以3质点做类平抛运动，

h1

在沿斜面向下方向上有无而=5gsin"6。A的水平位移xi=Oo小8的水平位移及二

。。灰，由于t2>t\,所以x2>x\,Pi较远，B正确。

10.如下图，2、B两质点以相同的水平速度v抛出，力在竖直平面内运动，落地点在A；B在

光滑的斜面上运动，落地点在4、幺在4n3〃

同一水平面上。不计空气阻力，那么以下说、