河南省普通高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题+答案

秘密★启用前试题卷类型：A

2026年8月河南省普通高中高三年级开学联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将

答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={-1,-2,1,5},B={x|y=1g(x+2)},则A∩B=

A.B.{15C.{-1,1,5D.{-1,-2,1,5}

2.已知复数z满足z,Z+2i·z=2i(其中为虚数单位),则2|=

A.B.√2C.√3D.2

3.已知向量ā,万满足a+b=(3,2),a-b=(1,-2),则a|²-|b²=

A.1B.0C.-1D.-2

4.双曲线的离心率为

C.√2D.√3

5.已知一组数据为-1,1,3,4,5,7,10,11,若n为这组数据的70%分位数，则

(2x-y+1)"的展开式中x²y³的系数为

A.-840B.-84C.-60D.-40

6.已知则

数学试题卷第1页(共5页)

BD

7.在棱长为8的正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，E是棱AA₁上的一个动点，F为线段BD上的一

个动点，则|EF|的最小值为

A.2√2B.2√5C.4D.4√2

8.已知{a)是各项均为正数的无穷数列，记集合

则“数列{a}是等差数列”是“对于任意正整数n,集合T。都是单元素集，且该元素为正数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆C:x²+y²-6x+4y-12=0,直线：mX+y-2m-1=0(m∈R),则

A.圆C的圆心坐标为(3,-2),半径为5B.直线恒过定点(2,1)

C.当m=1时，直线与圆C相离D.直线被圆C截得的弦长最小值为2√15

10.在矩形ABCD中，AB=√2,AD=1,将△ACD沿AC折起，使点D到达点P的位置，

得到三棱锥P-ABC.若AP⊥BC,则

A.BP=1B.三棱锥P-ABC外接球的表面积为π

C.直线AB与直线CP所成的角为60°D.平面ACP与平面ABC的夹角为45

11.已知x=x₁和x=x₂分别为函数f(x)=a⁸-ax²(a>1)的极小值点和极大值点，则

A.当a=e时，f(x)<0B.当a=e时，

C.当f(x)=0时，a=e²D.当f(x)=0时，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=4,c=2,BC边上的中线

AM的长度为.

数学试题卷第2页(共5页)

13.一个无穷等比数列{a},已知a₁>0,且,则公比q的取值范围是

14.将(1-2x)⁴二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的

项相邻，若存在，则记随机变量X=1,否则记X=0,则E(X)=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,,已知

(1)求角A;

(2)若a=3,b+c=6,求△ABC的面积.

16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PAI平面

ABCD,点E,F分别为棱BC,PD的中点.

(1)证明：CFI平面PAE;

(2)当PA=AB=2且AE⊥DE时，求平面PAE与平面

ACF夹角的余弦值.

17.(15分)某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、

乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为,甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率

分别为,每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进

行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练.经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对

方目标两次时，演习训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，甲队击中乙队目

标为事件A,乙队击中甲队目标为事件B.

数学试题卷第3页(共5页)

(1)求概率P(A)、P(B);

(2)设随机变量X表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求X的分布列

和数学期望；

(3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率.

数学试题卷第4页(共5页)

18.(17分)已知函数f(x)=xeˣ-“.

(1)a=-1时，求曲线y=f(x)与X轴平行的切线方程；

(2)已知函数

①当a<0时，求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的交点个数；

②如果存在实数，使得两条曲线在x=t处有公共点，且两条曲线在x=t处的导数也相

同，则称这两条曲线相切.求α的值，使得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切.

19.(17分)已知椭圆E:(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁和F₂,离心率为

上顶点为A,且点F₂到直线AF₁的距离为√3.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知M,N为椭圆E上的两个动点.

(i)当MA|+|NA|取得最大值时，求cos∠MAN的值；

(ii)当直线MN在X轴上的截距为4时，若椭圆E在点M,N处的两条切线的交点P

在直线y=1上，求直线MN的方程.

数学试题卷第5页(共5页)

2026年8月河南省普通高中高三年级开学联考

数学参考答案

题号123456

答案CBCDAD

题号7891011

答案DBABDACAC

1.C

【详解】由题意，集合B={x|x+2>0}={x|x>-2},而A={-1,-2,1,5},

因为-2∉B,-1eB,leB,5eB,所以A∩B={-1,1,5.

2.B

【分析】设复数z=a+bi,再由复数的性质及复数相等可得a=1,b=-1,进而可得复

数的模.

【详解】设复数z=a+bi(a,b∈R),则其共轭复数z=a-bi,则z·7=a²+b²,

所以a²+b²+2i·(a-bi)=2i,化简得：a²+b²+2b+2ai=2i

,解得a=1,b=-1.

所以z=1-i,因此21=√²+(-1)²=√2

3.C

【分析】利用向量的线性运算求出a,5,结合向量的模长公式求解即可

【详解】由a+b=(3,2),a-b=(1,-2),两式相加得2a=(4,0),所以a=(2,0),

所以b=(3,2)-(2,0)=(1,2),所以a|²-|b|P=(2²+0²)-(¹²+2²)=-1

4.D

【详解】双曲线

即为,则a²=2"+¹,b²=2#+2,

可得c²=a²+b²=2⁻¹+2**²=6×2*,则，

又因为双曲线离心率e>1,则e=√3.

数学参考答案第1页(共17页)

5.A

【分析】先由百分位数定位数据求出指数，再将三项式中含x,y的两项捆绑为整体，化

归为二项式展开，逐层确定系数.

【详解】数据-1,1,3,4,5,7,10,11,共8个，已按从小到大排列.

由8×70%=5.6,故这组数据的70%分位数为第6个数，即n=7.

将2x-y视为整体，原式改写为(2x-y+1)⁷=[(2x-y)+1]

其展开式的通项为T+=C;(2x-y).1=C;(2x-y)*

要得到x²y³项，需7-k=5,k=2.此时T₃=C?(2x-y)⁵

在(2x-y)⁵的展开式中，x²y³项为C³(2x)²(-y)³=C³·2²·(-1)³x²y³=-40x²y³

故(2x-y+1)展开式中x²y³的系数为C²×(-40)=21×(-40)=-840

6.D

【分析】根据,利用诱导公式及二倍角公式求值.

【详解】因为；

7.D

【分析】建系，设E(8,0,8μ),μ∈[0,1],BF=λBD₁,λ∈[0,1],根据两点间距离公式分

析求解.

【详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(8,8,0),D₁(0,0,8),

可得BD₁=(-8,-8,8),DB=(8,8,0),

数学参考答案第2页(共17页)

设E(8,0,8μ),μ∈[0,1],BF=λBD₁=(-8λ,-82,8λ),λ∈[0,1],

则DF=DB+BF=(8-8λ,8-82,8λ),即F(8-82,8-82,8λ),

当,即时，EF取到最小值4√2.

8.B

【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可.

【详解】由i=1,2,…,n-1,n+1,…可知i≠n,所以对任意的

i=1,2,…,n-1,n+1,….均有意义，

充分性：若数列{a是等差数列，设公差为d,首项为a,且a。>0,

因为i≠n,所以所以对于任意正整数n,集合T,={d}都是单元素集，

当d=0时，a₁=a>0满足已知条件，但是不满足集合T。中元素为正数，故充分性不

成立，

必要性：若对于任意正整数n,集合T。都是单元素集，且该元素为正数，

则对任意正整数n,所有i≠n对应的为同一个正数，记为d(d>0),

取i=n+1,则

根据等差数列的定义可知：数列{a是等差数列，故必要性成立，

所以“数列{a是等差数列”是“对于任意正整数n,集合T.都是单元素集，且该元素为

正数”的必要不充分条件.

9.ABD

【详解】对于A:圆C方程配方整理得(x-3)²+(y+2)²=25.

数学参考答案第3页(共17页)

圆心为(3,-2),半径R=5,故A正确；

对于B:直线方程变形为m(x-2)+(y-1)=0

令x-2=0且y-1=0,解得x=2,y=1,故直线恒过定点P(2,1),故B正确；

对于C:定点P(2,1)到圆心C(3,-2)的距离为

PCI=√(2-3)²+(1-(-2)²=√1+9=√10<5,

定点P在圆C内部，故对任意m∈R,直线与圆C恒相交，故C错误；

对于D:当直线11PC时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为

2√R²-|PCP²=2√25-10=2√15故D正确.

10.AC

【分析】A选项，直接利用勾股定理即可求解；

B选项，根据几何关系找到外接球的球心和半径，根据球的表面积计算公式进行求解；

C选项，将直线的夹角转化为方向向量的夹角，注意直线夹角的取值范围；

D选项，将平面的夹角转化为二面角，注意平面夹角的取值范围.

【详解】

A选项，因为AP⊥BC,且AB⊥BC,所以BCl平面ABP,则BC⊥BP,所以

△PBC是直角三角形，

所以

又因为CD=CP=√5,BC=1,所以BP=√PC²-BC²=√(√2)²-1²=1A

选项正确；

B选项，由A选项分析得BP=1,又因为AP=AD=1,AB=√2,所以△PAB是直

角三角形，

数学参考答案第4页(共17页)

又因为CP=√2,AC=√3,所以AP²+CP²=AC²,所以△PAC是直角三角形，

分别作AC和AB的中点0和M,则0MIAB,因为△PAC是直角三角形，

,同理可

则0点即为三棱锥P-ABC外接球的球心，且外接球半径为

所以外接球表面积,所以B选项错误；

C选项

又因为直线AB与直线CP所成的角范围是,所以夹角为60°,所以C选项正确；

D选项，如图所示，分别作PT⊥AC,BN⊥AC,则异面直线PT和BN的夹角即为

平面ACP与平面ABC的夹角，

由三角形面积公式可得AC×PT=AP×PC所以

同理可得

而TA+AP)·(NC+CB)=TA-NC+TA·CB+AP·NC+AP·CB,

其中

,AP.CB=0,

数学参考答案第5页(共17页)

,即平面ACP与平面ABC的夹角为60°,所以D选项

错误.

11.AC

【分析】当a=e时，利用导数可以得到f(x)的单调性，从而得到x₁>x₂,且

和2<x₁<3,即可判断AB;当f(x)=0时，联立

f'(x₁)=a³Ina-2ax=0可以得到,再代回a³⁻¹=x²即可判断C;由选项C

得到e²-²=x,代入f(x₂)=e²-e²x2即可判断D.

【详解】对于A,当a=e时，函数f(x)=e-ex²,则f'(x)=e-2ex,

令g(x)=e-2ex,则g'(x)=eˣ-2e,令g'(x)=0,解得x=1+In2,

当x∈(-∞0,1+1n2)时，g'(x)<0,g(x)在(-∞0,In2e)单调递减；

当x∈(1+In2,+0o)时，g'(x)>0,g(x)在(In2e,+0)单调递增；

所以g(x)的最小值在x=In2e处取得，最小值为

g(In2e)=e1n2e-2eln2e=-2eln2<0,

又因为x→-00时，g(x)→+0∞0;x→+00时，g(x)→+00,

因此g(x)先正再负后正，即f'(x)先正再负后正，所以f(x)先单调递增，再单调递减，

最后单调递增，

因此f(x)有极小值点x₁和极大值点x₂,满足f'(x₁)=eˣ-2ex₁=0和

f'(x₂)=e²-2ex₂=0,并且x₁>x2,

当x<0时，f'(x)=e-2ex>0恒成立，且f'(0)=e°-2e×0=1>0,

所以

数学参考答案第6页(共17页)

又因为f'(2)=e²-2e×2=e(e-4)<0,f'(3)=e³-2e×3=e(e²-6)>0,所以

2<x<3,

所以f(x₁)=e-ex²=2ex₁-ex²=ex,(2-x₁)<0,故A正确，

对于B,由选项A可知,,由于

f(x₂)=e²-ex2=2ex₂-ex²=e(-x²+2x₂),

且二次函数，上单调递增，且最大值趋近于但,所以

,故B错误；

对于C,已知函数f(x)=a⁸-ax²(a>1),f'(x)=a*Ina-2ax,

当f(x₁)=0时，即f(x₁)=ai-ax²=0=ač-1=x²,又因为

f'(x₁)=aˣIna-2ax=0,即a³⁻¹lna=2x,

所以x2lna=2x₁→x₁Ina=2,解得.

代入a-¹=x²,可

令Ina=z(t>0),则,当t=2时，4.e°=4,所以t=2,即

a=e²,故C正确；

对于D,由选项C可知，a=e²,

方程ax-1na=2x→e₂(x-1).2=2x→e2x-2=x,根为x=1和x₂

所以f(x₂)=e²²-e²x2=e²(e²-²-x2)=e²(x₂-x2)=e²x₂(1-x₂),

当x₂时，x₂(1-x₂)在上递增，最大值趋近

但,所以，,故D错误.

12.√7

数学参考答案第7页(共17页)

【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可.

【详解】由b=4,c=2,,根据余弦定理可得：

解得a=2√3;

由中线AM满足向量关系可得

则|AM|=√7

13.

【分析】由题意确定无穷等比数列的和存在，以此确定-1<q<1并得到,再

结合条件即可求得9的取值范围.

【详解】等比数列前项和

若q>1,当n→+00时，q”→+∞0,此时

此时无穷等比数列{a)的和不存在，一定不满,故舍去，

若q<-1,当n→+00时，q”振荡发散，此时振荡发散，

此时无穷等比数列{a,的和不存在，一定不满),故舍去，

若q=1,则S,=n4₁→+0,若Q=-1,S振荡发散，

此时无穷等比数列{a)}的和不存在，一定不满),故舍去，

若-1<q<1,当n→+00时，q”→0,此时

数学参考答案第8页(共17页)

此时无穷等比数列{a}的和存在，即

则a₂+a₃+a₄+…看作是首项为a的无穷等比数列的和，即

由题意得,因为a₁>0,则

解得,因为等比数列中g≠0,

综上，公比q的取值范围

14.

【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项

相邻(即X=1)的概率，最后即可根据期望的定义计算E(X).

【详解】二项式(1-2x)⁴的通项公式为T+1=C₄·1⁴-.(-2x)=C₄·(-2)·x,

显然该二项式展开共有项，且当r=1,3时，即第2,4项系数为负数，

所以存在系数为负数的项相邻的排列数为A²A4,

又排列后数为所以

15.(1)·

②

【分析】(1)利用余弦定理可得代入已知等式推出

ccosA+acosC=2bcosA,再利用余弦定理化简得出,即可求解；

(2)由余弦定理可求出bc=9,再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理

数学参考答案第9页(共17页)

代入已知等

得(c-2b)cosA+acosC=0=ccosA+acosC=2bcosA

所以b=2bcosA

因为b>0,所以

又因为Ae(0,π),所以

(2)由余弦定理

将a=3与b+c=6代入上式得3²=6²-3bc=9=36-3bc=3bc=27=bc=9.

故△ABC的面积为

16.(1)证明：如图2,取PA的中点为G,连接FG,EG.

因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC//AD,

且

又因为F,G分别为PD,PA的中点，所以GF//AD,

且

图2

所以GF//EC,且GF=EC,所以四边形ECFG为平行四边形，

所以CF//EG,且CF4平面PAE,EGc平面PAE,

所以CFII平面PAE.

②

数学参考答案第10页(共17页)

【分析】(1)取PA的中点为G,连接FG,EG,易证四边形ECFG为平行四边形，

从而得CF//EG,再根据线面平行的判定定理可得CFI/平面PAE;

(2)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据面面角

的向量求法可得.

【详解】(1)略

(2)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，

所以分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图3所示.

图3

因为E为BC中点，所以AE=DE,即△AED为等腰直角三角形，即LEAD=45°.

又因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=45°,所以AB=BE,即AD=2AB.

又PA=AB=2,

所以A(0,0,0),E(2,2,0),C(2,4,0),F(0,2,1),P(0,0,2),

则AE=(2,2,0),AP=(0,0,2),AC=(2,4,0),AF=(0,2,1),

设平面PAE的法向量为π=(x₁,y,z),

则即

则z₁=0,令x₁=1,则Y₁=-1,所以7₁=(1,-1,0);

设平面ACF的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),

则即

令y₂=1,则x₂=z2=-2,所以n₂=(-2,1,-2).

设平面PAE与平面ACF的夹角为θ,

数学参考答案第11页(共17页)

即平面PAE与平面ACF夹角的余弦值为

17.①

(2)

X0-1

P

(3)

【分析】(1)事件A表示甲队攻击乙队且乙队拦截失败；事件B为乙队攻击甲队且甲队

拦截失败；而无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标与对方拦截事件为相互独立事

件，根据独立事件的概率计算公式计算即可；

(2)经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差包括随机事件：甲击中乙未击中，

甲乙都击中对方，甲乙都未击中对方，以及甲未击中乙击中四种情况，由此取随机变量

的取值计算概率即可；

(3)根据3轮中，每轮都互不影响，故甲队与乙队击中对方目标次数之差可借助(2)中

1轮的概率值进行计算.

【详解】(1)记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件A₁,A₂,

甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件B,B,

(2)经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差X的可能取值为，0,-1.

数学参考答案第12页(共17页)

X的概率分布为：

X0-1

P

所以X的数学期望

(3)记3轮对抗后训练结束为事件C,记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件D.

记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为Y,

P(Y=2)=P(X=1)P(X=0)P(X=1)+P(X=0)P(X=1)P(X=1)

P(Y=-2)=P(X=-1)P(X=0)P(X=-1)+P(X=0)P(X=-1)P(X=-1)

在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为

18.(1)y=-1

(2①曲线y=f(x}与曲线y=g(x)只有一个交点，②3+In2

【分析】(1)根据导数的几何意义，即可求出函数的切线方程；

(2)①由f(x)=g(x)可得,易知x=0是方程的一个实根，只需考虑

数学参考答案第13页(共17页)

x≠0时实根个数，构造函数讨论其单调性求出

极值，即可判断方程的实根个数，从而得出两曲线的交点个数；

②根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切时，成立，解方程组即可得

a的值.

【详解】(1)当a=-1时，f(x)=xe+¹,则f'(x)=e+¹(x+1),

令f'(x)=0,即e+¹(x+1)=0,解得x=-1,

可知f(-1)=-1,所以曲线y=f(x)与X轴平行的切线方程为y=-1.

(2)①令f(x)=g(x),得

当x=0时，等式成立，可知f(0)=g(0)=0,即(0,0)是曲线y=f(x)与曲线

y=g(x)的一个交点；

当x≠0时，

则

当a<0时，可知h'(x)在R上单调递增，,解得X=a-In2,

当x<a-In2时，h'(x)<0,函数h(x)在(-∞,a-In2)上单调递减，

当x>a-In2时，h'(x)>0,函数h(x)在(a-1n2,+0)上单调递增，

在x=a-In2时，函数h(x)取得极小值,为

因为a<0,所以h(a-1n2)>0恒成立，即方程无解，

所以曲线y=f(x)与曲线y=g(x)只有一个交点(0,0).

②当曲线y=f(x)