隐圆的最值问题

动点运动凯迹——圆或圆瓠型

动点轨迹为定圆，利用三点共线

方法指导：1.当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半

径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否

为•定值，或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。

I动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或圆弧；

1.如图I,在正方形ABCD中，边长为2,点E是AB的中点，点F是BC边上任意一点，将^BEF沿

EF所在直线折叠得到△PEF,连接AP,则CP的最小值,AP的最小值是.

【变式1】在矩形ABCD中，已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形

的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中

所围成的图形的面积cm?

【变式2】如图，一根木棒AB长为2a,斜靠在与地面0M垂直的增壁ON上，与地面的做斜角NABO

=60。，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿直线OM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端

下滑到A，时，AA-（6-则木棒中点P随之运动到P，所经过的路线长

3.如图，在^ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合），将4BCP

沿CP所在的直线翻折，得到ABCP,连接B，A,则B'A长度的最小值是.

4.如图，在oABCD中，NBCD=30。，BC=4,CD=33,M是AD边的中点，N是AB边上的一动

点，将公AMN沿MN所在直线翻折得到△AWN,连接AC则AC长度的最小值是_______.

D「

4

.

5.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,若NBAC=25°,ZCAD=75°,

则NBDC=________。，ZDBC=______.A

D

定边对定角模型

定弦定角

当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧.

见直角T尊斜边（定长）一程直径一定外心一现“圆”形;

见定角一球对边（定长）一根周角一转心角一现“圆”形;

（一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45。、60。或者一个确定的三角函数

的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离.

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1.如图，RtZkABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足NPAB=NPBC,

则线段CP长的最小值为.

2.如图，A（l,0）、B（3,0）,以AB为直径作。M,射线OF交3M于E、F两点，C为弧AB的中点，D

为EF的中点.当射线OF绕。点旋转时，CD的最小值为.

*X

3.如图/BAC=60。，半径长1的©0与NBAC的两边相切，P为。O卜.一动点，以P为圆心.PA长为半

径的OP交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,

4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90。，则a的最大值是.

5.如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=2>/2,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中

点,当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是

6.如图，。0的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,ACJ_AP交直线PB于点C,则4ABC

的最大面积是.

7.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系

的原点，直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点(0,2)长度的最小值

是.

8.E、F是正方形ABCD的功AD上两个动点，满足AEDF,连结CF交BD于点G,连结BE交AG于

点H。若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是

9.如图，边长为3的正方形ABCD,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑

动，点C点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE,则OE的长的最大值是

10、AB是半圆O的直径，AB=10,弦AC长为8,点D是弧BC上一个动点，连接AD,作CP_LAD,垂

足为P,连接BP,则BP的最小道是。

11.已知以AB为直径的圆O,C为AB弧的中点,P为BC弧上任意一点CD_LCP交AP于D,连结BD,

若AB=6,贝IjBD的最小值为

12.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的

AP的垂线，垂足为H,连结DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是,

13.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在CD,AD±,CE=DF,BE,CF相交于点G,连接

DG.点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为o

动点轨迹为其他曲线，构造三角形

方法指导：1.当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段转化为一个三角形中，其中在该三角形

中其他两条边位置不定但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之

差.2.在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

1、如图,在^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时,

点C随之在y轴上运动.在运动过程中,点B到原点的最大距离是（)

A.9B.2瓜C.3A/5D.3>/2+3

2.如图，ZMON=90°,线段AB两端点分别在边OM,ON上，当A在边OM上运动时，B随之在边

ON上运动，AB=2保持不变，以AB为边向外作等边△ABC在运动过程中，四边形AOBC的面积的

最大值是.

3、如图，平面直角坐标系中，将含30。的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分

别落在x轴、y轴上，且AB=12cm.

⑴若OB=6cm.

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点C与点O的距离的最大值二cm.

4.如图，定长弦CD在以4B为直径的。O上滑动（点C、。与点A、B不重合），M是C。的中点，过点

。作CP_LA8于点尸，若CD=3,A8=8,PM=l,则/的最大值

5.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D息平面内的一个动点，目AD=2,M为BD

的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.

6.如图，△ABC中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点，以CE为半径作（DC,G是（DC上一

个动点，P是AG中点，则DP的最大值为

2双动点型

解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题。有这样一类

双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三

个步骤：（一）分析“源动点”的不变量.（二）分析“双动点''与“源动点”间关系.（三）转化为单动点问题。显然

确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键。

例1、△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC:BC=3:4,过AB边上一点P作PE_LAC于E,PF_LBC于F,

EF是垂足，则EF的最小值等于。

2.如图，在RtaABC中，ZC=93°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3,若以

DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为（）

A,

912

D.

A.iocI~5

3.如图，在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切，点P,Q

分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是（）

利用勾股定理实现转化

I、如图，I.如图，。。的半径为2,点。到直线/的距离为3,点P是直线/上的一个动点，PQ切。。于

点Q,则PQ的最小值为【】

A.V13B.V5C.3D.2

2.如右图，在R/AOB中，OA=OB=3及，。。的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作。。的

一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为

3.如图，AB为。O的直径，C为半圆的中点，0c的半径为2,AB=8,点P是直径AB上的一动点，PM

与3c切于点M,则PM的取值范围为.

利用三角形边角关系转化

1/ABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=26,D是线表BC上的一个动点，以AD为直径画。O

分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为.

A

R

2.如图，ZBAC=60°,半径长为1的圆O与NBAC的两边相切，P为圆0上一动点，以P为圆心，PA长

为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（）.

3出（

A.3B.6C.—D.373E

路径最值

化腐朽为神奇）

1.如图，在口43c中，ZACB=90°.AC=BC,A3=4cm.CO是中线，点石、产同时从点

。出发，以相同的速度分别沿OC、方向移动，当点E到达点。时，运动停止，直线AE分别与。尸、

8c相交于G、H,则在点E、尸移动过程中，点G移动路线的长度为（）.

A.2B.71C.2兀D.----7t

2

2.如图，以G（0,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为

0G上一动点，CF1AE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）

当鼻爱与

A.2B.5C."D.6

3.如图，OO的半径为2,AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是。O上任意一点（P与A、B、C、D

不重合），经过P作PM_LAB于点M,PN_LCD于点N,点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45。

时，点Q走过的路径长为（）

nnnR

A42「％3

A•D•Vx•Lnx•

B

4.如图，在等腰RbABC中，斜边AB=8,点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿

5.如图1,点P从扇形AOB的0点出发，沿OTA—BTO以lcm/s的速度匀速运动，图2是点P运动时,

线段OP的长度y随时间x变化的关系图象，则扇形AOB中弦AB的长度为cm.

6加图,AR为的直径.且AR=4.