2026秋人教A版高一（必修一） 周测练6　第一～五章

周测练(六)第一～五章(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2026·全国Ⅰ卷)已知集合A＝sin7π6，cos5π3，tan5π4，B＝A．−32，−1C．−12，12．命题“∀x>0，ex＋1≤3x”的否定是()A．∃x≤0，ex＋1>3x B．∃x>0，ex＋1≤3xC．∃x>0，ex＋1>3x D．∀x>0，ex＋1>3x3．已知sinπ2−α＝45A．925 B．－C．725 D．－4．已知a＝log30.5，b＝log0.50.3，c＝sin17π4，A．c>b>a B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a5．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)·sinx在区间[－2.8，2.8]的大致图象为()ABCD6．已知函数f(x)＝(3−a)x−a，xA．32，2 C．1，32 D．(17．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，g(x)＝f(x－1)，则关于x的不等式g(x－3)＋g(2x－7)>0的解集为()A．(4，＋∞) B．(－∞，4)C．(4，5) D．(4，32)8．定义：对于f(x)定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得f(x1)f(x2)＝1成立，则称函数f(xA．f(x)＝lnx B．f(x)＝exC．f(x)＝esinx D．f(x)＝二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1与g(x)＝x0是同一个函数B．“a>b>0”是“1a<1bC．命题“∃x∈R，x2－x＋14<0”D．集合{x|x<－2，且x>－1}没有真子集10．已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1}，则()A．b>0且c<0B．4a＋2b＋c＝0C．不等式bx＋c>0的解集为{x|x>2}D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为x11．下列四个等式中正确的是()A．sin15°sin30°sin75°＝1B．1sin10°－C．3−sin7D．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°tan60°＝3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝____________________．13．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式________．①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③当x>1时，f(x)>0．14．已知tanα+π4＝2－3，tanβ＝1，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁RB，②B⊆∁RA，③(∁RA)∩B＝⌀中选择一个填入横线处求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝4x＋9x(1)用定义证明：函数f(x)在(0，1]上单调递减；(2)如果对任意x∈[1，2]，不等式(3－4log2x)(3－log2x)>klog2x恒成立，求实数k的取值范围．17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在−18．(本小题满分17分)(教材P227例10改编)为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造．如图，在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝Asinωx+2π3(A>0，ω>0)，x∈[－4，0]时的图象，且图象的最高点为B(－1，2)，新步道的中间部分为长1千米的直线跑道CD，且CD∥EF，新步道的后一部分是以O(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求矩形MNPQ面积最大时θ应取何值?并求出最大面积．19．(本小题满分17分)已知函数f(x)在定义域内存在实数x0和非零实数D，使得f(x0＋D)＝f(x0)＋f(D)成立，则称函数f(x)为“D伴和函数”．(1)判断是否存在实数D，使得函数f(x)＝1x为“D伴和函数”?若存在，请求出D的范围；若不存在，请说明理由(2)证明：函数f(x)＝x2＋sinx＋1在[0，＋∞)上为“π伴和函数”；(3)若函数f(x)＝lgax2+1在(0，＋∞)上为“1伴和函数”，周测练(六)1．C[因为A＝sin7π6，cos5π3，tan5π4＝−12，12，12．C[命题“∀x>0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，根据全称量词命题的否定可得原命题的否定为∃x>0，ex＋1>3x．故选C．]3．C[因为sinπ2−α所以cosα＝45则cos2α＝2cos2α－1＝2×452－1＝故选C．]4．D[利用对数函数的性质可得a＝log30.5<log31＝0，b＝log0.50.3>log0.50.5＝1，利用诱导公式可得c＝sin17π4＝sin4π＋π4＝sinπ4＝22∈(0，所以b>c>a．故选D．]5．B[f(－x)＝－(－x)2＋(e-x－ex)·sin(－x)＝－x2＋(ex－e-x)sinx＝f(x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)＝－1＋e−1esin1>－1＋e−1esinπ6＝e2－1－1故可排除D．故选B．]6．A[因为函数f(x)＝(3−a)x−a，解得a∈32故选A．]7．A[由已知可得g(x－3)＝f(x－4)，g(2x－7)＝f(2x－8)，由g(x－3)＋g(2x－7)>0，可得f(x－4)＋f(2x－8)>0，因为奇函数f(x)是定义在R上的增函数，则f(2x－8)>－f(x－4)＝f(4－x)，所以2x－8>4－x，解得x>4．]8．B[对于A，f(x)＝lnx，由f(x1)f(x2)＝lnx1lnx2＝1，得lnx1lnx2＝1，当x对于B，f(x)＝ex，由f(x1)f(x2)＝ex1ex2＝1，则任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2满足x1＋x2＝0，故B是正积函数；对于C，f(x)＝esinx，由f(x1)f(x2由esinx1+sinx2＝1，得sinx1＋sin当sinx2＝0时，x2＝kπ，k∈Z．则x2不唯一，故C不是正积函数；对于D，f(x)＝cosx，由f(x1)f(x2)＝cosx1cosx2＝当cosx1∈[0，1)时，则不存在x2满足情况，故D不是正积函数．]9．BCD[对于A，两个函数的定义域不一样，故不是同一个函数，A错误；对于B，若a>b>0，则1a<1b，若1a<1b，如a＝－1，b＝－2，此时0>a>b，所以“a>b>0”是“1a<1b”的充分不必要条件，故B对于C，命题“∃x∈R，x2－x＋14<0”的否定是∀x∈R，x2－x＋14≥由二次函数的性质可得f(x)＝x2－x＋14的图象开口向上，Δ＝0，所以f(x)≥0恒成立，故C正确对于D，集合{x|x<－2，且x>－1}是空集，而空集没有真子集，所以D正确．故选BCD．]10．AC[由题意可知a>0，−2+1=−ba，(−2)×1=ca，解得a=b，−2a=c，所以b>0且c<0，4a＋2b＋c＝4a＋不等式bx＋c>0⇔ax－2a＝a(x－2)>0⇒x>2，故C正确；不等式cx2－bx＋a<0⇔－2ax2－ax＋a＝－a(2x－1)(x＋1)<0，即(2x－1)(x＋1)>0，所以x>12或x<－1，故D错误故选AC．]11．ABD[对于A，sin15°sin30°sin75°＝12sin15°sin75°＝－14[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝18，故对于B，1sin10°－＝cos10°−＝2(sin30°cos10°−cos30°sin10°)＝4sin20°sin20°＝4，故B正确对于C，3−sin70°2−cos＝3−(2cos210°−1)2−cos210°＝2(2−co对于D，因为tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°+tan40°1−tan20°tan40°＝3所以tan20°＋tan40°＝3－3tan20°tan40°，即tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°tan60°＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3，故D正确．故选ABD．]12．e[f(ln2)f(ln4)＝aln2a＝a3ln2＝(aln2)∴aln2＝2，∴a13．f(x)＝lnx(答案不唯一)[取f(x)＝lnx，其定义域为(0，＋∞)，f(x1x2)＝ln(x1x2)＝lnx1＋lnx2＝f(x1)＋f(x2)，满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，满足所有条件．]14．－1[因为tanα＋π4＝tanα+11−tanα＝2－3，所以tanαcos(α+β)sin(α−β15．解：(1)A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁RA＝{x|x≤1或x≥5}，∁RB＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁RB，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁RA，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁RA)∩B＝⌀，则1≤解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．16．解：(1)证明：对任意x1，x2∈(0，1]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝4x1＋9x1－4x2＋9x2＝(x因为0<x1<x2≤1则x1－x2<0，x1x2>0，4x1x2－9<0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，1]上单调递减．(2)令t＝log2x，由于x∈[1，2]，则t∈[0，1]，由题意，得(3－4t)(3－t)>kt对一切t∈[0，1]恒成立，当t＝0时，则9>0，符合题意，k∈R；当t∈(0，1]时，可得k<4t＋9t－15令h(t)＝4t＋9t－15由(1)知h(t)在(0，1]上单调递减，当t＝1时，h(t)取到最小值h(1)＝－2，所以k<－2．综上所述，实数k的取值范围为(－∞，－2)．17．解：(1)由题意得f(x)的周期T＝22π3−π6＝π，可得ω＝根据f(x)的图象经过点π6，0，可得fπ6＝4cosπ即cosπ3+结合0<φ<π，可得π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝4cos(2)由(1)得f(x)＝4cos2x将f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得fx−π6＝4cos2x−π6＋π6＝4cos2x−π6的图象，所以当x∈−π2，−π12时，可得2x当2x－π6＝－π，即x＝－5π12时，g(x)min＝g−5π12＝－4；当2x－π6＝－π3，即x＝－π12时，所以－4≤g(x)≤2，可得g(x)在−π2，−π12上的值域是18．解：(1)由题意，得A＝2，T4＝－1－(－4)＝3，即T＝12又ω>0，则ω＝2πT＝π所以曲线段FBC的解析式为y＝2sinπ6x＋2π3．当x＝0时，y＝OC＝2sin2π3＝3又因为CD＝1，则tan∠DOC＝CDOC＝3可知锐角∠DOC＝π6，所以∠DOE＝π(2)由(1)可知OD＝2，OP＝2，且∠POE＝θ∈0，π3，则QM＝PN＝2sinθ，ON＝2cosθ，OM＝QMtanπ3＝23可得MN＝ON－OM＝2cosθ－233sin则矩形MNPQ的面积为SMNPQ＝MN·PN＝2sinθ2cosθ－233sinθ＝4sinθcosθ－433sin2θ＝2sin2θ＋233cos2θ－233＝433sin2又因为θ∈0，π3，则2θ＋π6∈π6，5π6，可知当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，SMNP