2026新教材 第五章 二次函数 4 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系

第五章二次函数5.4二次函数与一元二次方程第1课时

二次函数与一元二次方程的关系1.一元二次方程的根的判别式是什么？怎样判断一元二次方程的根的个数？一元二次方程的根的判别式是Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.导入新课

导入新课高效课堂任务一：引例导学竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(单位：m)是物体被抛出时的高度，v0(单位：m/s)是物体被抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图所示.高效课堂(1)写出h与t之间的关系式.h与t之间的关系式为h＝－5t2＋40t.(2)小球经过多少秒后落地？有几种求解方法？与同伴进行交流.落地时间可通过图象法或解方程－5t2＋40t＝0求得，解得t＝8或0(不合题意，舍去).所以，小球经过8s后落地.高效课堂任务二：实例探究二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点？第一个图象与x轴有2个交点；第二个图象与x轴有1个交点；第三个图象与x轴没有交点.高效课堂(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0分别有几个实数根？用根的判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？一元二次方程x2＋2x＝0有两个不相等的实数根：x＝0或x＝－2；判别式Δ＝b2－4ac＝22－4×1×0＝4＞0，验证成立.一元二次方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根：x＝1；判别式Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，验证成立.一元二次方程x2－2x＋2＝0没有实数根.高效课堂(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.高效课堂二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的三种情况：(1)抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，此时Δ＝b2－4ac＞0；(2)抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝b2－4ac＝0；(3)抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时Δ＝b2－4ac＜0.高效课堂在本节一开始的上抛小球问题中，何时小球的高度是60m？如何知道？(1)方法一：观察图象可知，当h＝60时，t＝2或6.(2)方法二：令h＝60，则－5t2＋40t＝60，解得t＝2或6.所以，当经过2s或6s时，小球的高度是60m.高效课堂任务三：应用知识例一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位：m)可以用公式

h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间.(1)画出函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象.函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象如图所示.高效课堂(2)小球被弹出后1s的高度是多少？2s时呢？把t＝1，t＝2分别代入h＝－4.9t2＋19.6t，得h＝－4.9＋19.6＝14.7，h＝－4.9×22＋19.6×2＝19.6.故小球被弹出后1s的高度是14.7m，2s时的高度是19.6m.高效课堂(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0，－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义分别是什么？请结合图象说明.解－4.9t2＋19.6t＝0，得t1＝0，t2＝4，其中t1＝0表示小球离开地面的时间，t2＝4表示小球落地的时间；解－4.9t2＋19.6t＝14.7，得t3＝1，t4＝3，其中t3＝1表示小球离开地面的高度14.7m时的时间，t4＝3表示小球离开地面的高度是14.7m时的时间.高效课堂(4)若方程－4.9t2＋19.6t＝k无解，则k的取值范围是什么？k＞19.6或k＜0.(5)若方程－4.9t2＋19.6t＝k有两个相等的根，则k的取值范围是什么？k＝19.6.(6)若方程－4.9t2＋19.6t＞14.7，则k的取值范围是什么？1＜k＜3.高效课堂提示：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝k的交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝k的根，根的判别式Δ＝b2－4a(c－k)也决定了二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点个数.(2)考查一元二次不等式ax2＋bx＋c＞k的解集情况时，可以转化为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在直线y＝k