2026秋高三数学复习 数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题(原卷版)

数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题专项训练

考点一数列新定义问题

1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集N*中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列

an，再按照两项，一项，两项，一项L的顺序循环分组：a1,a2,a3,a4,a5,a6,L，那么2024在第（）

组．

A．771B．769C．772D．775

p,q

2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知an是一个公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若存在正整数(其中

p<q

)使得Sp+Sq=0，则称an具有性质G，称有序数对p,q是an的一组“Γ数对”，记由an的全体“Γ数对”

所组成的集合为Ωa.关于命题“若an具有性质且1,4ÎΩa，则Ωa=1,4”与命题f存在具有性质

nΓnnΓ

①②

的a及互不相同的正整数n,n,m其中n<m且n<m，使得n,mÎΩ且n,mÎΩ，下列说法正确的是

n12(121an2an

（）.

A．是真命题，是真命题B．是真命题，是假命题

C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题

①②①②

*

3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意nÎN，都有an+an+1=c（c为常数），称数列an为“等和”数列.

2025

a

设“等和”数列an的首项为1，直线kx-(y+k)+2=0kÎR过定点P(a1,a2)，则an=（）

n=1

A．2025B．2562C．3036D．3037

Z

4．（2025·江西·模拟预测）若数列an满足an+1=logman(m>1且mÎ)，则称数列an为“对数m底数列”.已知正

a2+a3+L+an

*4

项数列an是“对数2底数列”且a5=1，则当n…2且nÎN时，22=（）

a2g…gan-1

A．212B．216C．232D．264

*

5．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列un，其前n项和为Sn，若存在常数M>0，对任意nÎN，恒

有un+1-un+un-un-1+L+u2-u1£M，则称un为B-数列.则下列说法正确的是（）

A．若un为等差数列，则un为B-数列

B．若un是以1为首项，q(|q|<1)为公比的等比数列，则un为B-数列

C．若un为B一数列，则Sn也为B-数列

D．若Sn为B一数列，则un也为B-数列

6．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数n,j(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两

个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数jn)(以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如

j(10)=4（10与1，3，7，9均互质），则（）

A．j(20)+j(25)=28B．若p为质数，则数列jpn为等比数列

ïìnïü179

C．数列íý的前5项和等于D．$nÎN*，使得2éj3n+j4nù=j5n

n81ëû

îïj3þï

7．（24-25高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐

波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，

¼N*

34，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1，a1=1，an+1=an+an-1nÎ，

A=a1,a2,L,a2025.若集合B为集合A的非空子集，则集合B中所有元素之和为奇数的概率为.

824-25··N**

．（高二下广西桂林期末）对于数列annÎ，记Δan=an+1-an，对于kÎN，记

k+1kkk01k

Δan=ΔΔan=Δan+1-Δan，规定：Δan=an，Δan=Δan，称Δan为数列an的k阶差数列．若an的一

阶差数列为等比数列，a1=1，a2=4，a3=13，bn的二阶差数列为常数列，常数为4，b1=-2，b2=0，则数列

ìæ1öü

n

an×bn的通项公式为，数列íçan+÷×bn+4ný的前项和为．

îè2øþ

9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列an，bn.若对任意的正整数n，都有an-bn£1，则称an与

bn“伴随”.

2n-1(n-1)π

(1)若a=()，b=cos，判断a与bn是否“伴随”，说明理由；

n3n3n

(2)已知数列an的前n项和为Sn，Sn满足Sn=1-an，证明：an与Sn“伴随”.

10．（24-25高二下·江西·期末）若数列an使得函数f（x）满足

23nex

f0+fa+éfaù+éfaù+L+éfaù<，则称an为fx的进阶数列．已知函数fx=e，

1ë2ûë3ûënûe-1

1

gx=lnx+1，a=-1，b=，nÎN．

nnn+

(1)证明：an为fx的进阶数列．

(2)证明：fx>gx+1．

(3)证明：bn为gx的进阶数列．

3

1n+1n3

11．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列a中，a=，且．

n1n+1-n=1

22an+12an

(1)求an的通项公式．

na

(2)证明：i<2．

i=1i

(3)若数列bn中存在两项bp，bqp<q，使得bp=bq，则称p,q为数列bn的等项数对．证明：an的等项数

对唯一．

12．（24-25高二下·浙江·期末）若无穷正项数列an同时满足以下两个性质：存在M>0，使得

N*①

an<M,nÎ；an为单调数列，则称数列an具有性质Q．

②n

æ1ö

(1)若an=2n-1,bn=ç÷；

è2ø

（ⅰ）判断数列an,bn是否具有性质Q，并说明理由；

（ⅱ）记Sn为数列anbn的前n项和，判断数列Sn是否具有性质Q，并说明理由；

1n

(2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量X为投篮2n次命中的次数，记cn=PX=2k-1，

4k=1

证明：数列cn具有性质Q．

13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）对于给定的正整数n，如果正整数d能整除n，则称d是n的因子；如果正整

数m，n共同的因子只有1，则称正整数m和n互素.已知函数fn表示正整数n的因子个数，数列an满足以下

条件：

pan=n+1

对于任意素数和正整数n，都有p；

①

对于任意的正整数m和n，若m和n互素，则amn=am×an.

②

(1)求a1，a2024的值，并写出an和fn的关系（无需证明）；

n

(2)当n是偶数时，证明：a£+1；

n2

ìanü5

(3)设数列íý的前n项和为Sn，证明：S<.

î2nþn3

*

14．（24-25高二下·北京石景山·期末）设an为无穷数列，如果对于任意nÎN，都有an+4+an=2an+2，则称数列

an具有性质P.

(1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明）

等差数列A：5，3，1…；等比数列B：1，2，4，…；

①②a=2*

(2)已知数列an具有性质P，a1=1，2，且由该数列所有项组成的集合annÎN=Z，求an的通项公式.

15．（24-25高二下·北京海淀·期末）给定正整数nn³3，若数列An:a1,a2,L,an同时满足下列两个性质，则称数列

An为Pn数列：a1,a2,L,an=1,2,L,n；对任意iÎ1,2,L,n-2，总存在jÎi+1,i+2,L,n，使得

①②

aj-ai=2．记Pn数列的个数为bn

(1)写出两个P3数列A3；

(2)若An为Pn数列，求a1的值；

b

(3)求n+1的最大值．

bn

16．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）k为实数，无穷数列xn为Ák数列时满足：x1≥x2=-k；xt-1<xt

N*N*

t=4n,nÎ；"m,nÎ,xm+nÎ{xm+xn+k,xm+xn+k+1}．

(1)若数列an前四项分别为4，-4，-4，-3，判断数列an是否有可能为Á4数列；

(2)若数列an为Á0数列，求a6的值；

*

(3)数列an前n项和为Sn，则是否存在k值，"nÎN，Sn³S10恒成立.如果有，求出所有符合要求的k值；如果

没有，请说明原因．

考点二导数新定义问题

1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数Fx在区间

bn

a,b上的导函数为F¢x=fx，那么fxdx=Fb-Fa.若fx=2x+1，fxdx=12，且n-m=2，则

òaòm

m=（）

33

A．-B．C．-2D．2

22

2．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y=fx，其曲率

y¢¢

K=

3（y¢是y的导数，y¢¢是y¢的导数），曲率半径r是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相

é1+y¢2ù2

ëû

v2

同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为r的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质

r

32

点以恒定速率v0沿形状满足y=x-x的光滑轨道运动，则其在点0,0处的向心加速度的大小为（）

122222

A．v0B．2v0C．vD．2v

2200

3．（24-25高二下·福建宁德·期中）记f¢(x)是f(x)的导函数，f''x是f¢(x)的导函数，若曲线y=f(x)在点

3

-æ28ö

''223

x0,fx0处的曲率K=fx×1+éf¢xù，则曲线f(x)=x在点ç,÷处的曲率为（）

0ë0ûè327ø

1627108125

A．B．C．D．

2716125108

4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f¢x是fx

f¢¢x

K=

f¢¢x¢yfx3

的导函数，是fx的导函数，则曲线=在点x,fx处的曲率2．曲线

1+f¢x2

y=e2x-sinx在点0,f0处的曲率为（）

455

A．B．2C．D．2

255

5．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数fx的定义域为D，且存在x0ÎD，使得fx0+2f¢x0=0，则称x0

是fx的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（）

12

A．fx=B．fx=ex-xC．fx=lnxD．fx=ex+x

x

6．（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）若存在x0使得f(x0)=f¢(x0)，则称x0是fx的一个“巧值点”，则下列函

数中，不存在“巧值点”的是（）

x

xæ1ö

A．f(x)=eB．f(x)=ç÷C．f(x)=sinxD．f(x)=lnx

è2ø

7．（24-25高二下·广东广州·阶段练习·多选）对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da¹0，给出定义：f¢x是函

数y=fx的导数，f¢¢x是函数f¢x的导数，若方程f¢¢x=0有实数解x0，则称x0,fx0为函数y=fx的

“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称

249

中心，若函数fx=x3-x2-12x+，则下列说法正确的是（）

36

137

A．fx的极大值点为B．fx有且仅有3个零点

6

æ1öæ1öæ2öæ3öæ2024ö

C．点ç,2÷是函数fx的对称中心D．fç÷+fç÷+fç÷+Lfç÷=4048

è2øè2025øè2025øè2025øè2025ø

8．（24-25高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿

法.具体步骤如下：设r是函数y=fx的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，在横坐标为x0的点处作曲

x

线fx的切线l1，直线l1与轴交点的横坐标为x1；用x1代替x0重复上面过程得到x2；一直进行下去，得到

3

x0,x1,L,xn，当xn-xn-1足够小时，我们可以把xn的值作为函数fx零点的近似值.已知函数fx=x+3x-2，

x0=1，则下列说法正确的是（）

70

A．切线l的方程为6x-y-4=0B．x=

12117

33

2xn+13xn+3xn*24

C．xn+1=2D．设an=3,nÎN，则<a1×a2×¼×an-1×an<

3xn+12xn+233

f(x+Dx,y)-f(x,y)

9．（2024·湖北·三模）若当Dx®0时，0000无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元

Dx

f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记为fx¢(x0,y0)，即fx¢(x0,y0)=lim;若当Dy®0

Dx®0Vx

f(x,y+Dy)-f(x,y)

时，0000无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y

Dy00

f(x0,y0+Vy)-f(x0,y0)23

的偏导数，记为fy¢(x0,y0)，即fy¢(x0,y0)=lim.已知二元函数f(x,y)=x-2xy+y，则

Dy®0Vy

fx¢(m,n)+fy¢(m,n)的最小值为.

10．（24-25高二下·北京·阶段练习）若存在实数k和m使得函数fx和gx对其公共定义域上的任意实数x都满

足：gx£kx+m£fx恒成立，则称此直线y=kx+m为fx和gx的“分离直线”．当fx=x2和gx=alnx

1

之间存在唯一的“分离直线”y=2ex-e时，a=；若fx=x2和gx=(x<0)之间存在“分离直线”，m的

x

最小值为．

11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数fx的导函数为f¢x，我们称函数f¢x的导函数f¢¢x为函数

fx的二阶导函数，若一个连续函数fx在区间I上的二阶导函数f¢¢x³0，则称fx为I上的凹函数，若二

阶导函数f¢¢x£0，则称fx为I上的凸函数．

11

(1)证明：函数fx=-x3+x2+x-xlnx是凸函数．

32

ex

(2)已知函数fx=+sinx，xÎ0,π．

a

若fx是0,π上的凹函数，求实数a的取值范围；

①π

fx在0,π内有两个不同的零点x，x，证明：<x+x<π．

12212

②

12．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数y=Fx的定义域为I，区间a,b是I的子集，若y=Fx的图象

上存在两点Aa,Fa，Bb,Fb，使直线AB恰好是曲线y=Fx的一条切线，且A,B为切点，记直线AB的

方程为y=Gx，如果"xÎa,b都有Fx³Gx，则称函数y=Fx是“桥函数”，称A,B两点为“桥墩”.

æπöæ3πö

(1)若Aç-,-1÷,Bç,-1÷，试说明函数y=sinx能否是以A,B两点为“桥墩”的“桥函数”？

è2øè2ø

(2)判断函数fx=1-x2与gx=x+sinx是不是“桥函数”？并说明你的理由.

1324-25··N*

．（高三下河南阶段练习）若函数F(x)在开区间I内满足：$xiÎI(i=1,2,××××××,n)n³2,nÎ，y=F(x)

R

在x=xi处的切线的斜率均为m(mÎ)，则称F(x)为I内的“n-m缘分函数”．

(1)判断f(x)=lnx-x2+2x是否为(0,+¥)内的“2-3缘分函数”，并说明理由；

2æ1ö

(2)若g(x)=-lnx-x+ax为ç,1÷内的“2-3缘分函数”，求实数a的取值范围；

è3ø

1

(3)证明：h(x)=x2-2x+2ex-x2-2xlnx+2x不是(0,+¥)内的“n-1缘分函数”n³2,nÎN*．

2

14．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知f¢x是函数f(x)的导函数，x0是f(x)的零点，若在xÎD上，

f(x)>f¢x0恒成立，则称f(x)是D上的“优函数”.

(1)试判断函数f(x)=ex-x-1是否是(0,+¥)上的“优函数”，请说明理由；

1

(2)已知函数g(x)=-x2-mlnx+(m+1)x，m>0.

2

证明：g(x)只有一个零点；

①

已知x0是g(x)的零点，证明：g(x)是0,1上的“优函数”.

②

15．（24-25高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点

附近用多项式逼近．若函数f(x)在包含x0的闭区间[a,b]上具有n阶导数，在开区间(a,b)上具有n+1阶导数，则

fxf¢xf¢¢xf(n)x

00020nR(x)

对[a,b]上任意一点x，有f(x)=+x-x+x-x+L+x-x+R(x)，其中n

0!1!02!0n!0n

为泰勒公式的余项．（f(x)的n阶导数记为f(n)(x)，其中f¢¢(x)为f¢(x)的导数，f¢¢¢(x)为f¢¢(x)的导数，f(n)(x)为

f(n-1)(x)的导数．）

(1)若n=3，写出f(x)=ln(1+x)在x=0处的泰勒展开式；

(2)当x>0时，判断第（1）问中R3(x)与0的大小，并证明；

nækönæköæ1öæ2öænö

1+<e1+=1+1+1+

(3)证明：对任意正整数n，有Õç2÷，其中，Õç2÷ç2÷ç2÷Lç2÷．

k=1ènøk=1ènøènøènøènø

16．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’smethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解

的方法，其过程如下：如图，设r是fx=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx

¢¢xr

的切线L，L的方程为y=fx0+fx0x-x0．如果fx0¹0，则L与轴的交点的横坐标记为x1，称x1为

的一阶近似值．再过点x1,fx1作曲线y=fx的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x2，称x2为r的二

r

阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：x1，x2，…，xn，根据已有精确度e，当xn-r<e时，给出近似

解．对于函数fx=x+ex，已知fr=0．

(1)若给定x0=0，求r的二阶近似值x2；

(2)函数hx=xlnx-1-lnx+ex-e-x．

试写出函数hx的最小值m与r的关系式；

①证明：m>e-2．

②

17．（24-25高二下·河南信阳·期末）对于函数Fx，若实数x0满足Fx0=x0，则称x0为Fx的不动点．已知函

数fx=x-aex．

(1)若fx的极小值小于-e，求a的取值范围；

(2)当a=1时，求函数Fx=fx-1的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．

18．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数fx的导数为f¢x，f¢x的导数为fx的二阶导数，记作

a,b

f¢¢x．若函数fx在包含x0的某个开区间上具有二阶导数，那么"xÎa,b，

f¢x0f¢¢x02

gx=fx+x-x+x-x，我们把gx称为函数fx在x=x0处的二阶拟合函数．

01!02!0

(1)写出函数y=ex在x=0处的二阶拟合函数jx，并证明ex³jx对xÎ0,+¥恒成立；

(2)若ex+cosx³ax+2对xÎ0,+¥恒成立，求a的取值范围；

x2

(3)设函数gx=x-2e+mx-1m>0的两个零点为x1，x2，gx在x=1处的二阶拟合函数为hx，证

明：hx有两个零点x3，x4，且x1+x2<x3+x4．

考点三解析几何新定义问题

1．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点F1,0，直线l:x=4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离

的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（）

x2y2

A．点P的轨迹方程是+=1

43

B．直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线”

C．平面上有一点A-1,1，则PA+2PF的最小值为5

D．点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0是没有交汇的轨迹（即没有交点）

2．（24-25高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互

相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭

y2

圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：x2+=1(a>1)上的两个动点，动点P在直线3x+4y-10=0上，若

a

æpö

ÐAPBÎç0,÷恒成立，则E的离心率的取值范围为（）

è2ø

æ6öæ3öæ1öæ2ö

A．ç0,÷B．ç,1÷C．ç,1÷D．ç0,÷

è3øè3øè3øè3ø

2

3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知曲线C：x2+y2=9x2-y2是双纽线，则下列结论正确的是（）

A．曲线C的图象不关于原点对称

B．曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为-¥,-1

D．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

4．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线G的对称中心为原点O，若对于G上的任意一点A，均存在G上两点

B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线G为“完美曲线”．现有如下两个命题：

任意椭圆都是“完美曲线”；存在双曲线是“完美曲线”．

①下列判断正确的是（）②

A．是真命题，是假命题B．是假命题，是真命题

C．①都是真命题②D．①都是假命题②

①②①②

5．（2025·陕西延安·模拟预测·多选）在平面直角坐标系xOy中，定义原点的“相伴点”是原点，当Px,y不是原点

æyxö

时，P的“相伴点”为P¢ç,÷．平面曲线C上所有点的“相伴点”所构成的曲线C¢定义为曲线C的“相

ç2222÷

èx+yx+yø

伴曲线”，则下列说法正确的是（）

æ43ö

A．若A的坐标为3,4，则A的“相伴点”A¢的坐标为ç,÷

è55ø

B．若不在直线y=x上的点A的“相伴点”是点A¢，则直线OA¢与直线OA关于直线y=x对称

C．若曲线C是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”C¢也是圆

D．若曲线C是一条直线，则曲线C的“相伴曲线”C¢也是一条直线

6．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努

利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到

两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲

线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点Px,y满足到两个定点F1-a,0，F2a,0(a>0)的距离之积为4，

则下列结论正确的是（）

A．a=2

B．点Mx,1(x>0)在C上，则∣MF∣1=22

x2y2

C．点N在椭圆+=1上，若F1N^F2N，则NÎC

62

D．过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，则∣AB∣<2

7．（23-24高二上·江西·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E：x2+y2=a2-b2a>b>0上任意一

x2y2

点作双曲线C：-=1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双

a2b2

x2

曲线W：-y2=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若ÐPAB=30°，则

3

VPAB的周长为.

5+1

8．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”

2

x2y2

C:-=1(b>0)，则C的虚轴长为．

25-2b2

2

92025··2y

．（河南南阳模拟预测）已知双曲线C:x-=1b>0的两条渐近线分别为l1:y=3x，l2:y=-3x，若

b2

点A，B分别在l1，l2上（A，B不同于原点O），且直线AB是C的切线，则称△OAB是C的“渐切三角形”．已知

ty

C在点s,t处的切线方程为sx-=1．

b2

(1)写出C的一个“渐切三角形”的顶点A，B的坐标及切线AB的方程，并求出其面积；

(2)已知点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0分别在l1，l2上，△OAB的面积为3，试问△OAB是否是C的“渐切三角

形”？并说明理由；

(3)若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦点，证明：ÐAFB为定

值．

10．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的

三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：x2=2pyp>0的焦点为F，直线l：y=2过点

F，过x轴下方的一点P作C的两条切线l1，l2，且l1，l2分别交x轴于点A，B，交l于点M，N.

(1)若VPMN为阿基米德三角形，求ÐMPN；

(2)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点.

11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个

顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭

圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.

(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

2222

xyxy¢

(2)如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)，椭圆C:+=1a¢>b¢>0的离心率为e,C1与C2相似，且C1与

1a2b22a¢2b¢2

C的相似比为，若AFB的面积为S，求¢¢的面积（用，，表示）；

2k:1V2VA¢F1F2e¢kS

2