2026秋高三数学复习 数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题(原卷版)

数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练

考点目录

奇偶数列问题数列不等式恒成立问题

数列递推问题

考点一奇偶数列问题

ì2,n为奇数

1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列an的通项公式an=í，则数列an的前10项和为

în+1,n为偶数

（）

A．35B．40C．45D．50

ì2n-1,n为奇数

2．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列{an}的通项公式为an=ín，则数列{an}的前n项和S10=

î2,n为偶数

（）

A．107B．1409C．1414D．112

ìn+2

ïan-1，n为奇数

3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列an的首项为1，an+1=ín，则数列an的前20项

ï，为偶数

îan+1n

和为（）

A．190B．380C．210D．420

ìan,n为奇数

4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列a满足a1=1，a2=2，且an+2=í，则a的前51

n为偶数n

îan+1-an,n

项的和为（）

A．37B．40C．42D．46

ìan+2,n为奇数,

5．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）已知数列an满足a1=1，an+1=í则a100=（）

为偶数

î2an,n,

A．5´250-2B．5´250-4C．5´249-2D．5´249-4

ìan

ï,当an为偶数时

6．（2025·海南海口·模拟预测·多选）若数列{an}满足：an+1=í2，已知a4=1，则S4=（）

ï当为奇数时

îan-3,an

A．14B．15C．17D．18

ìan+1,n为奇数

7．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试·多选）已知Sn是数列a的前n项和，a1=1，an+1=í，则

n为偶数

îan+2,n

（）．

A．an是递增数列B．a5=7C．a10=13D．S20=300

ìan+1,n为奇数

8．（2025·湖北黄冈·二模）已知数列a的首项为a1，前n项和为Sn，且an+1=í，若

n为偶数

î2an+1,n

2000<S16<2510，则a1的取值范围为

ìan+n-3,n是奇数，

9．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列a满足a1=1，an+1=í则数列a的前20项和

n是偶数，n

î2an,n

S20=．

ì2an,n为奇数*

10．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列a满足：a1=1,an+1=í,nÎN．

n为偶数

îan+1,n

(1)若bn=a2n-1，求数列bn的通项公式；

(2)若Sn为数列an的前n项和，求S100．

ì2n+1

为偶数

ïnan,n

ï3

11．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列an中，a1=2,an+1=í

3n+1

ïa,n为奇数

îï2nn

(1)求数列an的通项公式.

*p,q,r

(2)数列an中是否存在不同的三项ap,aq,arp,q,rÎN恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存

在，请说明理由.

12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设an是等差数列，bn是等比数列，a1=b1=1，且a2-b2=a3-b3=1.

(1)求an与bn的通项公式；

ìa,n=2k-1,kÎN*

ïn

(2)设cn=í1*，求cn的前2n项和T2n．

ï,n=2k,kÎN

îlog2bnlog2bn+2

ìan+1,n为奇数，

13．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列a的首项是1,an+1=í

n为偶数

îan+2,n.

(1)证明：an的奇数项成等差数列；

(2)求an的前n项和Sn.

2

14．（25-26高三上·浙江·开学考试）记Sn为正项数列an的前n项和，已知2Sn=an+an

(1)求数列an的通项公式；

ì1

ï,n为奇数

(2)设数列bn=íanan+2，求数列bn的前2n项和T2n.

ï为偶数

îan+1,n

ìM

ï,n为奇数,

ïan

15．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知各项均为正数的无穷数列an满足：an+1=í，其中

a+a

ïnn-1,n为偶数

îï2

M是正实数.

(1)若a1=3，M=10，写出a2，a3，a4的值；

(2)若数列an中存在一项akk³2，ak=M，证明：ak-1=ak+1=M；

*

(3)若数列an中每一项都不是M，证明："kÎN，a2k+2<a2k+4<M<a2k+3<a2k+1.

考点二数列不等式恒成立问题

1．（24-25高二上·广西百色·期末）已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an-2，若lan³2log2an+3对任意正

整数n恒成立，则实数l的取值范围是（）

7755

A．l>B．l³C．l>D．l³

4422

9

2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知数列a满足2aa+a=3a，且a=，则使不等式

nnn+1n+1n211

111

++L+<100成立的n的最大值为（）

a1a2an

A．98B．99C．100D．101

n-1n+1

3．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列an满足a+3a+9a+L+3a=，设数列an的前n项和

123n3

为Sn，若Sn<k恒成立，则实数k的最小值为（）

2175

A．B．C．D．

3266

Sn

n*

4．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，对"nÎN，

Tn2n+3

a

$M>0，n<M，则M的最小值为（）

bn

111

A．B．C．D．1

542

11

5．（24-25高二下·浙江·期中）已知数列an是等差数列，bn=，且a1=1，b1=，数列bn的前n项和为

anan+13

Tn，若不等式l³Tn恒成立，则实数l的最小值为（）

111

A．1B．C．D．

234

6．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn=an+1-2n+1，数列bn满足

an+1

bn=，记bn的前n项和为Tn，若Tn<m恒成立，则m的最小值为（）

anan+1

111

A．1B．C．D．

234

7．（24-25高二上·云南大理·期末·多选）已知等比数列an的首项a1>0，公比为qq¹1，前n项和为Sn，前n项

积为Tn，则（）

A．若数列Sn是递增数列，则q>0

B．当a1=1时，数列Tn是常数列

C．当0<q<1时，存在实数M，使得Sn<M恒成立

D．若T5>T6>T4，则使得Tn>1成立的n的最大值为10

8．（24-25高二下·福建福州·期中·多选）已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an-4，若ln³2log2an+1对任

意正整数n恒成立，则实数l的值可以为（）

13119

A．B．C．5D．

222

9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习·多选）已知首项均为1的等差数列和等比数列anbn,an的公差d恰好为bn

公比的倒数，若an£bn恒成立，则d的取值可以是（）

115-1

A．-2B．-C．D．

222

+

10．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）对数列an，a1=2，对于任意的n,mÎN，都有am×an=am+n，若

9

+

l£an+对于任意的nÎN恒成立，则l的最大值为．

an

11．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，

aa+1

S=nn+1．

n4

（1）{an}的通项公式为an=．

*n

（2）若对于任意nÎN，2×l³Sn恒成立，则实数l的取值范围为．

12．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知数列an的通项公式是an=2n-1，记bm为an在区间

m

[m,2)(mÎN+)内的项的个数，则使得不等式bm+1-bm>2025成立的m的最小值为.

13．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=4，S4=10．

(1)求an的通项公式；

(2)求an的前n项和Tn；

2

(3)若n³N0时，2Sn<an-3n+1-2恒成立，求正整数N0的最小值．

ìS1

14．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设数列a的前n项和为S,S=S=1，且n+1是公差为的等

nn12í2

îSn

差数列．

ìS

(1)证明：数列ín是等比数列；

în!

(2)求an的通项公式；

(3)若an>m对于任意正整数n均成立，求整数m的最大值．

1

15．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知a=,a+3aa=a．

26n+1nn+1n

(1)求{an}的通项公式；

an1111

(2)令bn=，Tn为bn的前n项之积，求证：+++L+<lnn+1．

an+1bT11b2T2b3T3bnTn

16．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列an满足a1=1，a2=3，且对任意正整数n³3有an=3an-1-2an-2，

数列bn满足b1=1，bn=an-an-1n³2

(1)证明：数列bn是等比数列；

2n-1

(2)设cn=，数列cn的前n项和Sn；

bn

求Sn；

①nn

若不等式-1l<S+对任意的正整数n恒成立，求实数l的取值范围．

n2n-2

②

*

17．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）"nÎN，都存在唯一的实数cn，使得fcn=n，则称函数fx存在“源

数列”cn．已知fx=x-lnx,xÎ0,1．

(1)证明：fx存在源数列；

l

(2)若fx-£0恒成立，求l的取值范围；

x

①7

记fx的源数列为c，前n项和为S．证明：S<．

nnn4

②

*

18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2且Sn+1=2Sn+2nÎN.

(1)求数列an的通项公式；

*n

(2)设bn=2n+1an，记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nÎN，lTn-2£3恒成立，求l的取值范围.

考点三数列递推问题

11

1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列an中，a1=-,an+1=1-，则a9=（）

4an

458

A．B．C．D．5

543

2．（24-25高二下·吉林白山·期末）已知数列an满足a1=2，a2=6，且an+2+an=2an+1+1，若x表示不超过x

223220252

的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则++×××+＝（）

a1a2a2024

A．2023B．2024C．2025D．2026

an+1ann

3．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列an满足3-3=2，且a1=1，则数列an的通项公式为（）

nn-1

A．an=2-1B．an=log32+1

nn+1

C．an=log32+1D．an=log32-1

aa2

n+1=n+nÎN*

4．（24-25高二下·山东淄博·期末）数列an满足a1=-1，且，则a2025=（）

n+1nnn+1

A．2022B．2023C．2024D．2025

2n+1

a=a+

5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列a满足a=1，n+1n2，则使得a>1.98成立的最小自然数

n1n2n+1n

n为（）

A．5B．6C．7D．8

11

6．（24-25高二下·四川资阳·期末·多选）数列an满足an+1=，a1=-，则（）

1-an3

3

A．a=B．a为递增数列C．a为周期数列D．a=2024

24nn2025

2

7．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习·多选）记Sn为正项数列an的前n项和，且Sn=an-an+1，则（）

A．a1=1B．S2=2

C．数列an单调递增D．an+1-1£an

*n

8．（24-25高二下·江西吉安·期末·多选）已知数列an满足a1=2,an+1=2an+1an-3an+2nÎN，其前项和为

Sn，则（）

6ì1

A．a3=B．数列í为等差数列

5îan-1

C．存在n³2，使得Sn为整数D．对任意n³2，均有Sn-n<1+lnn

an

9．（24-25高一下·上海·期末）已知数列an满足an+1=3an+2，且1=2,为正整数，则an=．

n+1

10．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列an满足an+1+-1an=2n-1，记数列an的前n项和为Sn，则

S6=.

11．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列an中，a1=4，且an+1=an+a1+8n，则

1111

+++L+=.

a1-1a2-1a3-1a2025-1

n

12．（24-25高二下·江西赣州·期末）数列an满足a1=1，a2=3且对于nÎZ+，都有an+2=3an+1-2an+2.

(1)求数列an的a3，a4，a5；

ìa-a

(2)证明数列ín+1n是等差数列；

î2n-1

(3)求an.

13．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列an满足a1=4,an+1=3an-2．

(1)求an的通项公式；

2an-11

(2)若bn=，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn<．

anan+14

1

2x*

14．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数