2026秋高三数学复习 数列：等差数列(解析版)

等差数列

考点一等差数列通项公式、求和公式、特征值的计算

1．（2025·四川成都·一模）在等差数列an中，a3=3，a4+a6=2，则a7=（）

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】B

【详解】在等差数列an中，a4+a6=a3+a7，\a7=a4+a6-a3=-1.

故选：B

2．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，若S10=100，a10=19，则S20=（）

A．320B．400C．480D．560

【答案】B

10(a+a)a-a

【详解】由S=100，得110=100，而a=19，解得a=1，公差d=101=2，

10210110-1

20(20-1)

所以S=20a+d=400.

2012

故选：B

3．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，S3=2S6=6，则S9=（）

A．-9B．-6C．-3D．9

【答案】A

【详解】由题意可得S3=6，S3=3，

因为等差数列an的前n项和为Sn，

由等差数列片断和的性质可知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，

所以2S6-S3=S3+S9-S6，所以S9=3S6-3S3=3´3-3´6=-9.

故选：A.

4．（24-25高二下·四川资阳·期末）在等差数列an中，若a2+a8=10，a4=4，则公差d=（）

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】C

【详解】由等差数列的性质可得a2+a8=2a5=10，则a5=5，故d=a5-a4=5-4=1.

故选：C.

5．（24-25高二下·江西·阶段练习·多选）等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=20,S10=S15，则下列说法正确的是

（）

A．a8=5B．an=n+7

C．当n=12时，Sn取得最大值D．若bn=ancosnπ，则数列bn的前36项和T36=-18

【答案】ACD

【详解】在等差数列an中，有a2+a4=2a3=20,\a3=10，S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=5a13=0,\a13=0，

所以2a8=a3+a13=10,\a8=5，故A正确；

又an=13-n，故B错误．

当1£n£12时，an>0；当n=13时，an=0；

当n³14时，an<0，

故当n=12或13时，Sn取得最大值，C正确，

n

易得bn=(-1)(13-n)，

则T36=-12+11-10+9-L+22-23=(-1)´18=-18，D正确．

故选：ACD.

6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）数列an为等差数列，Sn为其前n项和.已知a4=-5，a10=1，则下列结

论正确的有（）

A．a7=-2B．公差d=1

n

C．S5=30D．当n=8或=9时，Sn最小

【答案】ABD

【详解】因为a4=-5，a10=1，所以a4+a10=-5+1=-4=2a7，解得a7=-2，故A正确.

a10-a41--5

设等差数列an的公差为d，则d===1，故B正确.

10-46

对于选项C，D，法一：因为a1=a4-3d=-5-3=-8，

nn-1117

所以S=-8n+=n2-n，

n222

5´4117

而S=-8´5+=-30；由于二次函数y=x2-x的图象开向上，

5222

17

且对称轴为直线x=，所以当n=8或n=9时，S最小，故C错误，D正确.

2n

法二：因为a1=a4-3d=-5-3=-8，

所以an=a1+n-1d=n-9，故a3=-6，

a+a´5

则S=15=5´a=5´-6=-30；

523

因为an=n-9，所以当n£8时，an<0，且a9=0，

n

当n>9时，an>0，所以当n=8或=9时，Sn最小，故C错误，D正确.

故选：ABD.

7．（2024·上海·三模）设an是等差数列，其前n项和为Sn．若a5=6，S5=20，则a9=．

【答案】10

na+a

【详解】根据等差数列的前n项和公式S=1n

n2

已知a5=6，S5=20，代入可得：

5a+6

S=1=20Þ5a+6=40Þa=2

5211

由等差数列的通项公式ana1+n-=1d

将a5=6,a1=2代入：2+5-1d=6Þd=1

则a9=a1+8d=2+8´1=10.

故答案为：10.

aS

8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）等差数列an中2=5,4=26，则通项公式an=．

【答案】3n-1

ìa2=a1+d=5ìa1=2

【详解】设等差数列an的公差为d，所以íÞí，

îS4=4a1+6d=26îd=3

所以an+2+n-1´3=3n-1，

故答案为：3n-1.

9．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，已知a2=4，S7=0，则an的公差

为.

【答案】-2

【详解】设等差数列an的公差为d，

因为S7=0，所以7a4=0，即a4=0，

又a2=4，所以a4-a2=2d=-4，解得d=-2.

故答案为：-2.

15

10．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S=,2a+a=4a+3，则

32152

a4=.

【答案】4

155

【详解】由等差数列的性质可知3aS==，即a=，

23222

由2a1+a5=4a2+3，得4a3=4a2+3，

13

即a=，又a+a=2a，

34423

所以a4=4.

故答案为：4.

11．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列an中，a2=6,a6=2．

(1)求a8；

(2)记等差数列an的前n项和为Sn，求Sn=an时n的值．

【答案】(1)0

(2)1或16

a-a2-6

【详解】（1）由a=6,a=2，所以公差d=62==-1，

266-26-2

所以an=a2+n-2´-1=-n+8，所以a8=0.

na+an7-n+8n15-n

（2）由（1）可得S=1n==，

n222

n15-n

当Sn=an时，即=-n+8，

2

即n2-17n+16=0，解得n=16或n=1.

故当Sn=an时，n为16或1.

12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列an的前n项和Sn满足S5=25,a2+a5=12.

(1)求an的通项公式；

1

(2)若bn=，求bn的前n项和Tn.

4Sn-1

【答案】(1)an=2n-1

n

(2)T=

n2n+1

5a1+a5

【详解】（1）由S=25==5a可得a3=5，

523

由a2+a5=a3+a4=12可得，a4=7，d=2，

故an=7+2n-4=2n-1.

n1+2n-1

（2）由（1）得S==n2，

n2

1111æ11ö

故bn==2==ç-÷

4Sn-14n-12n-12n+12è2n-12n+1ø

1æ11111ön

则Tn=ç1-+-+L+-÷=.

2è3352n-12n+1ø2n+1

13．（24-25高二下·海南·阶段练习）已知等差数列an满足a3=8,a17=3a5．

(1)求an的通项公式；

1

(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn．

nan

【答案】(1)an=2n+2；

n

(2).

2(n+1)

【详解】（1）若等差数列的公差为d，结合题设有a3+14d=3(a3+2d)，

所以8+14d=24+6d，可得d=2，

故an=a3+(n-3)d=2n+2.

1111

（2）由（1）得b==(-)，

n2n(n+1)2nn+1

11111111n

所以T=(1-+-+L+-)=(1-)=.

n2223nn+12n+12(n+1)

*

14．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列an中，已知a1，a2，a5成等比数列，a2n=2an+1nÎN

(1)求数列an的通项公式；

æπö

(2)若数列bn满足bn=sinçan+1÷+cosπan，求数列bn的前2n项和T2n．

è2ø

【答案】(1)an=2n-1

(2)T2n=-2n

【详解】（1）解：设等差数列an的公差为dd¹0，

*

因为a2n=2an+1nÎN，所以a2=2a1+1，即a1d=+2a1+1，即d=a1+1

22

又因为a1,a2,a5成等比数列，所以a2=a1a5，即a1+d=a1a1+4d，即d=2a1，

ìd=a1+1

联立方程组í，解得a1=1，d=2，

îd=2a1

所以数列an的通项公式是an=2n-1.

æπöéπù

（2）解：由（1）知，bn=sinçan+1÷+cosπan=sin×2n+1+cosëéπ2n-1ûù=cosnπ-cos2nπ，所以

è2øêë2úû

T2n=b1+b2+L+b2n=cosπ+cos2π+L+cos2n-1π+cos2nπ-ëécos2π+cos4π+L+cos4n-2π+cos4nπûù，

因为cosëé2n-1πûù+cos2nπ=-cos2nπ+cos2nπ=0，即cos2nπ=1，

可得cosπ+cos2π+×××+ëés2con-1π+cos2nπûù=0，

cos2π+cos4π+×××+cosëé4n-2πûù+cos4nπ=2n，

所以T2n=-2n，所以数列bn的前2n项的和为T2n=-2n．

考点二等差数列通项公式的性质

1．（24-25高二下·云南·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=（）

A．21B．23C．28D．30

【答案】C

【详解】由题意，nÎN*，

在等差数列an中，前n项和为Sn，若a4=4，

a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4=2´4=8，

S7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=3´8+4=28，

故选：∴C.

2．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正

一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一

品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”

在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实

数a的值为（）.

14545

A．146B．C．D．91

22

【答案】C

【详解】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为n,n-13,n-26,n-39,n-52，

则n+n-13+n-26+n-39+n-52=305，解得n=87，m=n-39=48，

45

又m,3a,n组成新的等差数列，得6a=n+m，解得a=.

2

故选：C

3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列an的公比q¹1，前n项和为Sn，若S3=14，3a1,a2,-a3成等差数

列，则an=（）

n-1n

A．2´3n-1B．3nC．2´-3D．-3

【答案】C

【详解】设等比数列an的首项为a1a1¹0，公比为qq¹1，

ìa1-q3

1ì2

ïS==14ïa11+q+q=14ìa1=2

由题意可得3ÞÞ，

í1-qí2í

ïîï2q=3-qîq=-3

î2a2=3a1-a3

n-1

所以an=2´-3.

故选：C

ì1ü

4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设an是所有项都不为0的无穷等差数列，则“íý为递减数列”是“an为递

îanþ

增数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

111a-a-d

【详解】若{}递减，则-=nn+1=<0

anan+1ananan+1anan+1

因此需要满足：d>0且anan+1>0恒成立；

若a1>0，d>0，则an>0对所有n成立，

若a1<0，，d>0则存在n使得an<0,an+1>0，与anan+1>0矛盾

1

{}递减的充要条件是a1>0且d>0，

an

1

即若{}递减，则an为递增数列，充分性成立；

an

若an为递增数列，则an+1-an>0，

11a-a

-=nn+1，

an+1anan+1an

11

由于不知道an+1an的正负，故无法判断-的正负，

an+1an

ì1ü

故不能得到íý为递减数列，必要性不成立，

îanþ

例如an为以下数列：-1,1,3,5,L，

ì1ü11

则íý为-1,1,,,L，不是递减数列，

îanþ35

ì1ü

所以“íý为递减数列”是“an为递增数列”的充分也不必要条件.

îanþ

故选：A.

14

5．（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列an中，若a3是a与ay的等差中项，则+的最小值为（）

xxy

3569

A．B．C．D．

2355

【答案】A

【详解】因为在公差不为0的等差数列an中，a3是ax与ay的等差中项，

所以23=x+aaay，所以x+y=6，

141æ14ö1æy4xö1æy4xö3

所以+=x+yç+÷=ç5++÷³ç5+2×÷=，

xy6èxyø6èxyø6èxyø2

y4x

当且仅当=，即x=2，y=4时等号成立，

xy

143

所以+的最小值为.

xy2

故选：A.

6．（24-25高二下·湖北孝感·期中·多选）设等差数列an的前n项和Sn,a1>0，公差为d,a7+a8>0且a7a8<0，下

列结论正确的是（）

A．d<0B．a7>0,a8<0

C．n=8时，Sn最大D．S14>0,S15<0

【答案】ABD

【详解】在等差数列an中，由a7a8<0，可得a7,a8异号，

若d³0，由a1>0，则an>0，不满足题意，则d<0，故A正确；

由于d<0，则数列an为递减数列，所以a7>0,a8<0，故B正确；

由于n£7时，an>0；n³8时，an<0，

所以n=7时，Sn最大，故C错误；

14a+a

又S=114=7a+a>0，

14278

15a+a

S=115=15a<0，故D正确.

1528

故选：ABD.

7．（24-25高二下·河北保定·期末·多选）已知等差数列an的公差d>0，则下列说法正确的是（）

ì1ü*

A．若an¹0，则íý是单调递减数列B．若anÎN，则an是单调递增数列

îanþ

an

C．an是单调递增数列D．2是单调递增数列

【答案】BCD

*

【详解】对于A选项，不妨取an=2n-7，则d=2，且对任意的nÎN，an¹0，

11111ì1ü

但=->-1=，=-1<1=，此时数列íý不单调，A错；

a23a3a3a4îanþ

*

对于B选项，若anÎN，由于an+1-an=d>0，故数列an是单调递增数列，B对；

*

对于C选项，对任意的nÎN，由于an+1-an=d>0，故数列an是单调递增数列，C对；

对于D选项，对任意的nÎN*，2an>0，

an+1

2a-ad0an

因为=2n+1n=2>2=1，所以2an+1>2an，故数列2是单调递增数列，D对.

2an

故选：BCD.

2

8．（2025·上海金山·二模）已知an是等差数列，若a3､a7分别是函数y=x-4x+2的两个零点，则a5=.

【答案】2

2

【详解】由题意得a3､a7是x-4x+2=0的两个根，

由韦达定理得a3+a7=4，

a+a

因为a是等差数列，所以a=37=2.

n52

故答案为：2

5

9．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列a的前n项和为S，若aa=2a，且a与2a的等差中项为，则

nn254364

S4=.

【答案】15

【详解】由题意可得a2a5=a3a4=2a4，解得a3=2，

551

因为a与2a的等差中项为，所以a+2a=，则a=，

36436264

3a11a

q=6=3

得到，解得q=，故a1=2=8，

a382q

é14ù

8´1-()

ê2ú

由等比数列求和公式得S=ëû=15.

41

1-

2

故答案为：15.

10．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知an为等差数列，Sn为前n项和.若10为a3与a8的等差中项，则

S10=

【答案】100

【详解】由题意有a3+a8=2´10=20，所以a1+a10=a3+a8=20，

10´a+a10´20

所以S=110==100，

1022

故答案为：100.

11．（2025·河南·二模）已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1是1-Sn与Sn+1的等差中项.

(1)证明：数列Sn是等差数列；

n

(2)设bn=-1×Sn+an，求数列bn的前2n项和T2n.

【答案】(1)证明见解析

(2)2n2+3n

【详解】（1）因为Sn+1是1-Sn与Sn+1的等差中项，所以2Sn+1=1-Sn+Sn+1，

2

所以，

Sn=1+Sn+1-2Sn+1=Sn+1-1

因为数列an的各项均为正数，所以Sn>0，

所以Sn=Sn+1-1，所以Sn+1-Sn=1，

所以数列Sn是公差为1，首项为S1=a1=1的等差数列；

（2）因为数列Sn是公差为1，首项为S1=1的等差数列，

所以Sn=1+n-1´1=n，

2

所以Sn=n，当n=1时，a1=1，

22

当n³2时，an=Sn-Sn-1=n-n-1=2n-1，

所以an=2n-1,

n

所以bn=-1×Sn+an，

T2n=-S1-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4+L+S2n+a2n

=S2-S1+S4-S3+L+S2n-S2n-1-a1-a2+L-a2n

=a2+a4+L+a2n-a1-a2+L-a2n

=-a1+a3+L+a2n-1+2a2+a4+L+a2n

na+ana+a

=-12n-1+2´22n

22

n1+4n-3n3+4n-1

=-+2´

22

=-n2n-1+n4n+2=2n2+3n

12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知Sn是等差数列an的前n项和，且满足S2是a2,a3的等差中项，a3+1

是a2,a5的等差中项.

(1)求数列an的通项公式

n

(2)记bn=(-1)an，求数列bn的前n项和Tn

【答案】(1)an=2n-1

ì-n,n为奇数

(2)Tn=í

în,n为偶数

【详解】（1）设数列an的公差为d，由S2是a2､a3的等差中项得2S2=a2+a3，即22a1+d=2a1+3d，整理得

d=2a1

a3+1是a2､a5的等差中项得2a3+1=a2+a5，即2a1+2d+1=2a1+5d，解得d=2

代入d=2a1，求得a1=1，故an=a1+n-1d=2n-1

n

（2）由（1）得，bn=(-1)2n-1

当n为偶数时，Tn=b1+b2+b3+b4+L+bn-1+bn=

n

-1+3+-5+7+Lé-2n-3+2n-1ù=2+2+L+2=2´=n

ëû2

nn+1

当为奇数时，则n+1为偶数，Tn+1=n+1,bn+1=(-1)ëé2n+1-1ûù=2n+1

Tn=Tn+1-bn+1=n+1-2n+1=-n

ì-n,n为奇数

综上Tn=í

în,n为偶数

考点三等差数列求和公式的性质

Sn3n+4a6

1．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=（）

Tnn+2b6

1113711137

A．B．C．D．

13132626

【答案】B

2n-1a+a

【详解】根据等差数列性质可得S=a+a+a+×××+a=12n-1=2n-1a；

2n-11232n-12n

a11aS3´11+437

所以6=6=11==.

b611b6T1111+213

故选：B

Snn+1a6

2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=

Tn2n+3b5

（）

79413

A．B．C．D．

1317723

【答案】C

【详解】根据已知及等差数列前n项和，设Sn=kn(n+1)，Tn=kn(2n+3)，

aS-S42k-30k4

则6=65==.

b5T5-T465k-44k7

故选：C

3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，S6-S3=24，则S12-S9=

（）

A．36B．48C．60D．120

【答案】B

【详解】由等差数列片段和的性质，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列，

故S9-S6=2(S6-S3)-S3=36，则S12-S9=2(S9-S6)-(S6-S3)=48.

故选：B

4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4，则m=（）

A．8B．7C．6D．5

【答案】C

【详解】方法一：由题意得：am+1=Sm+1-Sm=3，am+2=Sm+2-Sm+1=4，

则等差数列的公差d=am+2-am+1=1，

mm-1

则a1=3-m，S=m3-m+=-3，

m2

所以m=6.

ìSü

方法二：因为等差数列的性质即íný为等差数列，

înþ

SS2S-34

则m+m+2=m+1，得+=0，解得m=6.

mm+2m+1mm+2

故选：C

n

5．（24-25高二下·福建福州·期末）等差数列{an}的前项和为Sn，且S3=9,S6=36，则S9为（）

A．45B．81C．90D．162

【答案】B

【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，

则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，所以2S6-S3=S3+S9-S6，

即2´36-9=9+S9-36，解得S9=81.

故选：B.

6．（24-25高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=8,S8=40，则S12=（）

A．52B．96C．106D．12

【答案】B

【详解】由等差数列an的性质可知：4,8S4,SSS12--S8成等差数列，即8,32,S12-40成等差数列，

所以8+S12-40=2´32ÞS12=96.

故选：B.

2

7．（24-25高二下·重庆·期末·多选）等差数列an的前n项和为Sn，已知Sn=n-Bn+C，a1=-8，则下列选项

中正确的是（）

A．C=0，B=-9B．等差数列an的公差d=2

9

C．使S>0成立的n最小为10D．当n=时，S取得最小值

n2n

【答案】BC

2

【详解】对于A选项，因数列an为等差数列，Sn=n-Bn+C，则C=0，且a1=-8，

则S1=1-B=-8，所以B=9，A错误；

2

对于B选项，由A知Sn=n-9n，则S2=4-18=-14=a1+a2，则a2=-6，

则公差d=a2-a1=2，B正确；

对于C选项，由n2-9n>0，得n>9或n<0，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确；

对于D选项，因为n为正整数，所以D错误.

故选：BC.

a7

8．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）设Sn是等差数列an的前n项和，若S15<0，<-1，则下列结论正

a8

确的是（）

A．d<0B．a7<a8

C．n=7时，Sn最大D．使Sn>0的n的最大值为13

【答案】AC

15a1+a15

【详解】对于AB，由题意S==15a<0，即a8<0，

1528

a7

又<-1<0，所以a7>0，且a7+a8>0，则a7>a8，

a8

故an为递减数列，即d<0，故A正确，B错误；

由于n£7时，an>0，n³8时，an<0，

则n=7时，Sn最大，故C正确；

14a+a

由S=114=7a+a>0,S<0，

1427815

所以使Sn>0的n的最大值为14，故D错误.

故选：AC．

9．（24-25高二下·海南·阶段练习·多选）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=-10,a6<0,S12>0，则（）

A．S5=-50B．a7>0C．Sn³S11D．a3<a10

【答案】AB

【详解】A：因为数列an是等差数列，

5a+a5×2a5´2´-10

所以S=15=3==-50，因此本选项正确；

5222

B：因为数列an是等差数列，

12a1+a12

所以由S>0Þ>0Þa+a>0Þa+a>0，而a6<0，

12211267

所以a7>0，因此本选项正确；

C：由上可知：a6<0，且a7>0，设等差数列公差为d，所以d>0，

而且从首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，因此前六项和最小，故Sn³S6，因此本选项不正确；

D：由上可知：a6<0，且a7>0，可得

ì-10+3d<01010707010401040

íÞ<d<Þ<7d<Þ<-10+7d<Þ<a10<

î-10+6d>063636363

1040

Þ<a<，因此无法判断a,a之间的大小关系，

6103310

故选：AB

10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an中，a1=10，an=an-1-4n³2，则数列an的前n项和的最大值

等于

【答案】18

【详解】当n³2时，an-an-1=-4，且a1=10，

所以，数列an是首项为10，公差为-4的等差数列，

nn-122

则数列an的前n项和为S=10n+´-4=-2n+12n=-2n-3+18，

n2

*

因nÎN，故当n=3时，Sn取得最大值18．

故答案为：18．

11．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知Sn是等差数列an的前n项和，a1=1，S7=