2026秋高三数学复习 空间向量与立体几何：最值与范围问题、截面与轨迹问题、立体几何新定义问题(原卷版)

空间向量与立体几何：最值与范围问题、截面与轨迹问题、立体几何新定义问题

专项训练

考点目录

最值与范围问题截面与轨迹问题

立体几何新定义问题

考点一最值与范围问题

1．（24-25高二下·河南新乡·期末）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，

ÐBAD为锐角，E，F，G分别是AB，BC，A1D的中点．

(1)证明：EG平面C1DF．

∥

(2)求二面角C1-DF-C的余弦值的最大值．

2．（24-25高二下·广西·阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，平面PAB^平面ABCD，平面PAD^平面ABCD，底

面ABCD为正方形.

(1)求证：AP^平面ABCD；

(2)设PD的中点为E且AE^PC，PA=4.若Q为平面ABCD上的一点，且QB+QD=211，求PQ与平面ABCD所

成角正弦值的最小值.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

3．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥S-ABCD中，SD=2SM，AC=2AN，DA×DS>0，

2

AB=BC=AC=AM=AD=CD=2，ÐSCA=90o．

2

(1)求证：AC^平面BMN；

(2)若二面角M-AC-D的正切值为2，求四棱锥S-ABCD的体积；

(3)求直线SC与平面ACM所成角的余弦值的最小值．

4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形DFC中，FD=FC，A、B、E分别在线段DF、

FC、CD上，且AB∥CD，AE∥FC．已知FA=1，AD=2，沿AE将VDAE折起，使得平面DAE^平面

AFCE，如图2．

(1)求证：平面BDE^平面ABD；

(2)求直线DF与平面EDC所成角的正弦值；

(3)点Q在线段DF上，设直线BQ与直线BE所成角为q，求cosq的最大值．

5．（2025·山西·二模）VABC中，AB=AC，AB^AC，BC=4，D是BC的中点，E是AB的中点，F是BD的

中点.如图，将△BEF和VACD分别沿EF、AD向平面ADFE的同侧翻折至VMEF和△ADN的位置，且使得

DN//MF.

(1)证明：A、E、M、N共面；

6

(2)若MN=，求三棱锥A-DEN的体积；

5

(3)求平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值.

6．（24-25高二下·江苏南通·期末）如图，已知圆台OO1的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角

为30°．

(1)求圆台OO1的体积；

(2)设AA1，BB1分别是圆台OO1的两条母线．

（ⅰ）求证：AB//A1B1；

（ⅱ）若ÐAOB=120°，P是圆O1上的动点，求直线OP与平面O1AB所成角正弦值的最大值．

r

7．（2025·河南郑州·三模）在空间直角坐标系O-xyz中，已知向量u=a,b,cabc¹0，经过点P0x0,y0,z0，且以

r

u为法向量的平面α的方程为ax-x0+by-y0+cz-z0=0．

(1)求原点O到平面x-y-z-4=0的距离；

(2)根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出Px0,y0,z0到平面A¢x+B¢y+C¢z+D¢=0的距离公式，并

利用有关知识证明；

(3)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，平面CDD1C1的方程为x-2y+z-2=0，平面ADD1A1经过点

E0,0,1,F1,1,2,G2,2,1，平面ACC1A1的方程为kx-ty-2z+1=01≤t≤2，求平面CDD1C1与平面ACC1A1夹角

的余弦值的最大值．

8．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，已知菱形ABCD和等边三角形BCE有公共边BC，点B在线段AE上，

BC与DE交于点O，将VBCE沿着BC翻折成△PBC，得到四棱锥P-ABCD，BC=2．

(1)求证：平面PBC^平面POD；

(2)若DP=3，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

(3)求直线PA与平面PBC夹角正弦值的最大值．

考点二截面与轨迹问题

1．（2025·新疆喀什·模拟预测·多选）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD内的动点（包

含边界），点F为BC的中点，则（）

A．三棱锥A1-B1D1E的体积为定值

B．若D1E^B1D，则动点E的轨迹长度为22

C．若点E在线段AB上（不包含端点），则四棱锥D1-AECD存在外接球

D．若点E为AB的中点，则过D1,E,F三点的平面与该正方体的截面周长为213+2

2．（2025·广东惠州·模拟预测·多选）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（）

A．B1C^BD1

1

B．三棱锥C-BCE的体积为

112

41π

C．三棱锥C-BCE的外接球的表面积为

1116

32

D．由B1，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为+5

2

3．（2025·江西新余·一模·多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AA1、CC1、

C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点（不包含端点），则（）

A．四面体BCC1P的外接球的表面积为9p

B．存在点Q，使B、N、P、Q四点共面

．过Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-ABCD所得截面面积取值范围为0,25ù

C1111û

π2π

D．点H是四边形AA1B1B内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为

43

4．（2025·湖北·三模·多选）如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P

在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为22，点Q为CC1上一点，且

uuuruuuur

CQ=3QC1，则下列结论中正确的有（）

A．正三棱台ABC-A1B1C1的高为26

B．点P的轨迹长度为3π

463

C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内

36

3

D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为π

2

5．（24-25高三下·云南·阶段练习·多选）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=4,D为棱AB的中点，下列说法

正确的是（）

A．AC1^B1D

B．AA1上存在点E，使得DE∥面A1BC

C．过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的最小值为π

D．以C1为球心，5为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为π

6．（2025·浙江·三模·多选）如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且

33

DD=AA=CC=3BB=6，点E在线段CC上，平面BED1交线段AA1于点F，点G在线段DD1上，则（）

1212111

A．存在G，使得AG1//面DC1B

B．若G是DD1的中点，则B1G^A1D

C．过四点A1，C1，B，D四点的外接球体积为86p

D．截面四边形BED1F的周长的最小值为413

7．（2025·海南·模拟预测·多选）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P为侧面ADD1A1内的一个动点

（含边界），点E,F,G分别是线段BC、CC1、BB1的中点，则下列结论正确的是（）

11

A．直线AG//平面AEFB．平面AEF截正方体所得的截面面积为

12

uuuruuur11

C．PB×PF的最小值为D．若PF^BD1，则点P的运动轨迹长度为22

14

8．（24-25高一下·山东菏泽·期末·多选）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AD，DD1的

中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列说法正确的有（）

A．过B1，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是四边形

B．存在点P，使得FP//平面ABC1D1

C．FP+B1P的最小值为17

D．若FP^CP，则点P轨迹的长度为2π

考点三立体几何新定义问题

rrrr

1．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算ar´b，规定：ar´b为同时与

rrrrrrrrr

ar,b垂直的向量；ar,b,ar´b三个向量构成右手系（如图1）；|a´b|=absináa,bñ．如图2①，在长方体中

②③

ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4，则下列说法中错误的是（）

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

A．AB´AD=AA1B．AB´AD=AD´AB

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuur

．AB+AD´AA=AB´AA+AD´AA．V=AB´AD×CC

C111DABCD-A1B1C1D11

2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规

定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧

度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个

ππ

顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3´=π，故其总曲率为4π，则正十二面

33

体的总曲率为（）

A．2πB．4πC．8πD．12π

3．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正

六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截

角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相

同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（）

A．60B．90C．120D．180

4．（2025·河北保定·二模）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：

多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每

ππ

个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π-3´=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与

33

底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为（）

p3p2p

A．B．pC．D．

243

5．（2025·河南·三模）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公

垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最

短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，

则（）

AB×CDAB×CD

A．r<B．r<

2AB+CD4AB+CD

AB×CD×ADAB×CD×AD

C．r<D．r<

2AB+CD+AD6AB+CD+AD

6．（2025·江西新余·模拟预测）在空间中，我们把点集A=x,y,z|x2+y2=r2,zÎR表示的曲面C称为圆柱面，

借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与z轴平行或垂直的平面与C截成的封闭曲线为椭

圆．设圆柱面E：x,y,z|x2+y2=1,zÎR，高不平行于坐标面的正四棱锥A-PBCD的五个顶点均在E上，则其

体积的最小值为：（）（注：若正方形ABCD的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这个正方形可以被唯一确定）．

356

A．B．1C．D．

222

7．（24-25高三上·云南楚雄·期末·多选）空间中，平面Ω上的动点Px,y,z满足方程

222r

Γ:Ax+By+Cz=D,A+B+C>0，则称Γ为平面Ω的方程，同时也称平面Ω的方程为Γ，并称n=A,B,C为

平面Ω的一个法向量.已知方程分别为Γ1:2x-y-z=0,Γ2:3x-2y-z=0的平面Ω1,Ω2的交线为l，则下列结论正确

的是（）

A．经过点M11,0,0,M20,1,0,M30,0,1的平面Ω的方程Γ为x+y+z=1

23

B．若方程为Γ:ax+ay+az=14的平面Ω经过点Q1,1,1，则满足条件的实数a的个数为3

1

C．若平面Ω的方程为Γ:Ax+By+Cz=1，则坐标原点O到平面Ω的距离为

A2+B2+C2

3

D．l与方程为Γ3:x+2y-2z=1的平面Ω3所成角的正弦值为

9

8．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都

可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关

系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V-E+F=2．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是

（）

注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体

A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥

B．存在7条棱的多面体

C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同

D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均

相同，则面数的所有可能取值为6，7，12

r

924-25··r

．（高三上贵州贵阳期末）对于两个空间向量a=x1,y1,z1与b=x2,y2,z2，我们可以定义它们之间的欧

r

式距离为r222，欧式距离可以简单理解为两点之

da,b=x1-x2+y1-y2+z1-z2

间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为

rr

Da,b=x1-x2+y1-y2+z1-z2，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈

顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为1

uuuuruuur

的正方体ABCD-A1B1C1D1中，dBD1,CB1=；若点P在上底面DCBA1111内（含边

uuuruuuruuur

界）运动，且AP=2，则DAB,AP的取值范围是．

10．（2025·海南儋州·模拟预测）在空间直角坐标系中，定义点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)两点之间的“直角距离”

d(A,B)=x1-x2+y1-y2+z1-z2．若A和B两点之间的距离是5，则A和B两点之间的“直角距离”的最大值

为．

11．（2025·湖南邵阳·模拟预测）设正四面体的四个顶点到平面a的距离所构成的集合为A，若A中元素的个数为

k，则称a为正四面体的k阶等距平面，A为正四面体的k阶等距集.如果a为正四面体的1阶等距平面且1阶等距

集为m，则符合条件的平面a有个；若正四面体的棱长为6，则m的所有可能取值构成的集合为.

12．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，

1

定义多面体M在点P处的离散曲率为Φ=1-ÐQPQ+ÐQPQ+L+ÐQPQ+ÐQPQ，其中

P2π1223k-1kk1

Q1i=1,2,L,k,k³3为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,Q2PQ3,…平面和平面QkPQ1为多面体M的

所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥P-ABC．

(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

3

(2)若PA平面ABC，AC^BC,AC=BC=2，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直

8

⊥30

线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度

6

13．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：

多面体顶点的曲率等于2π减去多面体在该点处所有面角之和；多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之

和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用①②

ππ

弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为2π-3´=π．

33

(1)如图1，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，ÐADC=60°，O为BD的中点，且PO^平面ABCD，

AB=2PO=2．

求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；

①求二面角P-AB-D的平面角的正弦值；

(2)②瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧

拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足V+F-E=2．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60

（C60）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形

似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（C60）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体

有60个顶点，试求碳60（C60）各顶点的平均曲率．

14．（24-25高一下·广东广州·期中）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足

V+F-E=2的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：

(1)碳60C60的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的

60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；

(2)规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的

多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点

ππππ

有3个面角，每个