2017-2026十年高考数学专项汇编专题16 三角函数与解三角形解答题（六大考点48题）（教师版）

1

专题16三角函数与解三角形解答题

（六大考点，48题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.高考解答题高频基础题型，多为第

2026北京卷、2026天津卷、2026

一道解答题，难度偏低、套路固定。

上海卷、2025全国二卷、2024上

2.核心考查三角函数解析式求解、周

考点01三角函数海卷、2023北京卷、2019浙江卷、

期、单调区间、最值、零点、奇偶性、

综合解答2018北京卷、2017山东卷、2017

切线方程综合应用。3.新高考常设置

浙江卷、2017江苏卷、2017上海

条件选做题型，结合参数范围、区间

卷、2017北京卷

零点个数创新设问，梯度清晰。

1.解三角形解答题核心基础考向，设

2026全国一卷、2023新课标Ⅰ卷、问常规、得分稳定。2.依托正弦定理、

考点02解三角形2023新课标Ⅱ卷、2018北京卷、余弦定理，结合三角形中点、延长线、

—求边长2018全国Ⅰ卷、2017山东卷、平面四边形模型求解边长。3.常搭配

2017全国Ⅱ卷三角形高、线段长度计算，注重边角

互化与方程思想。

2025天津卷、2024天津卷、20231.天津卷必考解答题型，全国卷高频

天津卷、2020全国Ⅰ卷、2019江考查，设问分层细致。2.核心求解三

考点03解三角形苏卷、2019北京卷、2019天津卷、角形内角、边角对应三角函数值、两

—求角及三角值2019全国Ⅰ卷、2018江苏卷、角差正弦值等。3.多为三小问梯度设

2018浙江卷、2018天津卷、2017问，从基础求角到三角恒等变换综合，

天津卷衔接性强。

1.中档常规解答题型，考查频次稳定。

2.结合三角形面积公式、正余弦定理，

考点04解三角形2026全国二卷、2024新课标Ⅱ卷、

先求边角再整合求解周长。3.常结合

—求周长2017全国Ⅰ卷

钝角三角形判定、边角约束条件，考

查基础综合运算能力。

考点05三角形面2025上海卷、2024新课标Ⅰ卷、1.解三角形解答题重难点，常作为第

1

积及其最值2023全国甲卷、2023全国乙卷、二小问拉分考点。2.核心考查三角形

2023上海卷、2019全国Ⅲ卷、面积计算、面积取值范围、面积最大

2017全国Ⅲ卷、2017北京卷值求解。3.结合锐角三角形限制、动

态边角变化，常搭配基本不等式、函

数单调性求最值，综合性强。

1.新高考特色创新题型，为北京卷必

考题型，全国卷逐步推广。2.采用条

件自选式劣构设问，多条件二选一/三

考点06三角劣构2025北京卷、2024北京卷、2021

选一，需先判断条件可行性。3.考查

性开放试题北京卷、2020北京卷

题型唯一性判定、三角形存在性、边

长高、面积、中线长求解，侧重逻辑

辨析与解题严谨性。

考点01三角函数

π

1.（2026·北京·高考真题）已知函数f(x)2sinxcos2cosxsin，0，2．f(x)最小正周

π

f()1

期为π，且f(0)0，4．

(1)求、的值；

(2)求f(x)的单调递减区间．

π

【答案】(1)2，3

π7π

kπ,kπkZ

(2)1212

fx2sinx

【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，

π

f00,f1

再由4列式求；

（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.

fx2sinxcos2cosxsin

【详解】（1）因为，

1

fx2sinx

所以，

fx

又的最小正周期为π，0，

2π

π

所以，所以2，

π

f00,f1

因为4，

π

2sin21

所以sin0，4，

π1

0cos

所以2，2，

π

所以3，

π

fx2sin2x

所以3，

ππ3ππ7π

2kπ2x2kπkπxkπ

（2）令232，kZ，可得1212，kZ，

ππ7π

fx2sin2xkπ,kπ

kZ

函数3的单调递减区间为1212.

π

f(x)sin(2x)

2.（2026·天津·高考真题）已知6．

(1)求最小正周期；

ππ

x,

(2)若612，求f(x)的最大值和最小值；

π3

(0,)sin

(3)若2，3，求f()．

【答案】(1)π

31

(2)最大值为2，最小值为2

261

(3)6

【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；

（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；

（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.

2π2π

Tπ

2

【详解】（1）；

1

πππππ

x,2x,

（2）若612，则663，

π1

πππfxf

2xxfxmin

由正弦函数性质可知，当66，即6时，函数有最小值，即62，

π3

πππfxf

2xxfxmax

当63，即12时，函数有最大值，即122.

31

fx

所以函数的最大值为2，最小值为2；

π36

0,sincos1sin2

（3）若2，3，所以3，

221

sin22sincoscos212sin2

则3，3，

πππ22311261

fsin2sin2coscos2sin

则66632326.

fxsinx0,0π

3.（2026·上海·高考真题）已知函数.

π

f0

fx

(1)当2，12，求函数在x0处的切线方程；

2

fxfxx0,2026π

(2)若函数的最小正周期为3π，且2在上恰好有1351个解，求的取值范围.

1

y3x

【答案】(1)2

ππ3π

0

(2)12或44，

π5π

f0fxsin2x

【分析】（1）根据2以及12可得6，即可求导以及点斜式求解直线方程，

（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.

fxsin2x

【详解】（1）当2时，则，

πππππ

f0fsin0kπ,kZkπ,kZ

根据12可得126，故6，故6，

5π5π

fxsin2x

由于0π，故6，故6，

5π5π

fx2cos2xf02cos3

6，则6，

1

11

fxy3x0y3x

故函数在x0处的切线方程为2，故2，

2

2π2fxsinx

fx

（2）函数的最小正周期为3π，故3π3，所以3，

4052π

2t,

txx0,2026π

令3，当，则3，

2π3π

sintt2kπt2kπ,kZ

令2，则4或4，

π4052π

2π675<

43

3π4052π

2π675

43

π2ππ

0sint00

当4时，要使得2有1351个实数根，则4，解得12，

3π4052π

2π675<

43

9π4052π

2π675

43

π3π2π3ππ3π

sint

当44时，要使得2有1351个实数根，则44，解得44，

9π4052π

2π675<

43

11π4052π

2π675

43

3π23π

πsintπ

当4时，要使得2有1351个实数根，则4，无解，

ππ3π

0

综上可得12或44.

1

fxcos2x(0π),f0

4.（2025·全国二卷·高考真题）已知函数2．

(1)求;

π

g(x)f(x)fx

(2)设函数6，求g(x)的值域和单调区间．

π

【答案】(1)3

π5π5π11π

3,3kπ,kπ,kZkπ,kπ,kZ

(2)值域为，单调递减区间为1212，单调递增区间为1212.

1

cos,0π

【分析】（1）直接由题意得2，结合余弦函数的单调性即可得解；

π

gx3cos2x

gx

（2）由三角恒等变换得6，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单

1

调区间.

1π

f0cos,0π

【详解】（1）由题意2，所以3；

π

fxcos2x

（2）由（1）可知3，

ππ

gxfxfxcos2xcos2x

所以63

1333π

cos2xsin2xcos2xcos2xsin2x3cos2x

22226，

gx3,3

所以函数的值域为，

ππ5π

2kπ2xπ2kπ,kZkπxkπ,kZ

令6，解得1212，

π5π11π

π2kπ2x2π2kπ,kZkπxkπ,kZ

令6，解得1212，

π5π

kπ,kπ,kZ

gx

所以函数的单调递减区间为1212，

5π11π

kπ,kπ,kZ

gx

函数的单调递增区间为1212.

π

f(x)sin(x)

5.（2024·上海·高考真题）已知3，0

yfx,x0,π

(1)设1，求解:的值域;

xπ,a

(2)aπ(aR),f(x)的最小正周期为π，若在上恰有3个零点，求a的取值范围.

3

,1

2

【答案】(1);

7π17π

a,

(2)36

【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.

（2）利用三角函数的性质求解参数即可.

π

fxsinx

【详解】（1）因为1，所以3，

ππ4π

tx,t,

x0,π

因为，所以令333，

1

πππ4π

,,

ygtsint

由正弦函数性质得在32上单调递增，在23上单调递减，

π4π3π33

g1,g,gy,1

2

所以23232，故，

2ππ

Tπfxsin2x

（2）由题意得，所以2，可得3，

ππkπ

fx02xkπx

当时，3，kZ，即62，kZ，

5π

xπ

当k2时，6，不符合题意，

4π

xπ

当k3时，3，符合题意，

11π

xπ

当k4时，6，符合题意，

7π

xπ

当k5时，3，符合题意，

4π4π3

TaT

所以332，

7π17π7π17π

aa,

即36，故36.

π

f(x)sinxcoscosxsin0,||

6.（2023·北京·高考真题）设函数2．

3

f(0)

(1)若2，求的值．

π2π2π

,f1

(2)已知f(x)在区间33上单调递增，3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为已知，使函数f(x)存在，求,的值．

π

f2

条件①：3；

π

f1

条件②：3；

ππ

,

条件③：f(x)在区间23上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分．

1

π

【答案】(1)3.

π

(2)条件①不能使函数f(x)存在；条件②或条件③可解得1，6.

π

||

【分析】（1）把x0代入f(x)的解析式求出sin，再由2即可求出的值；

π2π

,

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在33上的单调性及

ππ

f1||

函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入f(x)的解析式，由3和2即可求出

π

x

的值；若选条件③：由f(x)的单调性可知f(x)在3处取得最小值1，则与条件②所给的条件一

样，解法与条件②相同．

π

f(x)sinxcoscosxsin,0,||

【详解】（1）因为2

3

f(0)sin0coscos0sinsin

所以2，

ππ

||

因为2，所以3.

π

f(x)sinxcoscosxsin,0,||

（2）因为2，

π

f(x)sinx,0,||

所以2，所以f(x)的最大值为1，最小值为1.

π

f2

f(x)sinx

若选条件①：因为的最大值为1，最小值为1，所以3无解，故条件①不能

使函数f(x)存在；

π2π2ππ

,f1f1

若选条件②：因为f(x)在33上单调递增，且3，3

T2ππ2π

π1

所以233,所以T2π,T,

f(x)sinx

所以，

ππ

f1sin1

又因为3，所以3，

ππ

2kπ,kZ

所以32，

1

ππ

2kπ,kZ||

所以6，因为2，所以6.

π

所以1，6；

π2πππ

,,

若选条件③：因为f(x)在33上单调递增，在23上单调递减，

π

π

xf1

所以f(x)在3处取得最小值1，即3.

以下与条件②相同．

7.（2019·浙江·高考真题）设函数f(x)sinx,xR.

（1）已知[0,2),函数f(x)是偶函数，求的值；

y[f(x)]2[f(x)]2

（2）求函数124的值域.

33

31,1

,22

【答案】（1）22；（2）.

【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；

yasinxb

(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.

fxsinx

【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，

0kkZkkZ

函数为偶函数，则当x0时，2，即2，结合0,2可取k0,1，相

3

,

应的值为22.

22

ysinxsinx

(2)由函数的解析式可得：124

1cos2x1cos2x

62

22

1

1cos2xcos2x

262

131

1cos2xsin2xsin2x

222

1

133

1cos2xsin2x

222

3

1sin2x

26.

33

1,1

22

据此可得函数的值域为：.

【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等

知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

fxsin2x3sinxcosx

8.（2018·北京·高考真题）已知函数.

fx

（Ⅰ）求的最小正周期；

,m3

fx

（Ⅱ）若在区间3上的最大值为2，求m的最小值.

π

【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）3.

2

T

【分析】（I）将f(x)化简整理成f(x)Asin(x)的形式，利用公式||可求最小正周期；（II）根

x[,m]2x

据3，可求6的范围，结合函数图象的性质，可得参数m的取值范围.

1cos2x3311π1

fxsin2xsin2xcos2xsin2x

【详解】（Ⅰ）2222262，

2π

fxTπ

所以的最小正周期为2.

π1

fxsin2x

（Ⅱ）由（Ⅰ）知62.

ππ5ππ

x,m2x,2m

因为3，所以666.

π

,m3

fx

要使得在3上的最大值为2，

ππ

sin2x,m

即6在3上的最大值为1.

πππ

2mm

所以62，即3.

1

π

所以m的最小值为3.

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简

时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

f(x)sin(x)sin(x)f()0

9.（2017·山东·高考真题）设函数62，其中03.已知6.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平

3

[,]

移4个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在44上的最小值.

【答案】(Ⅰ)2.

3

(Ⅱ)2.

3(sinx)

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到yf(x)3

f()0

由题设知6及03可得.

f(x)3sin(2x)

（Ⅱ）由（Ⅰ）得3

g(x)3sin(x)3sin(x)

从而4312.

32

x[,]x[,]

根据44得到1233，进一步求最小值.

f(x)sin(x)sin(x)

试题解析：（Ⅰ）因为62，

31

f(x)sinxcosxcosx

所以22

33

sinxcosx

22

13

3(sinxcosx)

22

3(sinx)

3

f()0

由题设知6，

k

所以63，kZ.

故6k2，kZ，又03，

所以2.

1

f(x)3sin(2x)

（Ⅱ）由（Ⅰ）得3

g(x)3sin(x)3sin(x)

所以4312.

3

x[,]

因为44，

2

x[,]

所以1233，

x

当123，

3

x

即4时，g(x)取得最小值2.

【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能

利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式

的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式

子的变形能力等.

fxsin2xcos2x23sinxcosxxR

10.（2017·浙江·高考真题）已知函数

2

f

（I）求3的值

fx

（II）求的最小正周期及单调递增区间.

2

+k，+kkZ

fx

【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，63.

【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函

数的值．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．

【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2x23sinxcosx，

＝﹣cos2x3sin2x，

sin2x

＝﹣26，

24

则f（3）＝﹣2sin（36）＝2，

f(x)2sin(2x)

（Ⅱ）因为6．

所以f(x)的最小正周期是．

1

由正弦函数的性质得

3

2k2x2k,kZ

262，

2

kxk,kZ

解得63，

2

[k,k]，kZ

所以，f(x)的单调递增区间是63．

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，

属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，

都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函

数的性质求解．

acosx，s，in，x，，b33x0

11.（2017·江苏·高考真题）已知向量．

（1）若ab，求x的值；

fxab

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

5π5π

xfxxfx

【答案】（1）6（2）x0时，取到最大值3；6时，取到最小值23.

【分析】（1）根据ab，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

fxab

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最

小值及对应的x的值．

acosx，s，in，x，，b33x0

【详解】解：（1）∵向量．

由ab，

可得：3cosx3sinx，

3

tanx

即3，

∵x∈[0，π]

5

x

∴6．

2

fxab3cosx3sinx23sinx

（2）由3

∵x∈[0，π]，

1

225

x，

∴333

22

x

∴当33时，即x＝0时f（x）max＝3；

235

xxf(x)23

当32，即6时min．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是

解决本题的关键．

221

fxcosxsinxx0,π

12.（2017·上海·高考真题）设2，.

(1)求函数yfx的单调增区间；

fA0

(2)设ABC为锐角三角形，角A所对的边a19，角B所对的边b5.若，求ABC的面积.

π

,π

【答案】(1)2；

153

(2)4.