2017-2026十年高考数学专项汇编专题07 概率统计及数字特征解答题综合（学生版）

1

专题07概率统计及数字特征解答题综合

（九大考点，61题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.题型为解答大题，分值较高，属于

高频统计解答题。

2.核心考点：平均数、样本相关系数

考点01变量间的2026上海卷、2025上海卷、计算、线性回归方程求解与预测；结合

相关关系及线性回2022全国乙卷、2020全国Ⅱ卷、散点图判断正负相关。

归直线方程2017全国Ⅰ卷3.命题载体：环境监测、林业材积、

野生动物、工业零件、体育赛事等实际

场景，附带参考公式与数据，侧重数据

运算与数据分析素养。

1.高考经典解答题，几乎年年考查，

2025全国一卷、2024上海卷、固定搭配2×2列联表。

2024全国甲卷、2023全国甲卷、2.核心：频率估算概率、完善列联表、

全国甲卷、全国甲卷、

202220212

考点02独立性检卡方K计算，结合临界值判断两个变量

2020海南卷、2020山东卷、

验

2020全国Ⅲ卷、2019全国Ⅰ是否有关联。

卷、2018全国Ⅲ卷、2017全3.常见背景：疾病与检查、体育成绩、

国Ⅱ卷车间产品、空气质量、养殖产量、生产

效率对比。

1.常作为大题其中一小问，或单独成

2026上海卷、2026北京卷、简答。

2025上海卷、2024上海卷、2.考查内容：平均数、方差、百分位

考点03样本数字2023全国乙卷、2021全国乙卷、数、中位数、分层抽样、两组数据均值

特征的计算2020全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ对比、合并数据均值方差。

卷、2019全国Ⅲ卷、2018全3.素材：成绩、身高茎叶图、产品伸

国Ⅰ卷缩率、加工利润、离子残留、用水量对

比。

1

1.基础概率大题，依托枚举、组合计

数计算事件概率。

2025北京卷、2024北京卷、2.考向：分层抽样抽样数、不放回/

2019北京卷、2019天津卷、有放回抽取、分层选取样本，结合分布

考点04古典概率

2018北京卷、2018天津卷、列、期望综合设问。

2017山东卷3.场景：答题正确率、保险理赔、移

动支付、专项附加扣除、旅游国家选取。

1.综合性解答题，难度中等偏上。

2.核心：独立事件同时发生概率、n

2026全国一卷、2024新课标Ⅱ

考点05独立事件重独立重复试验、最值求解（概率最大

卷、2019全国Ⅱ卷、2018全国

及独立重复事件取值）。

Ⅰ卷、2018北京卷

3.载体：投篮、产品检验、乒乓球赛、

电影好评概率。

1.新高考难点解答题，区分度高。

2.核心：全概率公式、条件概率比值

考点06条件概率2022新高考全国Ⅰ卷、2023新

指标、递推概率计算。

与全概率课标Ⅰ卷

3.背景：疾病与卫生习惯、交替投篮

概率递推。

1.概率核心大题，必考分布类题型。

2.二项分布：求概率、期望方差；超

考点07二项分布2026全国二卷、2025全国二卷、几何分布：有限总体无放回抽取的分布

与超几何分布2019天津卷、2017山东卷列与期望。

3.素材：电子产品故障、乒乓球对战、

到校时间、心理暗示志愿者分组。

1.本内容是高考通用核心题型。

2023上海卷、2022全国甲卷、

2.考查：离散型随机变量取值、分布

2022北京卷、2021新高考Ⅰ/Ⅱ

列书写、数学期望、方差、最优决策判

考点08分布列及卷、2021北京卷、2020江苏卷、

断。

期望方差2018天津卷、2017全国Ⅲ卷、

3.融合竞赛得分、核酸混检、微生物

2017天津卷、2017北京卷、

繁殖、口袋取球、酸奶销售、交通红灯、

2017江苏卷

抽奖奖金等多元情境。

考点09正态分布2017全国Ⅰ卷1.低频类统计大题，多结合工业质检

1

背景。

2.核心：正态分布3σ原则、二项分

布结合正态样本、剔除异常值后均值标

准差估计。

3.命题特点：数据量大，计算步骤多，

侧重统计实际应用。

考点01变量间的相关关系及线性回归直线方程

1.（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧

化硫密度进行了监测和记录，数据如下：

颗粒

物密101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

度

二氧

化硫119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

密度

(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分

1,0

析，并请你判断相关系数在，(0,1)，(1,2)哪个区间内？（直接写结论）

(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用

0.461x2014yax201483.743

y106.544e，或.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.544e0.46191.681

2.（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌．以下是历届奥

运会男子4100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．

1

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

ˆ

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y0.311xb，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的

成绩（精确到0.01秒）．

3.（2022·全国乙卷·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某

种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单

位：m3），得到如下数据：

总

样本号ｉ12345678910

和

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

xi

y

材积量i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

22

xi0.038,yi1.6158,xiyi0.2474

并计算得i=1i=1i=1．

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

2

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m．已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

n

(xix)(yiy)

ri=1,1.8961.377

nn

22

(xix)(yiy)

附：相关系数i=1i=1．

4.（2020·全国II卷·高考真题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法

抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物

202020

（2

xi60yi1200xix)80

覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i1，i1，i1，

1

2020

（2（（

yiy)9000xix)yiy)800

i1，i1.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平

均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动

物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

n

（（

xix)yiy)

i1

nn

（（22

xix)yiy)

附：相关系数r=i1i1，≈1.414.

5.（2017·全国I卷·高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产

线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺

寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95

161616

112122

xx9.97sxixxi16x0.212

i1616

经计算得16i1，i1i1，

1616

i8.5218.439,xxi8.52.78

ix

i1i1，其中i为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,...,16．

x,ii1,2,...,16

（1）求i的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行

r0.25

而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

x3s,x3s

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生

产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

1

x3s,x3s

（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均

x,yi1,2,...,n

值与标准差．（精确到0.01）附：样本ii的相关系数

n

xiyinxy

rˆi1

nn

22

xixyiy

i1i1，0.0080.09．

考点02独立性检验

1.（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机

调查了1000人，得到如下列联表：

超声波检查结果组别正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；

(2)根据小概率值0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

n(adbc)2

2

附(ab)(cd)(ac)(bd)，

P2k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

优秀5444231

1

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

n(adbc)2

2,

P23.8410.05

（附：abcdacbd其中nabcd，．）

1,2其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

3.（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车

间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级合格不合格总

品品品计

甲车

2624050

间

乙车

70282100

间

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级非优级

品品

甲车

间

乙车

1

间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果

p(1p)

pp1.65

n，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（15012.247）

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)

PK2k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将

其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小

白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)计算试验组的样本平均数；

(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，

完成如下列联表

mm

对照组

试验组

1

（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增

加量有差异？

n(adbc)2

K2

附：abcdacbd，

PK2k0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

5.（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其

中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白

鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

(2)实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如

下列联表：

mm

对照组

实验组

（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加

量有差异．

n(adbc)2

K2,

附：abcdacbd

1

2

PKk00.1000.0500.010

k02.7063.8416.635

6.（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司

长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)，

PK2k

0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合计45050500

n(adbc)2

K2

(ab)(cd)(ac)(bd)

7.（2021·全国甲卷·高考真题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比

较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

1

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)

PK2k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

8.（2020·海南·高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随

3

机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m），得下表：

SO

2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

SO

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：

SO

2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

SO

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2浓度有关？

1

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)，

P(K2k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2020·山东·高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随

3

机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m），得下表：

SO

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：

SO

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2浓度有关？

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)，

1

10.（2020·全国III卷·高考真题）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到

某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这

天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为

一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400人次>400

空气质量好

空气质量不好

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)，

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

11.（2019·全国I卷·高考真题）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾

客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

1

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n(adbc)2

K2

附：(ab)(cd)(ac)(bd)．

P（K2≥k

0.0500.0100.001

）

k3.8416.63510.828

12.（2018·全国III卷·高考真题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务

的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，

第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工

人数填入下面的列联表：

超过m不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

1

2

nadbc

K2

abcdacbd

附：，

13.（2017·全国II卷·高考真题）（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖

方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直

方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量

不低于50kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．

n(adbc)2

K2

附：，(ab)(cd)(ac)(bd)

14.（2017·全国II卷·高考真题）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各

随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：

1

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．

附：

P(K2≥k

0.0500.0100.001

)

k3.8416.63510.828

n(adbc)2

K2

(ab)(cd)(ac)(bd)

考点03样本数字特征的计算

1.（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画画人数

25,35845

35,451055

1

45,55650

25,35

(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？

(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？

35,45

(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B.事

件A与B是否独立？请说明理由.

2.（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：

成绩分

81,9494,107107,120120,135135,150

组

人数406060328

以频率估计概率，完成下列问题：

(1)求数学成绩低于120分的概率；

(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；

s2s2s2

(3)每组数据取左端、中间、右端，比较左、中、右的大小关系．

3.（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），

以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；

(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；

(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、

乙两组的平均身高都增大？

4.（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，

1

单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

5.（2023·全国乙卷·高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对

试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处

x

理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i，

yi1,2,,10

i．试验结果如下：

试验序号i12345678910

x

伸缩率i545533551522575544541568596548

y

伸缩率i536527543530560533522550576536

zxyi1,2,,10z,z,,z2

记iii，记1210的样本平均数为z，样本方差为s．

2

(1)求z，s；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

s2

z2

10，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否

则不认为有显著提高）

6.（2021·全国乙卷·高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标

有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

s2s2

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为1和2．

s2s2

（1）求x，y，1，2；

s2s2

yx212

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果10，则认为新

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

7.（2020·全国I卷·高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为

A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，

1

50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲

分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个

分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承

接加工业务?

8.（2019·全国III卷·高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200

只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小

鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分

比.根据试验数据分别得到如下直方图：

PC

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

9.（2019·全国II卷·高考真题）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企

业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

y的分组[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

1

企业数22453147

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）.（精确到0.01）

附：748.602.

3

10.（2018·全国I卷·高考真题）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m）和使用

了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.50.5,0.60.6,0.7

频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.50.5,0.6

频数151310165

（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

3

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据

所在区间中点的值作代表．）

1

考点04古典概率

1.（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生

该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题

相互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计

X1的概率及X的数学期望