2026年天津市北师大版十一年级数学第4章概率统计练习题

2026年天津市北师大版十一年级数学第4章概率统计练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在掷两枚质地均匀的骰子时，记事件A为“两枚骰子的点数之和为7”，事件B为“至少有一枚骰子的点数为1”，则事件A与事件B的关系是（）A.互斥但不对立B.对立但不互斥C.互斥且对立D.既不互斥也不对立解析：事件A包含的基本事件为（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6个；事件B包含的基本事件为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）、（6，1），共11个。两事件无公共基本事件，故互斥；且两事件之和包含所有基本事件，故对立。参考答案：C2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，则抽到的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率为（）A.$\frac{3}{50}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{9}{50}$D.$\frac{27}{125}$解析：总的基本事件数为$C_{50}^{3}$，满足条件的组合数为$C_{30}^{2}C_{20}^{1}$，故概率为$\frac{C_{30}^{2}C_{20}^{1}}{C_{50}^{3}}=\frac{9}{50}$。参考答案：C3.已知一组样本数据：3，5，7，9，x，其平均数为6，则这组数据的中位数是（）A.6B.5.5C.7D.无法确定解析：由平均数公式$\frac{3+5+7+9+x}{5}=6$，解得$x=6$，排序后为3，5，6，7，9，中位数为6。参考答案：A4.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，现从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为（）A.$\frac{3}{8}$B.$\frac{5}{8}$C.$\frac{3}{10}$D.$\frac{8}{15}$解析：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{1}C_{3}^{1}$，故概率为$\frac{C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{C_{8}^{2}}=\frac{5}{8}$。参考答案：B5.已知一组数据：2，4，6，8，x，其方差为4，则x的值为（）A.2或8B.4或6C.0或10D.2或10解析：平均数为$\frac{2+4+6+8+x}{5}$，方差公式为$S^{2}=\frac{1}{5}[(2-a)^{2}+(4-a)^{2}+(6-a)^{2}+(8-a)^{2}+(x-a)^{2}]$，代入$S^{2}=4$解得$x=2$或$x=10$。参考答案：D6.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.027B.0.21C.0.441D.0.343解析：根据二项分布，概率为$C_{3}^{2}\times0.7^{2}\times0.3=0.441$。参考答案：C7.已知一组样本数据：a，b，c，d，其极差为6，平均数为4，则这组数据的方差为（）A.2B.4C.5D.9解析：极差为最大值减最小值，故最大值与最小值之差为6；平均数为4，则$\frac{a+b+c+d}{4}=4$，即$a+b+c+d=16$。方差为$\frac{1}{4}[(x-4)^{2}]$，无法确定具体值。参考答案：D8.在一个盒子里装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，是白球的概率为$\frac{1}{4}$，则盒子里球的总数为（）A.12B.15C.20D.24解析：设总数为x，则$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=12$。参考答案：A9.已知一组数据：3，x，5，7，9，其平均数为6，则这组数据的众数是（）A.3B.5C.6D.7解析：由平均数公式$\frac{3+x+5+7+9}{5}=6$，解得$x=6$，众数为出现次数最多的数，此处为6。参考答案：C10.在一个不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$，是白球的概率为$\frac{1}{3}$，则袋中球的总数为（）A.15B.20C.30D.45解析：设总数为x，则$\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=15$。参考答案：A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是________。参考答案：$\frac{1}{4}$2.已知一组样本数据：2，4，6，8，10，其极差为________。参考答案：83.如果事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，且A与B互斥，则事件A与事件B的和的概率为________。参考答案：0.94.已知一组数据：3，5，7，9，11，其平均数为________。参考答案：75.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，现从中随机摸出2个球，则摸到的2个球都是红球的概率为________。参考答案：$\frac{2}{7}$6.已知一组数据：2，4，6，8，10，其方差为________。参考答案：97.如果事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.4，且A与B相互独立，则事件A与事件B同时发生的概率为________。参考答案：0.288.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其中位数为________。参考答案：79.在一个不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，是白球的概率为$\frac{1}{4}$，则袋中球的总数为________。参考答案：1210.已知一组数据：2，4，6，8，10，其标准差为________。参考答案：3三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如果事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，则事件A与事件B一定是对立事件。（×）解析：对立事件的概率和为1，但此处0.6+0.4=1，故为对立事件。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其平均数为7，则这组数据的中位数为7。（√）解析：排序后为3，5，7，9，11，中位数为7。3.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，现从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色相同的概率为$\frac{13}{20}$。（√）解析：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{2}+C_{3}^{2}$，故概率为$\frac{13}{20}$。4.已知一组数据：2，4，6，8，10，其方差为16。（×）解析：平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=16$。5.如果事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，则事件A与事件B的和的概率为1.1。（×）解析：互斥事件的概率和为1，故为1。6.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其众数为7。（×）解析：众数为出现次数最多的数，此处无重复数，故无众数。7.在一个不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，是白球的概率为$\frac{1}{4}$，则袋中球的总数为7。（×）解析：设总数为x，则$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=12$。8.已知一组数据：2，4，6，8，10，其标准差为4。（√）解析：平均数为6，标准差为$\sqrt{\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]}=4$。9.如果事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B相互独立，则事件A与事件B同时发生的概率为0.24。（√）解析：独立事件的概率乘积为0.6×0.4=0.24。10.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其极差为8。（√）解析：极差为最大值减最小值，即11-3=8。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述互斥事件与对立事件的区别与联系。答：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件必有一个发生且只能有一个发生。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。2.简述样本极差与样本方差的区别与联系。答：样本极差是样本中最大值与最小值之差，样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数。极差反映数据的波动范围，方差反映数据的波动程度。3.简述概率的公理化定义。答：概率的公理化定义包括：非负性、规范性、可列可加性。即对于任意事件A，有$P(A)\geq0$，$P(\Omega)=1$，若$A_{i}A_{j}=\emptyset(i\neqj)$，则$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$。4.简述二项分布的应用场景。答：二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果，且每次试验的概率相同。例如，抛硬币n次正面出现的次数。5.简述样本平均数的计算方法。答：样本平均数是样本各数据之和除以样本容量。即$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$。6.简述样本方差的计算方法。答：样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数。即$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。7.简述条件概率的定义。答：条件概率是指事件B在事件A发生的条件下发生的概率。即$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。8.简述独立事件与互斥事件的区别。答：独立事件是指两个事件的发生与否相互不影响，互斥事件是指两个事件不可能同时发生。独立事件可以同时发生，互斥事件不能同时发生。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，则抽到的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率为多少？解：总的基本事件数为$C_{50}^{3}$，满足条件的组合数为$C_{30}^{2}C_{20}^{1}$，故概率为$\frac{C_{30}^{2}C_{20}^{1}}{C_{50}^{3}}=\frac{9}{50}$。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，x，其平均数为6，求x的值。解：由平均数公式$\frac{3+5+7+9+x}{5}=6$，解得$x=6$。3.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，现从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为多少？解：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{1}C_{3}^{1}$，故概率为$\frac{C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{C_{8}^{2}}=\frac{5}{8}$。4.已知一组数据：2，4，6，8，10，其方差为多少？解：平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=16$。5.如果事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，则事件A与事件B的和的概率为多少？解：互斥事件的概率和为1，故为1。6.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其中位数为多少？解：排序后为3，5，7，9，11，中位数为7。7.在一个不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，是白球的概率为$\frac{1}{4}$，则袋中球的总数为多少？解：设总数为x，则$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=12$。8.已知一组数据：2，4，6，8，10，其标准差为多少？解：平均数为6，标准差为$\sqrt{\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]}=4$。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为多少？解：根据二项分布，概率为$C_{3}^{2}\times0.7^{2}\times0.3=0.441$。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，x，其极差为6，求x的值。解：极差为最大值减最小值，故最大值与最小值之差为6；平均数为4，则$\frac{3+5+7+9+x}{5}=4$，解得$x=0$。3.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，现从中随机摸出2个球，则摸到的2个球都是红球的概率为多少？解：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{2}$，故概率为$\frac{C_{5}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac{2}{7}$。4.已知一组数据：2，4，6，8，10，其方差为多少？解：平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=16$。5.如果事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，则事件A与事件B的和的概率为多少？解：互斥事件的概率和为1，故为1。6.已知一组样本数据：3，5，7，9，11，其中位数为多少？解：排序后为3，5，7，9，11，中位数为7。7.在一个不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，是白球的概率为$\frac{1}{4}$，则袋中球的总数为多少？解：设总数为x，则$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=12$。8.已知一组数据：2，4，6，8，10，其标准差为多少？解：平均数为6，标准差为$\sqrt{\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]}=4$。9.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，则抽到的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率为多少？解：总的基本事件数为$C_{50}^{3}$，满足条件的组合数为$C_{30}^{2}C_{20}^{1}$，故概率为$\frac{C_{30}^{2}C_{20}^{1}}{C_{50}^{3}}=\frac{9}{50}$。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述概率的统计定义及其应用场景。答：概率的统计定义是指事件发生的频率在大量重复试验中逐渐稳定的值。应用场景包括：天气预报、产品质量检验、医学研究等。2.论述样本平均数与样本方差的计算方法及其意义。答：样本平均数是样本各数据之和除以样本容量，反映数据的集中趋势；样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动程度。3.论述互斥事件与对立事件的区别与联系。答：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件必有一个发生且只能有一个发生。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。4.论述二项分布的应用场景及其计算方法。答：二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果，且每次试验的概率相同。计算方法为$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。5.论述条件概率的定义及其计算方法。答：条件概率是指事件B在事件A发生的条件下发生的概率。计算方法为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。6.论述独立事件与互斥事件的区别。答：独立事件是指两个事件的发生与否相互不影响，互斥事件是指两个事件不可能同时发生。独立事件可以同时发生，互斥事件不能同时发生。7.论述样本极差与样本方差的区别与联系。答：样本极差是样本中最大值与最小值之差，样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数。极差反映数据的波动范围，方差反映数据的波动程度。8.论述概率的公理化定义及其三个基本性质。答：概率的公理化定义包括：非负性、规范性、可列可加性。即对于任意事件A，有$P(A)\geq0$，$P(\Omega)=1$，若$A_{i}A_{j}=\emptyset(i\neqj)$，则$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$。9.论述样本平均数的计算方法及其意义。答：样本平均数是样本各数据之和除以样本容量，反映数据的集中趋势。10.论述样本方差的计算方法及其意义。答：样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动程度。11.论述条件概率的定义及其应用场景。答：条件概率是指事件B在事件A发生的条件下发生的概率。应用场景包括：医学诊断、金融风险评估等。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.B5.D6.C7.D8.A9.C10.A解析：同题目解析。二、填空题1.$\frac{1}{4}$2.83.0.94.75.$\frac{2}{7}$6.97.0.288.79.1210.3解析：同题目解析。三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.×7.×8.√9.√10.√解析：同题目解析。四、简答题1.答：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件必有一个发生且只能有一个发生。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。2.答：样本极差是样本中最大值与最小值之差，样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数。极差反映数据的波动范围，方差反映数据的波动程度。3.答：概率的公理化定义包括：非负性、规范性、可列可加性。即对于任意事件A，有$P(A)\geq0$，$P(\Omega)=1$，若$A_{i}A_{j}=\emptyset(i\neqj)$，则$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$。4.答：二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果，且每次试验的概率相同。例如，抛硬币n次正面出现的次数。5.答：样本平均数是样本各数据之和除以样本容量。即$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$。6.答：样本方差是样本各数据与平均数差的平方的平均数。即$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。7.答：条件概率是指事件B在事件A发生的条件下发生的概率。即$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。8.答：独立事件是指两个事件的发生与否相互不影响，互斥事件是指两个事件不可能同时发生。独立事件可以同时发生，互斥事件不能同时发生。五、应用题1.解：总的基本事件数为$C_{50}^{3}$，满足条件的组合数为$C_{30}^{2}C_{20}^{1}$，故概率为$\frac{C_{30}^{2}C_{20}^{1}}{C_{50}^{3}}=\frac{9}{50}$。2.解：由平均数公式$\frac{3+5+7+9+x}{5}=6$，解得$x=6$。3.解：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{1}C_{3}^{1}$，故概率为$\frac{C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{C_{8}^{2}}=\frac{5}{8}$。4.解：平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=16$。5.解：互斥事件的概率和为1，故为1。6.解：排序后为3，5，7，9，11，中位数为7。7.解：设总数为x，则$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{x-1}{x}=1$，解得$x=12$。8.解：平均数为6，标准差为$\sqrt{\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]}=4$。六、案例分析题1.解：根据二项分布，概率为$C_{3}^{2}\times0.7^{2}\times0.3=0.441$。2.解：极差为最大值减最小值，故最大值与最小值之差为6；平均数为4，则$\frac{3+5+7+9+x}{5}=4$，解得$x=0$。3.解：总的基本事件数为$C_{8}^{2}$，满足条件的事件数为$C_{5}^{2}$，故概率为$\frac{C_{5}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac{2}{7}$。4.解：平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=16$。5.解：互斥事件的概率和为1，故为1。6.解：排序后为3，5，7，9，11，中位数为