2027年高考数学一轮复习( 全品高考)01-第60讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.知识网络2.课时安排本单元共8讲、1个教材拓展、1个增分微课、1个培优专题，2个重点强化练，每讲建议1课时完成，教材拓展、增分微课建议各1课时完成，每个重点强化练建议1课时完成,培优专题建议2课时完成，本单元大约共需14课时.第60讲

分类加法计数原理与分步乘法计数原理课前基础巩固课堂考点探究教师备用习题作业手册答案核查【听】答案核查【作】通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.分类加法计数原理与分步乘法计数原理内容区别与联系分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有

种不同的方法,在第2类方案中有

种不同的方法,那么完成这件事共有

_______种不同的方法

（可推广至多类方案）区别:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才能完成.

◆知识聚焦

◆内容区别与联系分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有

种不同的方法,做第2步有

种不同的方法,那么完成这件事共有

_______种不同的方法

（可推广至多个步骤）联系：复杂问题中，需要两个计数原理综合应用.某一类中可能需要再分步，某一步中有可能需要再分类

续表题组一

常识题1.［教材改编］音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，从中任选一首歌曲进行播放，有____种不同的选法.21

◆对点演练

◆2.［教材改编］食堂有大荤菜3个、小荤菜3个、素菜4个、汤1个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有___种不同的搭配方式.36

3.［教材改编］5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有____种.若没有任何限制，每位同学随意报名，则不同的报名方法共有______种.321024

题组二

常错题◆

索引：对“完成一件事”的含义理解不准确；计数时有重复或遗漏，不知道何时该分类，何时该分步，不区分元素是否可重复使用.4.书架的第1层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书.从书架中任取1本书，共有____种不同的取法；从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有_____种不同的取法.15120

5.我们把中间数位上的数字最大而两边减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是____.20

6.（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有____种不同的送法；60

（2）有5种不同的书（每种不少于3本），从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有_____种不同的送法.125

探究点一

分类加法计数原理

10［思路点拨］利用分类加法计数原理，当个位数字分别为9,7,5,3时，考虑数字的组成情况.

A.8

B.9

C.11

D.12

√

[总结反思]（1）分类加法计数原理的实质:完成一件事的各类方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.（2）使用分类加法计数原理遵循的原则:有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.

A.10

B.12

C.20

D.35

√（2）[2025·重庆南开中学2月质检]

小南将一枚骰子连续抛掷3次，每一次骰子都会等可能地出现1，2，3，4，5，6点，则3次骰子的点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有____种.18

探究点二

分步乘法计数原理例2（1）[2025·山东淄博张店区三模]将编号为1，2，3的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒至多放1个小球，要求恰有1个小球与所在盒子的编号相同，则不同的放法的种数为(

)A.7

B.9

C.11

D.13［思路点拨］可分两步完成：第一步，确定哪个盒子的编号与放入的小球的编号相同；第二步，确定其他盒子放球的方法种数.最后根据分步乘法计数原理求解即可.√

A.24

B.36

C.72

D.81［思路点拨］根据题意，先排男生再排女生，由分步乘法计数原理求解可得答案.√

[总结反思]（1）分步乘法计数原理的实质：完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成这件事,只有当每个步骤都完成后,才能完成这件事.（2）使用分步乘法计数原理应注意的问题:①明确题目中所要完成的这件事是什么,确定完成这件事需要几个步骤.②将完成这件事划分成几个步骤来执行,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,这件事才能完成,这是分步的基础,也是关键.变式题（1）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区A.120

B.240

C.300

D.320域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为(

)√

48

探究点三

两个计数原理的综合例3（1）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样的三位偶数一共有(

)A.20个

B.48个

C.52个

D.120个［思路点拨］由于0不能为百位数字，故分2种情况讨论：0在个位和0不在个位，再由分类加法计数原理计算可得答案.√

A.120

B.72

C.48

D.24

√

[总结反思]（1）复杂问题中,两个计数原理可以综合应用:可以先分类,在各类中再分步,或先分步,到某一步时按需要再分类处理.（2）涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析.变式题（1）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为(

)A.192

B.420

C.210

D.72√

（2）小明忘记了自己的某软件的账户密码，只记得如图所示的三个数字.已知小明设置的密码满足以下两个原则：

84

【备选理由】例1考查分类加法计数原理；

A.19个

B.20个

C.25个

D.27个

√

例2

［配例2使用］[2025·安徽黄山二模]

某单位在五一假期需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则共有______种不同的安排方法.1280

【备选理由】例2考查分步乘法计数原理；

216佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（人工湖不需要涂色），要求每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有_____种.（用数字作答）【备选理由】例3考查综合应用两个计数原理解决问题.[解析]

如图，给6个行政区域标上序号.区域1有4种颜色可选，有4种涂色方法；区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，有3种涂色方法；区域3与区域1，2相邻，不能与区域1，2同色，有2种颜色可选，有2种涂色方法.

作业手册1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12趟.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有(

)A.22种

B.33种

C.300种

D.3600种

√◆

基础热身

◆2.[2025·江苏南京六校联合体调研]甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的选法种数为(

)A.6

B.12

C.18

D.24

√

A.8种

B.6种

C.4种

D.2种

√4.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(

)A.18种

B.48种

C.108种

D.192种

√5.小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的课间之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明的练习方案有(

)A.31种

B.18种

C.21种

D.33种√

6.（多选题）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(

)A.从中选出2个球，正好1红1黄，有9种不同的选法B.若从每种颜色中选出1个球，则有120种不同的选法C.若要选出2个不同颜色的球，则有31种不同的选法D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，则有210种不同的选法√√

27

24

9.用0,1,2,3,4组成的没有重复数字且比32

000小的数有(

)A.212个

B.213个

C.224个

D.225个√◆

综合提升

◆

A.120

B.160

C.180

D.240√

A.27

B.24

C.18

D.16√

12.（多选题）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是(

)A.若其中某道工序不能放在最后，则有96种加工顺序B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，则有72种加工顺序C.若其中某2道工序必须相邻，则有48种加工顺序D.若其中某2道工序不能相邻，则有36种加工顺序√√

[解析]

设5道工序为甲、乙、丙、丁、戊.对于A，设甲工序不能放到最后，则