2027年高考数学一轮复习( 优化设计)第5节　空间向量及其运算

第5节空间向量及其运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2027课标解读

1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,能简单应用空间两点间的距离公式.2.掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引

强基础•固本增分1.空间向量的有关概念

名称定义空间向量在空间中,具有

和

的量

相等向量方向

且模

的向量

相反向量长度

而方向

的向量

共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相______________

或

的向量

共面向量平行于

的向量

大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理

定理语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使

共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在

有序实数对(x,y),使p=

空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=

.{a,b,c}叫做空间的一个基底

a=λb

唯一的

xa+ybxa+yb+zc3.空间向量的数量积(1)数量积非零向量a,b的数量积a·b=

.

(2)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).|a||b|cos<a,b>

类型向量表示坐标表示数量积a·b

共线a=λb(b≠0,λ∈R)

垂直a·b=0(a≠0,b≠0)

模|a|夹角余弦值cos<a,b>=(a≠0,b≠0)cos<a,b>=a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3

a1b1+a2b2+a3b3=0[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(

)(2)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(

)×解析

若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间一个基底.×解析

若<a,b>=π,则a·b<0.2.(人A选一教材习题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(

)A.b+c,b,b-c

B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c

D.a+b,a+b+c,cC

3.(人A选一教材习题改编)已知点M在z轴上,且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是(

)A.(0,0,3) B.(0,0,2)C.(0,0,-2) D.(0,0,-3)D

C

5.(人A选一教材习题改编)已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(b+c)=(

)A.6

B.7

C.9

D.10C解析

因为a=(2,-3,1),b+c=(2,0,5),所以a·(b+c)=2×2+(-3)×0+1×5=9.故选C.6.(苏教选一教材习题改编)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x=

.

7.(人A选一教材习题改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为

.

研考点•精准突破考点一空间向量的线性运算

A

C

A

B

考点二空间向量基本定理的应用

规律方法

应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较

三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面=λ=x+y对空间任一点O,+t对空间任一点O,+x+y对空间任一点O,=x+(1-x)对空间任一点O,=x+y+(1-x-y)

BD

C解析

如下图所示:

考点三空间向量的数量积及应用

规律方法

空间向量数量积的三个应用

求夹角设向量a,b的夹角为θ,则cos

θ=,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离