2027年高考数学一轮复习(创新设计)层级一　原函数的零点问题

数学

高考总复习第三章

一元函数的导数及其应用INNOVATIVEDESIGN层级一原函数的零点问题第7节导数中与函数零点有关的问题备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.有时考查三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.题型分析例1已知函数f(x)=ex+x+4ln(2-x),判断函数f(x)的零点个数,并说明理由.题型一利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数

感悟提升解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种:(1)转化为两个函数图象交点的个数问题,利用数形结合思想求解.(2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题.(3)将f(x)=0进行参变分离,转化为a=g(x)的形式;有时为了避免出现“断点”,可以考虑“倒数分参”.训练1已知函数f(x)=x-aex,a∈R,讨论函数f(x)的零点个数.

当x>0时,h(x)>0,且x→+∞时,h(x)→0,且h(0)=0,∴可画出h(x)大致图象,如图所示.

例2(2026·郑州调研)已知函数f(x)=ex-a(x-1)有两个零点,求实数a的取值范围.题型二由函数零点的个数求参数范围法一由函数f(x)=ex-a(x-1),可得f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)=ex-a>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,此时f(x)至多有一个零点,不符合题意;当a>0时,令f'(x)=0,可得x=lna,令x<lna,得f'(x)<0,令x>lna,得f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,所以x=lna时,f(x)取得极小值,也是最小值,若f(lna)>0,此时f(x)>0恒成立,没有零点,若f(lna)=0,a=e2,此时f(x)有一个零点,若f(lna)<0,a>e2,此时f(x)<0,即a(2-lna)<0,解得a>e2,当a>e2时,lna>2,当x=1<lna时,f(1)=e>0,

感悟提升已知函数的零点求参数的范围常用方法(1)分离参数法:分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动直线,观察直线与函数图象交点个数即可.(2)隔离构造函数法:将一个函数分成两个函数,一个为容易求导的不含参函数,另一个为图象是一条直线的含参函数,观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围.(3)分类讨论法:直接研究函数f(x),对参数进行分类讨论,判断函数单调性,利用函数零点存在性定理,判断零点个数,从而求出参数的取值范围.

课时对点精练1.(2026·湖北部分高中联考)已知函数f(x)=lnx+ax+2.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;

(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点,求a的取值范围.

(2)若0<a<1,求证:f(x)有且只有一个零点.

3.已知函数f(x)=x2+3x+1+kex恰有两个零点,求实数k的取值范围.

4.(2026·湖南九校联考节选)已知函数f(x)=x3-3x2-cx+c,c∈R,讨论f(x)零点的个数.f(x)=x3-3x2-cx+c,f'(x)=3x2-6x-c,令f'(x)=0,其判别式Δ=36+12c,①当Δ=36+12c≤0,即c≤-3,f'(x)≥0,