第二章《一元二次方程》单元综合测试卷（含解析）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章《一元二次方程》单元综合测试卷一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）1．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（

）A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，12．方程的根是（

）A． B． C． D．3．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C． D．5．近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．6.根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（）x010A．方程有一根为1B．方程有一根的取值范围是C．方程有一根为D．方程有两个不相等的实数根7．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（

）．A． B． C． D．8．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（）A．， B．，C．， D．以上答案都不对9．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（

）①是“奇根方程”；②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”；③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为；④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数．A．个 B．个 C．个 D．个10．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．根据下列表格的对应值：x11.11.20.84由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________．12．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______．13．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为__________．14．若是关于的方程的一个根，则的值为______．15．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______．16．已知，是方程的两个实数根，则的值为________．三、解答题：本题共8小题,第17~22题每题7分，第23~24题每题10分，共62分．17．用适当的方法解下列方程．(1)．(2)．18．已知关于的一元二次方程．(1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解；(2)当时，求方程的解．19．关于x的一元二次方程．(1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围．(2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值．20．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设．(1)的长用含的代数式表示为m；(2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由．21．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．①；②；③．(2)若是“美丽方程”，求的值．(3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由．22．根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．

素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调1元，每月可多销售125平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．

问题解决(1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．(2)解决果园种植的预期利润问题．若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？（总利润=销售利润-承包费）23．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接．(1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________．(2)用含的代数式表示的长．(3)当的面积为9时，求的值．24．阅读与思考配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：；②求代数式的最小值：，∵是非负数，即，∴，则代数式的最小值是．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解：__________；(2)求的最小值；(3)若，求的最小值．参考答案一、选择题1．B解：根据一元二次方程的一般形式得：的，，.2．C解：移项，得，提取公因式，得，或，解得．3．D解：由题意，关于x的一元二次方程有解，解方程得，∵一元二次方程（）的解是，，∴，，∴，将，代入原方程得，对于方程，整理得：，代入得，解得，．4．A解：∵原方程是关于的一元二次方程，∴二次项系数不为0，即，解得；∵原方程有实数根∴，展开化简得，解得，综上，的取值范围是且．5．C解：∵年苏州市空气优良天数的比例为，又∵年的年平均增长率为，∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为，∴可列方程．6.C解：∵当时，，∴方程有一根为，故A正确，不符合题意．∵当时，，当时，，∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意．由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意．∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等，∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意7．C设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中，根据题意列方程：，，两边约去得：，展开整理得：，因式分解得：，解得，（舍），答：的值为．8．D解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴，∴原方程为，即，∵，∴，∴，故选：D．9．B解：对于一元二次方程，两根之和为，方程有实数根需满足判别式，据此逐个判断：①对于方程，，得，满足，且，有两个实数根，因此该方程是“奇根方程”，①正确；②对于方程，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误；③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即，因此符合条件的整数为，和为，③错误；④对于方程，由定义得，解得，计算判别式，取，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数，因此存在满足条件的有理数，④正确．综上，正确的说法共个．10．D解：连接四边形是长方形，，，．由翻折的性质可知：，∵射线经过点，即三点共线，，，．由题意得：，，．在中，，，解得，（舍去）．点到达终点的时间为，，符合题意．二、填空题。11．解：∵时，，时，，∴，在内有一个解，即方程必有一个解x满足，故答案为：．12．解：是一元二次方程的解，将代入方程得，整理得，．13．解：，，方程，方程转化为关于的方程为，整理得：，原方程转化为关于的整式方程为．故答案为：．14．解：∵是关于的方程的一个根，∴，即，∴．15．3解：设，∵四边形是正方形，∴，，，由平移可知，，∴，设与交于点G，在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴重叠部分四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形的高为，∴，解得：，∴移动的距离等于3．16．解：∵，是方程的两个实数根，∴，，，∴，，∴三、解答题．17．（1）解：，，，，或，．（2）解：，，，，，∴，．18．（1）解：由得，∵方程不含的一次项，∴，解得，∴，则，∴，；（2）解：当时，方程为移项，得配方，得即开方，得∴，．19．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得．（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，∴，，∴，解得，．∵方程有两个实数根，∴，解得，∴．20．（1）解：设，则；(2)解：不能，理由如下：根据题意，得，整理，得，解得，当时，，不符合题意，答：不能围成面积为的花圃．21．（1）解：①解方程得，．，符合“美丽方程”定义，①是“美丽方程”；②解方程得．，不符合定义，②不是“美丽方程”；③解方程得，．，符合定义，③是“美丽方程”．综上可知，是“美丽方程”的是①③．（2）解：解方程得，．该方程是“美丽方程”，，即，∴或，解得或．(3)，理由：设方程（）的两个根为，，方程为“美丽方程”，，两边平方得．由一元二次方程根与系数的关系得：，．，，整理得，化简得，即，满足的数量关系为．22．（1）解：根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）∵，∴路面设置的宽度符合要求；（2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元，，整理得：．解得：，，又∵要让利于顾客，∴．答：每平方米草莓平均利润下调48元．23．（1）解：在矩形中，，，∴，则点到点时，所走路程为，∵速度为每秒2个单位长度∴，∵点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，∴当点到终点时，，则点的运动路程为，∵点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度，∴此时点P在边上，∴点回到中点，∴，故