广东省韶关市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省韶关市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在正项等比数列{an}中，若a2a8=9，则a5=（）A.9 B.6 C.3 D.812.已知向量，向量，若​​​​​​​，则实数m=（）A.10 B.4 C.-4 D.-103.若直线l1：mx+（1-m）y-3=0与直线l2：（m-1）x+（2m+1）y-2=0垂直，则m的值为（）A.1 B.-1 C.±1 D.±24.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.y=±6x C. D.y=±2x5.已知向量，则向量在向量上的投影向量=（）A.（4，2，4） B. C. D.（2，0，2）6.如图，二面角α-l-β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D.若，则AB=（）

A. B.7 C.8 D.97.若曲线y=与直线y=k（x-2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C.（1，+∞） D.（1，3]8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字命名的函数—高斯函数，其表达式为f（x）=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}满足a1=2，a2=6，an+2+5an=6an+1，若bn=[log5an+1]，Sn为数列的前n项和，则[S2025]=（）A.1014 B.1012 C.1011 D.1013二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若数列{an}为等差数列，且a2=11，a5=5，则下列说法正确的是（）A.an=15-2n B.数列{an}单调递增

C.-20是数列{an}中的项 D.数列{an}前7项和最大10.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上不同的两点，则下列说法正确的是（）A.抛物线C的焦点到准线的距离为2

B.若MN的中点横坐标为4，则直线MN的斜率为1

C.若M、F、N三点共线，则以MN为直径的圆一定与抛物线C的准线相切

D.直线MN的方程为（x1+x2）x-4y-x1x2=011.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点，G，H分别为线段A1F，D1E上的动点，则（）A.点B1到直线EF的距离为

B.三棱锥A1-ABH体积的最小值为2

C.存在点G，H，使得GH⊥A1C

D.当GH∥平面BCC1B1时，线段GH的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是

．13.北京大兴国际机场航站楼是目前全球最大的单体航站楼，其俯瞰轮廓由多条优美的曲线呈放射状构成.若选取其中部分轮廓进行数学建模，在适当坐标系下其曲线可近似为一条双曲线，方程可设为.已知该双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若航站楼某一重要结构点P位于以F1F2为直径的圆与该双曲线右支的一个交点上，且满足，则该双曲线的离心率为

.14.如图，在第一象限，圆Cn（n∈N+）均与直线y=0和相切，且圆Cn与圆Cn+1外切，设第n个圆的半径为rn，面积为Sn，若r1=1，则=

.（用含有n的式子表示）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别为AB，BD的中点.

（1）求证：EF⊥A1C1；

（2）求直线EF和A1G所成角的余弦值.16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数f（x）=2x-2的图象上.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.17.(本小题15分)

已知圆C过点E（-1，-1），F（1，-3），且圆心在直线y=2x-1上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点Q（1，1）的直线l交圆C于A，B两点，且△ABC的面积为2，求直线l的方程.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD上的动点（不包含端点P，D），且，

（1）若点E为侧棱PD的中点，则：

（i）证明：PB∥平面ACE；

（ii）求点B到平面ACE的距离；

（2）若平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为，求直线PB与平面ACE所成角的正弦值.19.(本小题17分)

已知平面直角坐标系中，动点M（x,y）分别与两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）已知点F（1，0），F′（-1，0），且点P（x0，y0）为轨迹C在第一象限的点，点P关于原点的对称点为Q.

（i）设点Q到直线PF，PF′的距离分别为d1，d2，求的取值范围；

（ii）设轨迹C在P（x0，y0）处的切线为l,射线QF交l于点T.求证：∠FTP=∠TPF.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】AC

12.【答案】（2，3）

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】（1）证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（0，0，4），E（0，4，1），F（2，2，0），C1（4，4，4），

，

因为，

所以EF⊥A1C1；

（2）解：由（1）可得，

又因为A1（0，0，4），G（2，0，0），

所以，可得，

而，，

所以，

故直线EF和A1G所成角的余弦值为．

16.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数f（x）=2x-2的图象上，

可得Sn=2an-2，

当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，即an=2an-1，

所以数列{an}是首项和公比均为q=2的等比数列，

所以；

（2）由，

则，

则，

两式相减，可得

=

=（1-n）•2n+1-2，

所以．

17.【答案】解：（1）法一：设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F＞0，

根据圆心C（）在直线y=2x-1上，可得，

化简得2D-E+2=0，

把E（-1，-1），F（1，-3）代入，可得，解得，

所以圆C方程为x2+y2+2x+6y+6=0，化成标准方程得（x+1）2+（y+3）2=4．

法二：由题意，线段EF的中点为（0，-2），

根据直线EF的斜率，可得线段EF的垂直平分线的斜率为1，

所以EF的垂直平分线方程为y+2=x-0，即y=x-2，

结合圆心C在直线y=2x-1上，

联立方程，解得，即圆心为C（-1，-3），

半径，

可得圆C的标准方程为（x+1）2+（y+3）2=4．

（2）法一：设圆心C到直线l的距离为d（0＜d＜2），

可得弦长，

△ABC的面积S=，

即，两边平方、整理得d4-4d2+4=0，

解得d2=2，结合0＜d＜2，可得，

①当直线l斜率不存在时，则直线方程为x=1，

圆心C到直线l的距离d=，不符合题意，舍去．

②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，

圆心C到直线l的距离d=，即，

两边平方、整理得4k2-16k+16=2k2+2，即k2-8k+7=0，解得k=1或k=7，

当k=1时，直线方程为y-1=x-1，即x-y=0；

当k=7时，直线方程为y-1=7（x-1），即7x-y-6=0．

综上所述，直线l的方程为x-y=0或7x-y-6=0．

法二：△ABC的面积，

所以sin∠ACB=1，

结合0＜∠ACB＜π，可得，

所以△ABC为等腰直角三角形，，圆心C到直线l的距离d=．

①当直线l斜率不存在时，则直线方程为x=1，

圆心C到直线l的距离d=，不符合题意，舍去．

②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，

圆心C到直线l的距离d=，即，

两边平方、整理得4k2-16k+16=2k2+2，即k2-8k+7=0，解得k=1或k=7，

当k=1时，直线方程为y-1=x-1，即x-y=0；

当k=7时，直线方程为y-1=7（x-1），即7x-y-6=0．

综上所述，直线l的方程为x-y=0或7x-y-6=0．

18.【答案】解：（1）（i）证明：如图，连接BD交AC于点F，连接EF，

因为四边形ABCD是平行四边形，且点F、E分别为BD和PD中点，

所以PB∥EF，

因为PB⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，

所以PB∥平面ACE．

（ii）在平行四边形ABCD中，

因为，

所以在△ABC中，由余弦定理可得：

，

所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC

因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC．

所以AB，AC，AP两两垂直．

以点A为坐标原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

因为E是PD中点，所以．

则，

设平面ACE的法向量为，

则，则．所以，

令z=1，则，所以．

因为，

所以点B到平面ACE的距离．

（2）设，则．

设平面ACE的法向量为，

因为，

则，则．所以，

令，则a=3（1-λ），b=0，

所以．

设平面PAC与平面ACE的夹角为α，

因为是平面PAC的一个法向量，

所以．

由题意得，

解得（舍去），

所以．

设PB与平面ACE所成角为θ，因为，

所以，

故直线PB与平面ACE所成角的正弦值为．

19.【答案】解：（1）根据题意可得，

整理得4y2=-3x2+12，其中x≠±2，

所以动点M的轨迹C的方程为；

（2）（i）由椭圆对称性知四边形PFQF′为平行四边形，

可得S△PF′Q=S△PFQ，即，

根据椭圆的定义，可得，

因为P（x0，y0）为轨迹C在第一象限的点，则且x0∈（0，2），

所以，

则|PF|∈（1，2），所以，即；

（ii）证明：由题知切线l的斜率存在，可设切线l的方