河南省普通高中2026-2027学年高二上学期开学联考数学试卷（含解析）

河南省部分普通高中2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数（其中i是虚数单位）的虚部是（

）A． B． C． D．3．已知，，，为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则4．已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．5．函数在上的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．6．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（

）A．和为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件7．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（

）A． B． C． D．8．在中，，，，，则（

）A．0 B． C．6 D．二、多选题9．已知，，为实数，则（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，都大于，则 D．若，，，则10．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．正三棱柱的外接球表面积为C．周长的最小值为D．已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为11．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（

）A．的最小正周期为4B．的图象关于点对称C．为奇函数D．的解集为三、填空题12．在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______．13．已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________．14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_________.四、解答题15．已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根．(1)求，的值；(2)若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围．16．已知在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求的值；(2)若线段上的一点满足，求的值．17．某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）.(1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差.18．如图，在三棱台中，平面平面，，，．(1)证明：平面．(2)若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：．(3)线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．19．盒中有个标号为的小球，小球除标号外均相同，每次不放回地随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得的奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”．(1)当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率；(2)记“取出个球后，第一次出现“巧遇”，，“第一次取到的是奇数号球”．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求取球过程中至少出现一次“巧遇”的概率．参考答案1．C解析：将1，2，3，4，5分别代入得到,即,所以2．C解析：复数，所以的虚部为.3．A解析：对于A，令，，若，则必有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行或相交，故A错误；对于B，由线面平行的性质定理易得命题正确，故B正确；对于C，由面面垂直的判定定理易得命题正确，故C正确；对于D，设，，过点分别作于点，于点，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理可得，又因为，，则，故D正确.4．A解析：因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增，所以，，，则.5．D解析：因为.当时，令，则.因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，.所以当时，，所以.即当时，函数的值域为.所以所求函数的最大值与最小值的和为.6．B解析：事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，，；事件的基本事件有，，，.和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误；，，事件的基本事件有，，则，所以和为相互独立事件，B正确；，，事件的基本事件有，，则，故和不为相互独立事件，C错误；和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误.7．C解析：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为.因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为，所以展开图弧长等于底面周长，即.又圆锥的侧面积为.解得.圆锥的高为.故圆锥的体积为.8．B解析：由题意知：，可得为的外心，取的中点，连接，则，所以，又由，同理可得，所以，可得，因为在中，，，可得，解得，又因为，由余弦定理，可得，即，所以，所以，则，所以，所以.9．AD解析：对于A，因为，所以，故，可得，A对；对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错；对于C，作差得，若，则，反之，，C错；对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对10．AD解析：选项A分析：三棱锥的体积，其中为点到平面的距离，在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面.因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值.底面是直角三角形，，也是定值.所以，三棱锥的体积为定值.故A正确.选项B分析：设正三棱柱外接球的半径为，底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径，棱柱的高，根据外接球半径公式，得：，外接球表面积.故B错误.选项C分析：的周长.在中，，为定值.要求周长最小值，即求的最小值.如图：，.根据勾股定理，的最小值为.所以周长的最小值为.故C错误.选项D分析：建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴.则，，.因为是边长为2的等边三角形，所以.设：平面得法向量为，又，，所以，且，即，且，令，则，，平面的法向量，又因为，点到平面的距离.设点在平面上，且.根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分.侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点.我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长.设圆弧与交于点，与交于点.在中，，，所以.同理，.因为，所以是的中点；同理是的中点.在正方形中，是的中点，是中点，是中点.，，同理.所以圆弧所对的圆心角为.轨迹长度.故D正确.11．ACD解析：因为是定义在上的偶函数，所以，即，函数的图象关于直线对称，因为，所以，函数的图象关于点中心对称，由，令，则，因为，即，所以，即，进一步得，所以是函数的一个周期，若存在更小的正周期，则，而上，，结合其对称性，在上的唯一解是，故不存在小于的正周期，最小正周期为，A正确；由，则，由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B错误；令，由的图象关于直线以及的最小正周期为，，所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的，所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C正确；当时，，结合函数图象的对称性，当时，，当时，，当时，，由，即，解得，结合最小正周期为，解集为，D正确.12．10解析：已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数，即中位数为．极差是最大值12减去最小值4，即极差为．因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得．此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10．13．解析：已知为等边三角形，设边长为a，其面积，解得，即；设底面的外接圆半径为r，，因为，所以D在底面上的投影H即为的外心;在直角中，高,设四面体外接球的球心为O，半径为R，球心O必在高线所在的直线上；设，由于D到平面的距离为，球心到平面的距离为x，则；同时，球心到顶点D的距离也为R，则，故，解得，由此可知O在延长线上，则球的体积.14．解析：由，得，即，根据正弦定理，上式可化为.又.因为为锐角三角形，所以，得，所以，得，所以.，得，所以，得，所以，因此，有.令，则，令，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.15．(1)，；(2)．解析：（1）因为是方程的根，将其代入方程，得.又，所以，即.由，得，解得，.（2）由题意，对应的向量为，对应的向量为，两向量夹角为钝角，需满足，且两向量不反向共线，由，得.当两向量共线时，，即，此时，两向量反向，夹角为，舍去.综上，.16．(1)(2)解析：（1）根据正弦定理，可得，设，由余弦定理，化简得，解得（边长为正，舍去负根），由余弦定理得．（2）由得，即，为直角三角形，所以，因此，由余弦定理得，因为，所以，所以．17．(1)，估计该校达标的人数为人；(2)分钟；(3).解析：（1）由频率分布直方图可知，组距为，则，解得.每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为：.故估计该校达标的人数为（人）.（2）该校学生每周课外阅读的平均时间为：（分钟）.（3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差；样本数据在内的频率为，平均数为，方差.设样本数据在内的平均数为，方差为.则.由分层方差公式可得：.故样本数据在内的方差为.18．(1)证明：因为，，所以，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．(2)证明：因为四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．(3)存在，解析：（1）略（2）略（3）分别取，的中点，，连接，，．因为，所以四边形为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得．因为平面平面，平面，所以平面．根据棱台的性质可得，所以，，，四点共面．假设存在符合题意的点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．因为，，所以，所以平面，所以，所以即二面角的平面角．由题意可得，，，，．设，由，得，．由.得．若二面角为，则，解得，则，所以