主分量分析与主因子课件

主分量分析与主因子分析

主分量分析，又称主成分分析，进行空间分析时又称经验正交函数展开，是气象统计分析中广泛应用的方法之一。对事物特征的描述因子往往有众多的反映不同特征的指标，而由于因子众多，而且因子之间存在相关和重叠，特征描述就比较杂乱，难以表现最主要的规律，主分量分析就是归纳多因子的线性组合得到综合因子，而这个综合因子指标概括了多个因子变化的主要信息，从而可以减少表示特征的因子数，这个综合指标称为主成分或主分量。

打个比方，测量空气中的C和O元素含量的变化，在n个样本中发现，CO2浓度比较稳定，CO变化较大，，若C的含量为X1，O的含量为X2，则co的含量y=x1+x2，就是主成分，它综合反映C和O的变化，而可不考虑CO2的变化。

从某种角度上说，各因子之间的相关性，必然存在起支配作用的共同因素，每一主成分代表变量间结合关系的一种作用。如气象统计中，经常要研究各种气象要素场，如环流场，温度场，如果抽取要素场某段时期的资料，就构成一组以网格点为空间点随时间变化的样本，气象演变规律体现在要素场的结构上，一个空间场特征需众多的变量（空间点）描述，分析复杂，不易反映其主要特征，主分量分析用多因子组合综合反映一种典型分布（如经向环流），即概括多因子变化的主要信息。

§4.1主分量的概念

例:设所分析的气象要素场有两个空间点，记为x1、x2,样本容量n=25,资料，统计得到，两者的解释方差分别为20.3/44.4=46%，24.1/44.4=54%，两变量的解释方差基本相当。y1y2如果沿样本变化的主轴方向作坐标变换则由原变量组合新变量按上式分别计算y1、y2的样本值如表，计算方差为

y1、y2的解释方差分别占为86%和14%，y1能够解释绝大部分的变化特征，y1最大限度地反映了{x1,x2}的变化信息。把新变量称为x1和x2的主成分。客观上可用较少的变量表达同样的信息量，故又称降维技术。构造主分量（主成分）应使其解释方差尽可能的大。§4.2主分量的导出

一、有关基础知识复习

(附录A、C、D）（一）、矩阵和向量的微分定义设（二）、求函数的条件极值的拉格朗日乘数法在的条件下求函数f（x）=x’Ax的极值，相当于求的极值，即求的解,λ称为拉格朗日乘子。函数（三）、矩阵的特征值与特征向量一个p阶方阵A，若存在p维列向量V和一个非零数λ，使得

则称λ为矩阵A的特征值或特征根，而V称为A对应特征值λ的特征向量。例二、主分量的导出

一般的，如果有p个变量x1,…xp,将它们综合组成m个综合变量：系数向量Vi,由D(yi)=D(V’iX)=max导出已知原气象资料矩阵t对任意i，根据要求:其中样本协方差矩阵因此有但如果不对作限定，则极大值无意义规定对Vi作标准化限定，Vi为单位向量,，在此条件下，求使达到极大的向量Vi为一个条件极值，即在约束条件

下的极值。根据拉格朗日法则，即为求：的极值由矩阵和向量的微分（2）、（3）可知原要素样本协方差矩阵的特征向量即为极值解。也就是主分量系数的解。由根据线性代数知识，要使Vi有非零解，必须满足条件（齐次方程组）若S为非奇异阵，则它有p个非零特征值和对应的特征向量，也就有p个主分量y1,…yp。。由前述，对，左乘Vi’有

主分量yi

的方差等于对应特征向量的特征值。对p个特征值按大小排列，取最大值λ1所对应的特征向量，构造第一主分量：依次可有p个主分量，其方差分别为主分量向量：样本矩阵：三、主分量的性质1、各主分量的方差分别为原p个变量的协方差的特征值，不同的主分量彼此是独立的。引用定理：若A为p×p是对称阵，则必存在一个正交矩阵V(p×p)，使得：

其中为对角阵，阵中元素为A的特征值，V为由对应的特征向量为列向量组成。（注：若，则称V为正交阵）证：类似有将代入

有性质得证。2、各主分量的方差贡献按对应特征值的大小顺序排列。称前m个主分量占总方差的百分率为累积方差贡献，或累积解释方差。3、p个主分量的总方差与原p个变量的总方差相等。对关系式两边取迹得：故累积解释方差可写为Lorenz最早把主成分分析应用到气象要素场，他对美国64个测站的气压场作主成分分析，发现64个中，前8个主成分已经到达描述总方差的91%，说明用前8个主成分就可以代替64个变量，大为减少研究变量个数。

当特征值相差越大时，主成分分析越有意义，反之特征值相接近，则主成分分析的价值就不大。主成分分析并未对总体分布作任何假定，因此它对各类分别的数据都能分析。其目的在于简化结构因子，寻找综合因子，分类等，在地球科学各领域研究中均有广泛的应用。§4.3要素场的经验正交函数分解

又称自然正交展开，简称EOF分析，是主成分的应用。在气象科研中有极广泛的应用。

气象场的变化有空间的变化特征，也有时间的变化特征，经验正交展开的思路是将气象场的空间和时间变化分解，分别分析其空间特征和时间变化特征。

理论上，空间变化函数F（x）可分解为若干典型正交空间函数的线性叠加。经验正交函数展开即根据历史资料寻找典型的正交空间函数簇和时间函数。对p个测点的同一要素构成的气象场可看成p维向量。资料阵：每列是对应某时刻的空间场由样本统计得到空间变量(x1…xp)的协方差矩阵S，求解出S的特征值λi和特征向量V。可得主分量：同乘V，得

如果把X看作p维空间的向量，它是空间的函数，Vi也看作p维空间向量，X分解为p个空间函数的线性叠加，它们由经验资料所归纳，故称经验函数，把一个特征向量的空间分布称为一个典型场，它表明一种经常出现的空间分布态（模态）。主分量为时间系数。由前述，易证：即空间函数与时间函数都具备正交性质。称为经验正交函数展开。由yi=V’iX可知，典型场与实际要素场越相似，时间系数越大。

经验正交函数展开的拟合精度根据前述第t个要素场的第i个测点的值取前m个典型场拟合作为近似可证其误差项：原要素场的总离差平方和：相对指标误差而相对拟合精度R2与前m个典型场的累积解释方差是一致的：例;选我国大陆15地面站20年（1951~1970）一月份气温距平值（标准化），进行经验正交分解，下表、图给出前三典型场和时间系数。前五个典型场的累积方差贡献为；可见，前三个典型场累积方差贡献达81%，前五个已达90%。

自然正交展开函数应用实例第一典型场，全国范围的气温偏高或偏低。第二典型场，东部偏冷或偏暖的特征。第三典型场，西部偏冷或偏暖的特征。*用雅可比（Jacobi）方法求矩阵的特征值和特征向量对实对称矩阵A，根据线性代数，必有

其中Λ由特征值构成的对角阵，V是由对应特征向量为列向量组成的方阵。Jacobi方法是通过寻找变换方阵Ti,对Ａ逐步进行变换，最终使A对角化的方式。设1、确定使A对角化矩阵的第一近似T1如果A的上三角元素中，绝对值最大者是ast，通过坐标轴的旋转变换，可以变

ast为零，即第s列第t