2026年《应用统计学》练习题及答案

2026年《应用统计学》练习题及答案一、单项选择题1.以下关于统计量的描述中，正确的是（）。A.统计量是样本的函数且包含未知参数B.样本均值和样本方差都是统计量C.总体均值是统计量D.统计量的分布与总体分布无关答案：B2.中心极限定理适用于（）。A.任意分布的总体，只要样本量n≥30B.正态分布总体，样本量n≥10C.二项分布总体，样本量n≥50D.只有总体为均匀分布时适用答案：A3.在假设检验中，若原假设H₀为真，但被错误拒绝，此为（）。A.第一类错误（α错误）B.第二类错误（β错误）C.正确决策D.无法判断答案：A4.若变量X与Y的相关系数r=0.85，则说明（）。A.X与Y完全正相关B.X与Y高度正相关C.X与Y无线性相关关系D.X与Y负相关答案：B5.卡方检验（χ²检验）通常用于（）。A.检验两个总体均值是否相等B.检验分类变量的独立性C.检验总体方差是否等于某个值D.检验回归系数的显著性答案：B6.单因素方差分析的基本思想是（）。A.比较组内方差与组间方差的差异B.比较样本均值与总体均值的差异C.比较各样本方差的大小D.比较各样本中位数的差异答案：A7.在95%置信水平下，总体均值的置信区间宽度（）。A.随样本量增大而增大B.随总体标准差增大而减小C.随置信水平降低而减小D.与样本量无关答案：C二、计算题1.某企业100名员工的月收入（单位：元）分组数据如下：月收入区间[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000]频数20353015计算：（1）样本均值；（2）样本方差；（3）中位数。答案：（1）计算组中值：4000,6000,8000,10000。样本均值x̄=(20×4000+35×6000+30×8000+15×10000)/100=(80000+210000+240000+150000)/100=680000/100=6800（元）。（2）样本方差s²=[Σf_i(x_i-x̄)²]/(n-1)计算各项：20×(4000-6800)²=20×(-2800)²=20×7,840,000=156,800,00035×(6000-6800)²=35×(-800)²=35×640,000=22,400,00030×(8000-6800)²=30×(1200)²=30×1,440,000=43,200,00015×(10000-6800)²=15×(3200)²=15×10,240,000=153,600,000总和=156,800,000+22,400,000+43,200,000+153,600,000=376,000,000s²=376,000,000/(100-1)≈3,797,979.80（元²）。（3）中位数位置=(100+1)/2=50.5，前两组频数和为20+35=55≥50.5，故中位数在[5000,7000)组。中位数=5000+[(50.5-20)/35]×2000=5000+(30.5/35)×2000≈5000+1742.86≈6742.86（元）。2.某产品的不合格率为5%，随机抽取20件检验，求：（1）恰好2件不合格的概率；（2）至少1件不合格的概率（保留4位小数）。答案：设X为不合格品数，X~B(n=20,p=0.05)。（1）P(X=2)=C(20,2)×0.05²×0.95¹⁸=190×0.0025×0.3972≈0.1887。（2）P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(20,0)×0.05⁰×0.95²⁰=1-1×1×0.3585≈0.6415。3.某城市随机抽取36户家庭，测得月用电量（单位：度）的样本均值为210度，样本标准差为30度。试以95%置信水平估计该城市家庭月用电量的总体均值置信区间。答案：n=36（大样本），可用z分布。置信水平95%，zα/2=1.96。置信区间=x̄±zα/2×(s/√n)=210±1.96×(30/√36)=210±1.96×5=210±9.8，即(200.2,219.8)度。4.某企业声称其产品的平均使用寿命为5000小时，质检部门随机抽取25件产品，测得平均寿命为4800小时，样本标准差为600小时。检验该企业声明是否可信（α=0.05）。答案：H₀:μ=5000；H₁:μ≠5000（双侧检验）。n=25，t统计量=t=(x̄-μ)/(s/√n)=(4800-5000)/(600/5)=(-200)/120≈-1.6667。自由度df=25-1=24，α=0.05，双侧临界值t0.025(24)=2.064。|t|=1.6667<2.064，不拒绝H₀，认为企业声明可信。5.某医院记录了不同年龄段患者对两种治疗方案的偏好，数据如下表（单位：人）：年龄段方案A方案B合计青年（≤35岁）4060100中年（36-55岁）5545100老年（≥56岁）7030100合计165135300检验年龄段与治疗方案偏好是否独立（α=0.05，χ²临界值=5.991）。答案：H₀:独立；H₁:不独立。计算期望频数E_ij=(行合计×列合计)/总合计。青年-方案A:E=100×165/300=55；青年-方案B:E=100×135/300=45中年-方案A:E=100×165/300=55；中年-方案B:E=100×135/300=45老年-方案A:E=100×165/300=55；老年-方案B:E=100×135/300=45χ²=Σ[(O_ij-E_ij)²/E_ij]=(40-55)²/55+(60-45)²/45+(55-55)²/55+(45-45)²/45+(70-55)²/55+(30-45)²/45=(225/55)+(225/45)+0+0+(225/55)+(225/45)≈4.09+5+4.09+5=18.18χ²=18.18>5.991，拒绝H₀，认为年龄段与治疗方案偏好不独立。6.某公司收集了广告投入（x，万元）与月销售额（y，万元）的10组数据，计算得：Σx=50，Σy=800，Σx²=300，Σy²=70000，Σxy=4500。（1）求一元线性回归方程；（2）计算判定系数R²并解释其意义；（3）预测广告投入8万元时的销售额。答案：（1）n=10，x̄=50/10=5，ȳ=800/10=80。斜率b₁=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx²-(Σx)²)=(10×4500-50×800)/(10×300-50²)=(45000-40000)/(3000-2500)=5000/500=10。截距b₀=ȳ-b₁x̄=80-10×5=30。回归方程：ŷ=30+10x。（2）总平方和SST=Σ(y_i-ȳ)²=Σy²-(Σy)²/n=70000-800²/10=70000-64000=6000。回归平方和SSR=b₁²×[nΣx²-(Σx)²]/n=10²×(3000-2500)/10=100×500/10=5000（或SSR=Σ(ŷ_i-ȳ)²=b₁²×Σ(x_i-x̄)²，Σ(x_i-x̄)²=Σx²-(Σx)²/n=300-250=50，故SSR=10²×50=5000）。判定系数R²=SSR/SST=5000/6000≈0.8333，说明广告投入解释了83.33%的销售额变异，拟合效果较好。（3）x=8时，ŷ=30+10×8=110（万元）。7.某工厂用三种工艺生产同一种零件，各抽取5件测量其长度（单位：mm），数据如下：工艺A工艺B工艺C202225212324222126232423202225完成方差分析表，并判断三种工艺的零件长度是否有显著差异（α=0.05，F临界值=3.89）。答案：计算各样本均值：工艺A：(20+21+22+23+20)/5=21.2；工艺B：(22+23+21+24+22)/5=22.4；工艺C：(25+24+26+23+25)/5=24.6。总均值x̄=(21.2×5+22.4×5+24.6×5)/15=(106+112+123)/15=341/15≈22.73。组间平方和SSA=Σn_i(x̄_i-x̄)²=5×(21.2-22.73)²+5×(22.4-22.73)²+5×(24.6-22.73)²=5×(-1.53)²+5×(-0.33)²+5×(1.87)²=5×2.3409+5×0.1089+5×3.4969≈11.7045+0.5445+17.4845≈29.7335。组内平方和SSE=ΣΣ(x_ij-x̄_i)²：工艺A：(20-21.2)²+(21-21.2)²+(22-21.2)²+(23-21.2)²+(20-21.2)²=1.44+0.04+0.64+3.24+1.44=6.8工艺B：(22-22.4)²+(23-22.4)²+(21-22.4)²+(24-22.4)²+(22-22.4)²=0.16+0.36+1.96+2.56+0.16=5.2工艺C：(25-24.6)²+(24-24.6)²+(26-24.6)²+(23-24.6)²+(25-24.6)²=0.16+0.36+1.96+2.56+0.16=5.2SSE=6.8+5.2+5.2=17.2。总平方和SST=SSA+SSE=29.7335+17.2≈46.9335。自由度：组间df_A=3-1=2；组内df_E=15-3=12；总df_T=15-1=14。均方MSA=SSA/df_A=29.7335/2≈14.8668；MSE=SSE/df_E=17.2/12≈1.4333。F=MSA/MSE≈14.8668/1.4333≈10.37。方差分析表：方差来源平方和自由度均方F值组间29.73214.8710.37组内17.20121.43总计46.9314F=10.37>3.89，拒绝原假设，认为三种工艺的零件长度有显著差异。三、应用题1.某电商平台为评估用户满意度，随机调查了400名用户，其中320人表示“满意”。（1）计算用户满意度的样本比例；（2）以99%置信水平估计总体满意度的置信区间（zα/2=2.58）。答案：（1）样本比例p̂=320/400=0.8。（2）置信区间=p̂±zα/2×√[p̂(1-p̂)/n]=0.8±2.58×√[(0.8×0.2)/400]=0.8±2.58×0.02=0.8±0.0516，即(0.7484,0.8516)，即74.84%~85.16%。2.某药厂研发两种新药，分别在A、B两组患者中试验，A组100人治愈75人，B组120人治愈84人。检验两种新药的治愈率是否有显著差异（α=0.05，zα/2=1.96）。答案：H₀:p₁=p₂；H₁:p₁≠p₂。p̂₁=75/100=0.75，p̂₂=84/120=0.7，合并比例p̄=(75+84)/(100+120)=159/220≈0.7227。z=(p̂₁-p̂₂)/√[p̄(1-p̄)(1/n₁+1/n₂)]=(0.75-0.7)/√[0.7227×0.2773×(1/100+1/120)]=0.05/√[0.2005×0.0183]≈0.05/√0.00367≈0.05/0.0606≈0.825。|z|=0.825<1.96，不拒绝H₀，认为两种新药治愈率无显著差异。3.某城市统计了2018-2023年的年降水量（y，mm）与年平均气温（x，℃）数据，得到回归方程ŷ=1200-50x，且R²=0.85。（1）解释回归系数的意义；（2）若2024年平均气温预计为15℃，预测年降水量；（3）说明R²的含义。答案：（1）回归系数-50表示年平均气温每升高1℃，年降水量平均减少50mm。（2）x=15时，ŷ=1200-50×15=1200-750=450（mm）。（3）R²=0.85说明年平均气温解释了85%的年降水量变异，模型拟合效果较好。4.某教育机构比较三种教学方法对学生数学成绩的影响，随机将60名学生分为三组（每组20人），期末测试成绩的方差分析结果显示：组间平方和=1