新人教版高中数学必修第一册 5.3　第1课时　诱导公式二、三、四 教案

第1课时诱导公式二、三、四(教师独具内容)课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(π±α，－α的正弦、余弦、正切)．教学重点：诱导公式的推导过程及应用．教学难点：诱导公式的灵活应用．核心素养：1.借助公式进行运算培养数学运算素养.2.通过公式的变形进行化简和证明提升逻辑推理素养.知识点一角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(01))原点对称，如图(a)；(2)角－α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(02))x轴对称，如图(b)；(3)角π－α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(03))y轴对称，如图(c)．知识点二诱导公式公式一sin(α＋2kπ)＝eq\x(\s\up1(01))sinα，其中k∈Zcos(α＋2kπ)＝eq\x(\s\up1(02))cosα，其中k∈Ztan(α＋2kπ)＝eq\x(\s\up1(03))tanα，其中k∈Z公式二sin(π＋α)＝eq\x(\s\up1(04))－sinαcos(π＋α)＝eq\x(\s\up1(05))－cosαtan(π＋α)＝eq\x(\s\up1(06))tanα公式三sin(－α)＝eq\x(\s\up1(07))－sinαcos(－α)＝eq\x(\s\up1(08))cosαtan(－α)＝eq\x(\s\up1(09))－tanα公式四sin(π－α)＝eq\x(\s\up1(10))sinαcos(π－α)＝eq\x(\s\up1(11))－cosαtan(π－α)＝eq\x(\s\up1(12))－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．()(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．()(3)等式tan(α－π)＝tanα中，α＝eq\f(π,2)不成立．()(4)sin(α－π)＝sinα.()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)(2)已知tanα＝2，则tan(π－α)＝________.(3)sineq\f(17π,6)＝________.(4)cos(5π＋α)＋cos(3π－α)＋cos(2π－α)＝________.答案(1)A(2)－2(3)eq\f(1,2)(4)－cosα题型一给角求值例1求下列三角函数值：(1)taneq\f(3π,4)＋cos(－1650°)＋sineq\f(11π,6)；(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°.[解](1)原式＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＋cos1650°＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,4)＋cos(4×360°＋210°)－sineq\f(π,6)＝－1＋cos210°－eq\f(1,2)＝－1＋cos(180°＋30°)－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)－cos30°＝－eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2).(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝－2.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[跟踪训练1]计算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\f(4π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\f(3π,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－cos\f(π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)－cos\f(2π,5)))＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.题型二给式(值)求值例2(1)已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5) D．eq\f(3,5)(2)已知sineq\f(5π,7)＝m，则coseq\f(2π,7)的值等于()A．m B．－mC.eq\r(1－m2) D．－eq\r(1－m2)(3)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．[解析](1)因为sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第四象限角，所以cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以cos(α－2π)＝cosα＝eq\f(4,5).(2)因为sineq\f(5π,7)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,7)))＝sineq\f(2π,7)＝m，且eq\f(2π,7)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以coseq\f(2π,7)＝eq\r(1－m2).(3)因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).[答案](1)B(2)C(3)见解析[结论探究]若本例(3)中条件不变，如何求sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值？解因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))2＝eq\f(2,3).又因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(2,3)－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2－\r(3),3).解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[跟踪训练2](1)若P(－4,3)是角α终边上一点，则eq\f(cosα－3πtanα－2π,sin2π－α)的值为________.(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．答案(1)－eq\f(5,3)(2)见解析解析(1)由已知，得sinα＝eq\f(3,5)，故所求式＝eq\f(－cosαtanα,sin2α)＝eq\f(－cosα·\f(sinα,cosα),sin2α)＝eq\f(－1,sinα)＝－eq\f(5,3).(2)∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).题型三三角函数式的化简例3化简下列各式：(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)．[解](1)原式＝eq\f(\f(sin2π－α,cos2π－α)·sin－αcos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－sinα－sinα,－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα.(2)原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.(3)当k为偶数时，原式＝sineq\f(2π,3)coseq\f(4π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)coseq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),4).当k为奇数时，原式＝sineq\f(2π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(4π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4).三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．[跟踪训练3]化简下列各式：(1)eq\f(cosα＋πsin2α＋3π,tanα＋πcos3－α－π)；(2)eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)(k∈Z)．解(1)原式＝eq\f(－cosαsin2α,－tanαcos3α)＝eq\f(tan2α,tanα)＝tanα.(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝eq\f(sin2nπ－αcos[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α)＝eq\f(sin－αcos－π－α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝eq\f(sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－αcosα,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.综上，原式＝－1.1．已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)答案B解析因为sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第四象限角，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(4,5).2．sin510°的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析sin510°＝sin(360°＋150°)＝sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，则cos(π－θ)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)答案C解析∵r＝1，∴cosθ＝－eq\f(\r(5),5)，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝eq\f(\r(5),5).4.eq\f(cos－585°,sin495°＋sin－570°)的值等于________.答案eq\r(2)－2解析原式＝eq\f(cos360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)＝eq\f(cos180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)＝eq\f(－cos45°,sin45°－－sin30°)＝eq\f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq\r(2)－2.5．化简：eq\f(sinα＋nπ＋sinα－nπ,sinα＋nπcosα－nπ)(n∈Z)．解当n＝2k，k∈Z时，原式＝eq\f(sinα＋2kπ＋sinα－2kπ,sinα＋2kπcosα－2kπ)＝eq\f(2,cosα).当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝eq\f(sin[α＋2k＋1π]＋sin[α－2k＋1π],sin[α＋2k＋1π]cos[α－2k＋1π])＝－eq\f(2,cosα).所以原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosα)n为偶数，,－\f(2,cosα)n为奇数.))一、选择题1．sin210°＋cos(－60°)＝()A．0 B．1C．－1 D．2答案A解析sin210°＋cos(－60°)＝－sin30°＋cos60°＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0.2．若sinα＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，则tan(π－α)的值等于()A.eq\f(\r(2),4) B．－2eq\r(2)C．2eq\r(2) D．－eq\f(\r(2),4)答案A解析∵sinα＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(2),3)，∴tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),4)答案C解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),4).4．设tan(3π＋α)＝3，则eq\f(sinα＋3π＋cosπ＋α,sin－α－cosπ＋α)的值等于()A．2 B．－2C．－1 D．1答案A解析∵tan(3π＋α)＝tan[2π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tanα，∴tanα＝3，∴原式＝eq\f(sinπ＋α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝2，故选A.5．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，则sinα＋cosα的值为()A．±eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(7,5)答案B解析∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tanα＝－eq\f(3,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，且tanα＜0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＞0，cosα＜0.又tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，①sin2α＋cos2α＝1,②由①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3,5)，,cosα＝－\f(4,5).))∴sinα＋cosα＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).故选B.二、填空题6.eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________.答案1－sinθ解析原式＝eq\r(2－2sinθ－cos2θ)＝eq\r(2－2sinθ－1－sin2θ)＝eq\r(sinθ－12)＝1－sinθ.7．已知3sin(α－π)＝cosα，则tan(π－α)的值是________.答案eq\f(1,3)解析∵3sin(α－π)＝cosα，∴－3sinα＝cosα，∴tanα＝－eq\f(1,3)，∴tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(1,3).8．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.答案eq\f(12,13)解析因为cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13)，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).三、解答题9．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα<0，求eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)的值．解因为sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(4,5)，又因为sinαcosα<0，所以cosα>0，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).所以原式＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),－4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).10．已知f(α)＝eq\f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．解(1)f(α)＝－eq\f(sinαcosα－tanα,－tanαsinα)＝－cosα.(2)∵sin(α－π)＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)∵－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).1．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(11,4) D．eq\f(9,4)答案A解析因为sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－eq\f(\r(2),2)，所以原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(其中a，b，α，β为非零实数)，若f(2021)＝5，则f(2023)的值是()A．5 B．3C．8 D．不能确定答案A解析∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，∴f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝5.∴asinα＋bcosβ＝－1.∴f(2023)＝asin(2023π＋α)＋bcos(2023π＋β)＋4＝－asinα