新人教版高中数学必修第一册 5.3　第2课时　诱导公式五、六 教案

第2课时诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)±α的正弦、余弦)).教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．教学难点：诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用．核心素养：1.通过诱导公式求值提升数学运算素养.2.借助诱导公式进行化简和证明培养逻辑推理素养.知识点诱导公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α为第二象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－cosα.()(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα.()(3)sin(270°＋100°)＝cos100°.()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)下列与sinθ的值相等的是()A．sin(π＋θ) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))(2)已知sinθ＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝________.(3)若cos(α＋π)＝－eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))＝________.(4)sin223°＋sin267°＝________.答案(1)C(2)－eq\f(1,3)(3)eq\f(2,3)(4)1题型一利用诱导公式化简、求值例1(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________.(2)已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),sin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))).①化简f(α)；②若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)．[解析](1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,3).(2)①f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),sin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(sinαcosα－cosα,sinαcosα)＝－cosα.②因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，所以sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5).所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).[答案](1)eq\f(1,3)(2)见解析[条件探究]本例(1)中条件变为已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)－α))＝eq\f(1,3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).解由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)－α))＝eq\f(1,3)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＝eq\f(1,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＝－eq\f(1,3).用诱导公式化简、求值的三个角度(1)角的变化：对于三角函数式的化简、求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和eq\f(π,2)±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．[跟踪训练1]已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，求sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))的值．解∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝eq\f(3,5)，∴sinθcosθ＝eq\f(1,2)[(sinθ＋cosθ)2－1]＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)－1))＝－eq\f(8,25).∴sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝cos3θ＋cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cos3θ＋sin3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,25)))))＝eq\f(99,125).题型二利用诱导公式证明恒等式例2求证：eq\f(tan－α\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))cos－α,－tanα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))))＝1.[证明]∵左边＝eq\f(－tanα－sinαcosα,－tanα－cosαsinα)＝1＝右边，∴原式成立．三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练2]求证：eq\f(cosπ－θ,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq\f(cos2π－θ,cosπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq\f(2,sin2θ).证明∵左边＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ＋1＋cosθ,1＋cosθ1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝右边，∴原等式成立.题型三诱导公式的综合应用例3在平面直角坐标系xOy中，角α，βeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)<β<π))的顶点与坐标原点O重合，始边均为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为eq\f(4,5)，eq\f(5,13).(1)求tanβ的值；(2)求eq\f(sinα＋π＋cosπ－β,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))的值．[解](1)因为β的终边与单位圆交于点B，点B的纵坐标为eq\f(5,13)，所以sinβ＝eq\f(5,13).因为eq\f(π,2)<β<π，所以cosβ＝－eq\f(12,13).所以tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝－eq\f(5,12).(2)因为α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(4,5).因为0<α<eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\f(3,5)，故eq\f(sinα＋π＋cosπ－β,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))＝eq\f(－sinα－cosβ,cosα－sinβ)＝eq\f(－\f(4,5)＋\f(12,13),\f(3,5)－\f(5,13))＝eq\f(4,7).诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．[跟踪训练3]已知f(α)＝eq\f(sin2π－αtanπ＋αcos－α－π,cosπ－αtan3π－α).(1)将f(α)化为最简形式；(2)若f(α)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，且α∈(0，π)，求tanα的值．解(1)由题意可得f(α)＝eq\f(－sinαtanα－cosα,－cosα－tanα)＝sinα.(2)因为f(α)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①将①式平方可得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25).所以2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0.因为α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα－cosα>0.因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25)，所以sinα－cosα＝eq\f(7,5).②由①②可得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5).所以tanα＝－eq\f(4,3).1．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))>0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))<0，则θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ>0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ<0，所以θ是第四象限角，故选D.2．已知sinθ＝eq\f(2,3)，则cos(450°＋θ)的值是()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(5),3)答案B解析cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－eq\f(2,3).3．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α为第四象限角，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.答案eq\f(2\r(6),5)解析因为cosα＝eq\f(1,5)，且α为第四象限角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(6),5).4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))的值是________.答案eq\f(2,5)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(5π,12)－θ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2,5).5．已知cos(2π－α)＝－eq\f(3,5)，且α为第三象限角．(1)求sinα的值；(2)求f(α)＝eq\f(tan－αsinπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)的值．解(1)∵cos(2π－α)＝－eq\f(3,5)，且α为第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5).(2)f(α)＝eq\f(tan－αsinπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＝eq\f(－tanαsinαcosα,－cosα)＝tanαsinα＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2,－\f(3,5))＝－eq\f(16,15).一、选择题1．若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))等于()A．－eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D．±eq\f(\r(5),3)答案A解析∵cos(2π－α)＝cosα＝eq\f(\r(5),3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα＝－eq\f(\r(5),3).2．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan(π－α)＝()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)答案D解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5).∴tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝()A．3－cos2x B．3－sin2xC．3＋cos2x D．3＋sin2x答案C解析f(cosx)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x，故选C.4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－eq\f(2a,3) B．－eq\f(3a,2)C.eq\f(2a,3) D．eq\f(3a,2)答案B解析由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2)，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3a,2).5．已知tanθ＝4，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cosπ＋θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)等于()A．－1 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(2,3)答案C解析∵tanθ＝4，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cosπ＋θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq\f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(3cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(3,tanθ－1)＝1.二、填空题6．化简sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝________.答案－1解析原式＝(－sinα)sinα＋cosα(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1.7．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝________.答案－eq\f(1,3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(1,3).8．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(\r(3),2)，且|α|<eq\f(π,2)，则tanα＝________.答案±eq\f(\r(3),3)解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(\r(3),2)，得cosα＝eq\f(\r(3),2)，又|α|<eq\f(π,2)，故α＝eq\f(π,6)或α＝－eq\f(π,6).当α＝eq\f(π,6)时，tanα＝eq\f(\r(3),3)；当α＝－eq\f(π,6)时，tanα＝－eq\f(\r(3),3).三、解答题9．已知角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tanα＋π,sinα＋πcos3π－α)的值．解(1)因为角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以|OP|＝1，sinα＝－eq\f(3,5).(2)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tanα＋π,sinα＋πcos3π－α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα－cosα)＝eq\f(1,cosα)，由三角函数的定义知cosα＝eq\f(4,5)，故所求式子的值为eq\f(5,4).10．求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).证明因为左边＝eq\f(－2cosθsinθ－1,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ)＝eq\f(－sinθ＋cosθ2,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，右边＝eq\f(tan8π＋π＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanπ＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)＋1,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，左边＝右边，所以等式成立．1．已知cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为()A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)答案A解析由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－eq\r(1－cos260°＋α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).2．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(1,3)答案C解析∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2α,8)))2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝eq\f(8,9)或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋1010π＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(2),3).3．tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝________.答案1解析原式＝eq\f(sin45°＋θ,cos45°＋θ)·eq\f(sin45°－θ,cos45°－θ)＝eq\f(sin45°＋θ,cos45°＋θ)·eq\f(sin[90°－45°＋θ],cos[90°－45°＋θ])＝eq\f(sin45°＋θ,cos45°＋θ)·eq\f(cos45°＋θ,sin45°＋θ)＝1.4．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．解方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sinα≤1，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinαcosα)·tan2α＝eq\f(cosα－sinα,sinαcosα)·tan2α＝－tan2α＝－eq\f(9,16).5．已知函数f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,tanα＋πsinα＋π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)，求f(α)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))的值；(3)若feq\b\lc\(\rc\)