四川省遂宁市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷（含解析）

四川省遂宁市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数，i是虚数单位，若z的实部与虚部相等，则实数a的值为(

)A. B. C.1 D.-12．已知向量，，则(

)A.1 B.8 C. D.23．某班5名学生一次物理测试的成绩如下：67，76，73，81，85，则这组数据的中位数为(

)A.73 B.76 C.81 D.834．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则5．在中，，则(

)A. B.或 C. D.或6．如图，在长方体中，，，，点E，F分别为，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为(

)A. B. C. D.7．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为(

)A. B. C. D.8．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，若D为上靠近C的一个三等分点，且，则面积的最大值为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列选项中，正确的是(

)A.若向量，满足，则或B.若非零向量与相等，则B，C重合C.在平行四边形中，D.若与是共线向量，且，则10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若，则B.若，且，则为直角三角形C.若，，，则满足条件的三角形有两个D.若，则不是锐角三角形11．如图1，在直角梯形中，，，，，B，C分别是，的中点，现把，，分别沿，，，折起，使得点，，重合为一点A，得到如图2所示的四面体，则下列说法中正确的是(

)A.平面B.三角形的面积为8C.四面体内切球半径为D.二面角的余弦值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知复数，则________.13．已知一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为____________.14．如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，此时，若将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为，此时.则________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知平面向量，满足，，.(1)若，求；(2)若，求与夹角θ的余弦值.16．（15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)填空：________；(2)求样本数据的第35百分位数；(3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.17．（15分）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为E，底面中心为O.(1)求的长度;(2)求正四棱锥的表面积；(3)设平面平面，求证：；18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)若，，且外接圆圆心为O，求的值；(2)若，求锐角周长的最大值.19．（17分）如图：等边三角形和直角三角形，，，，绕翻折，使点B到达点P.(1)求三棱锥的体积最大值；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在P点运动过程中，当三棱锥表面积最大时，求的余弦值.参考答案1．答案：A解析：由条件可知，则.2．答案：C解析：，所以.3．答案：B解析：将该组数据按照从小到大的顺序排列67，73，76，81，85，所以该组数据的中位数为764．答案：C解析：对于A，由，，可得m，n可能平行，相交或异面，故A错误；对于B，由，可得或，故B错误；对于C，由，可得，又，则有，故C正确；对于D，当m，n是平面β内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误.5．答案：D解析：因为，由正弦定理，得，因为，，所以，因为，所以或.故选：D.6．答案：B解析：如图所示，取的中点M，连接，，，在长方体中，，因为E，M分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角，因为，，，所以，所以，因为F为的中点，所以，所以，所以，，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为.7．答案：D解析：所以外接圆圆心O为的中点，即为外接圆的直径，如图：又，所以为等边三角形，，，向量在向量上的投影数量为：.故投影向量为.故选：D.8．答案：D解析：由正弦定理得.因为，所以原式为，，所以，因为，，因为D为上靠近C的一个三等分点，.两边同时平方得.已知，，又因为，代入上式可得，化简得.根据基本不等式所以，即，当且仅当时取等号.根据三角形面积公式，所以面积的最大值为.9．答案：BC解析：对于A，向量，满足，只说明向量，的长度相等，而它们的方向是任意的，因此向量，不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误；对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点B，C重合，B正确；对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确；对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误.10．答案：ACD解析：对于A，由正弦定理，则，又，则，故A正确；对于B，由和分别是和方向上的单位向量，则在的角平分线上，又，即的角平分线与垂直，所以，又，且，则，所以是等边三角形，故B错误；对于C，由正弦定理，即，又，则，则C有两个角，所以满足条件的三角形有两个，故C正确；对于D，在中，由，得，或，即，或，当时，，即是直角三角形；当时，是钝角三角形，所以不是锐角三角形，故D正确.11．答案：ABD解析：对于A：由题意知，，，，平面，所以平面，A正确；对于B：在直角梯形中，过D作于点E，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为B为的中点，所以.所以在四面体中，，，，所以，B正确；对于C：由选项B可得直角梯形的面积，，，，所以.由选项AB知，平面，.设四面体内切球半径为r，则，故C错误；对于D：如图，在四面体中，过A作平面，经判断知点O在内，过A作于点G，连接，因，，，平面，则平面，结合平面，可得.所以为二面角的平面角.由选项可得，，结合，可得.由选项C知，，则.所以，所以，即二面角的余弦值为，D正确.12．答案：解析：因为，所以.13．答案：2解析：因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得，则该组样本数据的方差为.14．答案：解析：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴，x轴的垂线相交于点E，连接，，则，，由余弦定理得，由上可知，x轴垂直于，，又，平面，所以x轴垂直于平面，又平行于x轴，所以平面，因为平面，所以，设A与B间的水平距离为，则由勾股定理得，即.由联立可解得，，因为的周期，所以.因为图象过，故，根据图形可知，，所以.当时，，.15．答案：(1)(2)解析：(1)因为，且为非零向量，故存在实数λ，使得，故，故，故，故，故.(2)因为，故，而，故，故，故，故.16．答案：(1)0.005(2)75(3)89解析：(1)，解得.(2)成绩在的频率为；成绩在的频率为；成绩在的频率为，故样本数据的第35百分位数在，设该数为，则，解得，故样本数据的第35百分位数为75.(3)由题意，成绩在，内的人数分别为30，20，所以成绩在内的平均数为：，所以，成绩在内的平均数为89.17．答案：(1)(2)36(3)见解析解析：(1)设底面的边长为a，因为O为底面中心，E为的中点，所以且，底面积为，已知高，在中，.则侧面积为，因为侧面积是底面积的2倍，则有，因为，解得，代入得，解得，则（负根舍），即.(2)由(1)得侧面积为，底面积为，则表面积.(3)由题意知底面为正方形，则，又因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，则.18．答案：(1)(2)解析：(1)由题意得，则由正弦定理得，又因为，可得，所以，所以，因为，所以，可得，所以，又因为，所以，因为，，所以由余弦定理可得，故，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得，所以，，所以.(2)结合(1)有，又，则，所以，，所以周长，因为三角形为锐角三角形，则，且，所以，所以，故当时，周长取得最大值，此时.19．答案：(1)4(2)(3)解析：(1)要使三棱锥的体积最大，即点P到平面的距