第15章《综合实践》课件（23张）2026-2027学年八年级数学人教版八年级上册

第十五章轴对称

综合实践《最短路径问题》

学习目标1.掌握直线同侧两定一动的将军饮马基础模型，会利用轴对称作对称点完成规范作图，能用“两点之间，线段最短”解释最短路径的原理；了解造桥选址拓展模型，知道借助平移变换转化线段的基本思路。2.经历把实际生活问题抽象为几何模型的探究过程，体会建模、转化的数学思想，提升几何作图、识图和逻辑推理能力。3.感受轴对称、平移在解决实际最短路径问题中的应用价值，体会几何学科的实用魅力，养成严谨推理、规范答题的习惯。教学重点：将军饮马基础模型的作图方法，理解并应用最短路径原理。教学难点：理解将军饮马最短路径的几何推理依据；初步理解造桥选址中平移变换的意义。观察这两个情境,你能用数学知识解释吗?两点之间,线段最短垂线段最短创设情景创设情景将军饮马的故事C如图，点A，B是直线异侧的两个点，如何在上找一点C，使得AC与BC的和最小?ABl如图，牧民从A地出发，经过小路，回到小路对面B地蒙古包

．牧民怎么走可使他全程所走的路线最短？你能将这个实际问题转化为数学问题解决吗?探究如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地的蒙古包．牧民到河边什么地方饮马可使他全程所走的路线最短？你能把这个实际问题中转化成数学问题解答吗?探究新知ABl抽象ABlABlB'C作轴对称作法：P怎样把点B移到直线的另一侧呢？可利用什么知识？①作点B关于直线的对称点B'②连接AB'，与直线相交与点C,点C即为所求.探究新知你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)连接AC′，BC′，A′C′．由轴对称的性质知:AC=

,AC′=

AC′+BC′=

在△A′BC′中，A′C′+BC′＞

∴AC′+BC′＞

即，AC+BC

最短A′CA′C′A′C′+BC′A′BAC+BCl

C'C

A

B

A'∴AC+BC=

=

A'C+BCA′B验证新知lP

A'

B

A同侧转化异侧两定点在同侧实际问题抽象为数学问题通过轴对称把同侧点转为异侧点利用“两点之间，线段最短”化折为直确定位置两定点在异侧

Al

BP

归纳总结：两定一动点新知小结1.如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使全程所走的路径最短？草地河如图，在∠BOC内部有一点A，在OC、OB上分别找N、M，使ΔANM的周长最短。如图，①作点A关于射线OC、OB的对称点A''、A'；②连接A'A''、A'A''与OC、OB的交点为N、M；③此时△ANM的周长最小，即将士们所走的路径最短.作法：拓展新知2.如图,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短?牧民从A地出发,经过草地和河边,最后回到A地,需要找出最短的行走路径.如图,有射线a,b和点A,求射线a,b上的点,使得点A、射线a,b上的点连线最短.问题1:你能抽象出数学问题吗?拓展新知如何解决这个问题?(1)作点A关于射线a所在直线的对称点A',作点A关于射线b所在直线的对称点A″;(2)连接A'A″,与射线a,b分别相交于点B,C.则点B,C即为所求,如图.拓展新知解：如图所示，AB+BC+CA即为最短路径3.如图,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短?问题1:你能抽象出数学问题吗?如图,有两点A,B及两条射线a,b,找射线a,b上的点,使得点A,B和射线a,b上的点连线最短.拓展新知(1)作点A关于射线a所在直线的对称点A',作点B关于射线b所在直线的对称点B'.(2)连接A'B',与射线a,b分别相交于点C,D.则点C,D即为所求,如图.如何解决这个问题呢拓展新知解：如图所示，AC+CD+DB即为最短路径实际问题抽象为数学问题通过轴对称把同侧点转为异侧点利用“两点之间，线段最短”确定所求位置1.本节课我们学习了什么问题？2.怎样解决这些问题？3.轴对称在这个问题中起着什么作用？课堂小结

1.A,B两地相距5km，A,B两地到河l的距离分别为3km,6km,欲在l上某点M处修建一个水泵站向A,B两地供水，现有以下四种铺设方案，红色实线表示铺设的管道，则所用管道最短的是（）ABCD基础练习B提升练习3.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．QPBCP'E提升练习解：如图所示

4.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.造桥选址问题拓展练习l

B

AABNM

抽象成

M

N作图问题：在直线l上求作一点M，使AM+MN+NB最短问题化数学问题为数学模型：拓展练习那么怎样确定AM+MN+BN在什么情况下最短呢？l

A'

N

M

A

B①平移A到A'，使AA'等于河宽，并且AA'⊥河岸.②连接A'B交河岸于N③作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.拓展练习证明:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A'N１.

AM＝A'N，AA'＝MN＝M１N１，AM１＝A'N１在△A'N１B中，∵A'N1+BN1＞A'B∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN为什么桥的位置建在M、N处，AM+MN+BN在这个位置时最短？l

M1

N1

A'

N

M

A

B由平移性质可知：AM+MN+BN=A'N+AA'+BN=AA'+A'BAM1+M1N1+BN1=AN1+AA1+BN1∴桥的位置建在MN处，AM+MN+BN最短.拓展练习河河

A

BAB

5.A和B两地在二条河的两岸，现要在河上造二座桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短（假定