2.3 二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时)第二章

一元二次函数、方程与不等式问题导入

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.

问题导入

那么对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢?先来看一个问题.

新知探索

思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

能否推出？新知探索

下面,我们先来考察一元二次不等式_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−12𝑥+20<0与二次函数_x001A_𝑦=𝑥_x001B_2_x001B_−12𝑥+20之间的关系.

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注：零点是一个实数，不是一个点.新知探索

新知探索

我们知道,对于一元二次方程𝑎_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎>0),设∆=_x001A_𝑏_x001B_2_x001B_−4𝑎𝑐,它的根按照∆>0,∆=0,∆<0可分为三种情况.相应地,二次函数𝑦=𝑎_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)的图象与𝑥轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式𝑎_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_+𝑏𝑥+𝑐>0(𝑎>0)和𝑎_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_+𝑏𝑥+𝑐<0(𝑎>0)的解集.二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系⊿=b2-4ac二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根y=ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集⊿>0⊿=0⊿<0x1x2xyxx1(x2)yxy有两相异实根x1,x2(x1<x2)没有实数根{x|x>x2或x<x1}{x|}R{x|x1<x<x2}有两相等实根x1=x2例析

解:对于方程_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−5𝑥+6=0，∵∆>0，∴它有两个实数根.解得_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_=2，_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_=3.画出二次函数_x001A_𝑦=𝑥_x001B_2_x001B_−5𝑥+6的图象，结合图象得不等式_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−5𝑥+6>0的解集为{𝑥|𝑥<2或𝑥>3}.求出一元二次方程的根

例析

解:对于方程_x001A_9𝑥_x001B_2_x001B_−6𝑥+1=0，∵∆=0，∴它有两个实数根.解得_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_=_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_=_x001A_1_x001B_3_x001B_.画出二次函数_x001A_𝑦=9𝑥_x001B_2_x001B_−6𝑥+1的图象，结合图象得不等式_x001A_9𝑥_x001B_2_x001B_−6𝑥+1>0的解集为{𝑥|𝑥≠_x001A_1_x001B_3_x001B_}.求出一元二次方程的根

例析

解:不等式可化为_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−2𝑥+3<0.∵∆=−8<0，∴方程_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−2𝑥+3=0无实数根.画出二次函数_x001A_𝑦=𝑥_x001B_2_x001B_−2𝑥+3的图象，结合图象得不等式_x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_+2𝑥−3>0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.当一元二次不等式的二次项系数是负数(𝑎<0)时,通常先把二次项系数化成正数,再求解.新知探索

利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.互动探究通道题型讲解题型讲解题型讲解{x|－2<x≤－1或3≤x<4}题型讲解方法技巧:解不含参一元二次不等式的步骤:题型讲解解：情形一：当𝑎=0时，则原不等式可化为−𝑥+1<0，即𝑥>1.情形二：当𝑎≠0，原不等式可化为(𝑎𝑥−1)(𝑥−1)<0.若𝑎<0，原不等式可化为(𝑥−_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_)(𝑥−1)>0，∵𝑎<0,∴_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_<1，∴𝑥<_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_或𝑥>1.若𝑎>0，原不等式可化为(𝑥−_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_)(𝑥−1)<0，若_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_<1，即𝑎>1，则_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_<𝑥<1;若_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_=1，即𝑎=1，则原不等式的解集为∅;若_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_>1，即0<𝑎<1，则1<𝑥<_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_.题型讲解综上所述，当𝑎<0时，原不等式的解集为{𝑥|𝑥<_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_或𝑥>1};当𝑎=0时，原不等式的解集为{𝑥|𝑥>1};当0<𝑎<1时，原不等式的解集为{𝑥|1<𝑥<_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_};当𝑎=1时，原不等式的解集为∅;当𝑎>1时，原不等式的解集为{𝑥|_x001A_1_x001B_𝑎_x001B_<𝑥<1